ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-1. · Восточный экспресс

Этап 1. Определение времен всех маневров

Будем решать задачу в системе отсчета центра Земли.

Определим период обращения спутника на опорной круговой орбите.

Теперь рассмотрим промежуточную эллиптическую орбиту. Определим афелийное расстояние на этой орбите:

Отметим, что в качестве периода обращения Земли для расчетов геоцентрической орбиты нужно подставлять звездные сутки, не 24 часа, а $23^h56^m04^s=86164^s$.

Большая полуось эллиптической орбиты находится как

Период обращения аппарата на этой орбите составляет

Этап 2. Расчеты долгот

За некоторое время $\Delta t$ Земля повернется на угол

Но при этом спутник сделает нецелое число витков вокруг центра Земли.

Переход между опорной и промежуточной орбитами осуществляется в точке в экваториальной плоскости Земли, а начальная точка по условию является самой северной точкой орбиты. Поэтому на опорной орбите спутник может сделать целое число витков $n$ ($n=0,1,2\ldots$) и либо $\tfrac14$, либо $\tfrac34$ оборота. За один оборот спутника на этой орбите Земля провернется под ним на угол $22.4^\circ$.

На промежуточной эллиптической орбите период спутника равен $T_2=37925$секунд, что соответствует повороту Земли на $158.5^\circ$. Для выхода на геостационарную орбиту спутнику на промежуточной орбите необходимо сделать полуцелое число оборотов $k+\tfrac12$. Где $k=0,1,2\ldots$.

Этап 3. Последовательность маневров

Выработаем последовательность маневров для вывода спутника на долготу Уфы. Для решения этой задачи расчеты разумнее производить через углы поворота, а не через время. Но в конце решения надо будет проверить, чтобы итоговое время оказалось менее 48 часов.

Рассмотрим случай, когда на первой орбите спутник сделает $n+\tfrac14$ витков.

Тогда после всех маневров спутник сделает

и спутник окажется на долготе $\lambda$ при старте с долготы $\lambda_0$:

Упростим выражение, оставив только целочисленные переменные $n$ и $k$:

Подставим значения $\lambda$ и $\lambda_0$:

Упростим:

Здесь $M$—целое число оборотов Земли.

В случае, если мы рассматриваем на первой орбите $n+\tfrac34$ оборота перед переходом на вторую эллиптичную орбиту, то выражение будет иметь вид

Теперь надо подобрать целые числа $n$ и $k$, при которых равенство выполняется.

Составим таблицу угла смещения для различных $n$ и $k$:

и сравним полученные значение с искомыми.

По вертикальной оси $n$—целое число витков на первой орбите, по горизонтальной оси $k$—целое число витков на второй орбите. Для стратегии с $n+\tfrac14$ нас интересуют значения угла поворота $257.45^\circ$ или $257.45^\circ+360^\circ$, а для стратегии $n+\tfrac34$—значение $66.25^\circ$.

Из таблицы видим, что первый сценарий реализовать не получится, а второй реализуется при $n=3$ и $k=0$. Проверим, сколько времени потребуется для реализации всех маневров.

Альтернативные решения

Найденная пара $n=3$, $k=0$ является оптимальной по времени перехода, однако не единственной. Если продолжить таблицу значений $f(\lambda)$ из стратегии $n+\tfrac34$ на большие значения $n$ (т.е.рассматривать варианты, в которых правая часть равенства(2) обходит лишние $360^\circ$ за счёт дополнительных оборотов Земли), обнаруживаются ещё два попадания в окрестность Уфы—$n=19$, $k=0$ и $n=12$, $k=1$. В обоих случаях суммарное время составляет около 34.9 часа, то есть формальным условиям варианты удовлетворяют.

Кроме того, условие задачи фиксирует наклонение опорной орбиты ($i=51.88^\circ$, поскольку космодром Восточный—самая северная её точка), но не задаёт направление обращения спутника. При запуске «против вращения Земли» (по ретроградной орбите) положения восходящего и нисходящего узлов в инерциальной системе меняются местами, и формулы(1) и(2) переходят друг в друга с заменой знака. Перебор показывает, что в коридоре $\pm3^\circ$ от Уфы и в пределах 48 часов реализуются ещё три ретроградных решения—$n=11$, $k=0$, $n=4$, $k=1$ (около 22.9 часа), а также $n=27$, $k=0$ (около 46.9 часа).

Сводная таблица всех найденных в рамках условий задачи решений приведена ниже. Оптимальным остаётся прямой запуск $n=3$, $k=0$—наименьшее время и наиболее реалистичный по энергозатратам вариант.

Критерии оценивания.15

К1. Определение времени всех маневров—3.

• Период обращения спутника на опорной орбите—1.
• Афелийное расстояние на промежуточной орбите—1.
• Период обращения спутника на эллиптической орбите—1.

В случае, если участник в качестве периода Земли берет 86400 секунд, оценка по данном критерию снижается на 1 балл.

К2. Определение угла поворота Земли—3.

• Формула, связывающая угол поворота Земли со временем—1.

В случае, если участник в качестве периода Земли берет 86400 секунд, оценка по данному подкритерию 0 баллов.

• Значение угла поворота Земли за один оборот на опорной орбите($22.4^\circ$)—1.
• Значение угла поворота Земли за один оборот на эллиптичной орбите($158.5^\circ$)—1.

К3. Определение оптимального числа витков—9.

• Утверждение, что на опорной орбите нужно сделать $n+\tfrac14$ или $n+\tfrac34$ оборота—1+1.
• Получены формулы(1) и(2) для случая $n+\tfrac14$ и $n+\tfrac34$ соответственно—1+1.
• Получен верный ответ для случая $n+\tfrac14$. (Решения нет)—2.
• Получены верные ответы $n$ и $k$. для случая $n+\tfrac34$—2.
• Проверено, что суммарное время маневров меньше 48 часов—1.

Сохраняемое различие файла sol-T

В vos-2026-final-sol-T-10.pdf на физической странице 3 та же формула для $n+\tfrac34$ дополнительно содержит $-2.25^\circ$:

На следующей странице этого же файла напечатаны те же численные преобразования и равенство(2), что в prob-T. Эта разница двух полученных оригиналов сохранена без исправления и без предположения о порядке версий. В обоих оригиналах сохранены все шесть карт орбит, а в sol-T нет таблицы критериев. Солнечный нижний индекс в GM, знаменатель 2π в формуле радиуса и 5370 секунд в последнем расчете переданы как напечатано.