ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-2. Древние часы

Решение

Прежде чем что-то снимать с изображения, проанализируем, что нам представлено.

На чертеже обозначена точкаА—проекция вершины гномона на плоскость стены. Размечена часовая сетка, и линия XII–XII является вертикальной, потому что азимут Солнца в момент верхней кульминации одинаковый во все дни года. В остальное время, например, в 11 часов, азимут Солнца в разные дни года будет разный.

Определимся с полушарием. Суточное движение Солнца происходит с востока на запад в обоих полушариях. И если полушарие северное, то часовые отметки должны быть расположены на стене слева направо. А в южном полушарии—наоборот. Видим, что перед нами часы для северного полушария.

Две кривые, размеченные римскими цифрами,—это точки, где заканчивается тень гномона. В отличие от горизонтальных солнечных часов, тень на вертикальных часах тем длиннее, чем выше Солнце. Ближняя к гномону граница тени соответствует дню зимнего солнцестояния в северном полушарии, дальняя граница (видна частично с отметками от VIII до XII) соответствует дню летнего солнцестояния. Прямая линия посередине между ними—это траектория, по которой двигается конец тени в дни равноденствий.

Если бы стена стояла строго по линии восток—запад, а гномон был направлен строго на юг, то картинка была симметричной относительно вертикальной оси рисунка.

Для поиска широты нам нужно рассмотреть плоскость небесного меридиана, которая содержит в себе линию XII–XII.

Первый этап. Определение широты

Проанализируем размер тени по полуденной линии(XII–XII) в дни равноденствий и солнцестояний. Рассмотрим следующий рисунок, на котором покажем, как образуются тени в дни равноденствий и солнцестояний. Линия QPW—вертикальная поверхность стены. Точка D—вершина гномона,P—тень в дни равноденствий,Q и W—тени в дни зимнего и летнего солнцестояний. Угол $\varepsilon$—угол наклона плоскости эклиптики к небесному экватору.

Измерим отрезки $PQ=d=16$мм и $PW=f=50$мм по рисунку, данному в условии. Далее запишем теорему синусов для треугольника PQD:

Также запишем теорему синусов для треугольников PWD:

Для треугольника QDW применим теорему о сумме углов:

Теперь запишем отношение выражений, полученных из теоремы синусов:

Таким образом получаем:

В итоге получаем значения $\alpha=116^\circ$ и $\beta=133^\circ-\alpha=17^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник PKW. Его внешний угол $\angle PKD$ можно найти как сумму углов $\angle KPW=90^\circ$ и $\angle PWK=\beta$. Получаем $\angle PKD=90^\circ+\beta=107^\circ$. Используя теорему о сумме углов для треугольника PKS, получим:

.

Угол поворота стены

Теперь перейдем ко второму вопросу задачи. Определим угол поворота стены от линии «восток—запад». Обозначим этот угол за $\alpha$.

Мы можем решать стереометрическую задачу и подумать над какой-то плоскостью, в которой искомый угол можно представить максимально удобно. В качестве такой плоскости возьмем плоскость параллельную горизонту и проведем ее через точкуА.

Проекция этой плоскости на рисунок—горизонтальная линия, проходящая через точкуА и точку пересечения линии равноденствий и линии VI–VI. Обозначим эту точку V, сюда указывает тень гномона в момент восхода Солнца в дни равноденствий.

Теперь выполним построение в этой плоскости. Отрезок VD соответствует направлению запад-восток. Точка $B'$—проекция точки B на луч VA. Отрезок BD направлен вдоль оси мира в сторону юга. Значит его проекция $B'D$ лежит в плоскости горизонта и направлено на точку юга. Следовательно $B'D\perp VD$.

Для треугольника ADV

Для треугольника $AB'D$

Избавимся от AD:

Снимем данные со шкалы: $AV=52$мм, $AB'=8$мм. Тогда угол $\alpha\approx21^\circ$.

То есть нормаль к плоскости стены повернута на $-21^\circ$ относительно направления на юг по азимуту, или $21^\circ$ на восток.

Альтернативные решения

Можно было действовать и по-другому. Заметим, что прямая, соответствующая времени 10 часов, идёт точно в точкуА. Значит, любой объект, образующий точки на этой прямой и её продолжении, имеет часовой угол $-30^\circ$. Рассмотрим гипотетическое Солнце, в предположении, что его склонение могло бы быть меньше, чем $-\varepsilon$. Тогда тень от вершины гномона придет в точкуА, когда такое Солнце окажется на горизонте. При этом, так как точкаА лежит на прямой 10 часов, часовой угол Солнца в этот момент будет равен $-30^\circ$. Также из вида картинки мы понимаем, что гномон смотрит в восточную область. Понятно, что азимут такого Солнца в момент, когда тень от вершины гномона будет в точкеА, и есть азимут, на который показывает гномон. Осталось найти азимут такого Солнца. Используем формулы для часового угла/азимута восхода/захода:

Подставляя известные нам $\varphi$ и $t$, получаем $\delta=-45.4^\circ$. В итоге получаем азимут восхода Солнца, эквивалентный азимуту, на который показывает гномон:

Рассмотрим ещё один способ.

Опустим из точкиА перпендикуляр вниз. Все точки на этой прямой—это позиции конца тени гномона в моменты, когда Солнце имеет один и тот же азимут. Возьмем любую точку на этой прямой и определим её часовой угол и склонение. Для простоты можно взять точку, отмеченную на рисунке. Для неё $\delta=20^\circ$, $t=-7.5^\circ$. Теперь осталось написать сферические теоремы для параллактического треугольника. Начнём с того, что найдём зенитное расстояние Солнца в этот момент:

Отсюда получаем $z=21.5^\circ$. Теперь через теорему синусов:

В итоге получаем угол, на который сдвинута стена относительно линии «восток—запад»:

Популярная ошибка. Участники считают, что угол между лучом BA и отвесной линией являются углом поворота стены. Это принципиально не верно.