Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-2. · Искусственный отбор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

XXXIII Всероссийская олимпиада по астрономии. Теоретический тур. Условия, решения и схема оценивания.10 класс · 24 април 2026 г. · 15 т.

Внимание: Бележка към темата

Оба оригинала содержат полные условия и методы задач10.1–10.6. Все шесть схем оценивания напечатаны в23-страничном prob-T и отсутствуют в21-страничном sol-T. Единственная сохраняемая научная разница в формуле10.1 показана в отдельном исходном разделе. Напечатанные ошибки в формулах сохранены с кратким указанием источника; порядок версий не предполагается.

Условие

А.Н.Акиньщиков

Транзитный обзор даёт каталог планет с заметным избытком коротких периодов. Нужно оценить, какую часть этого эффекта создаёт геометрическая селекция самого метода.

Пусть все рассматриваемые планеты движутся по круговым орбитам вокруг солнцеподобных звёзд массы $1M_\odot$ и радиуса $1R_\odot$ . Радиусы планет гораздо меньше радиусов звёзд, плоскости планетарных орбит ориентированы в пространстве случайно. Считайте, что наблюдатель обязательно обнаружит транзит, если он геометрически возможен.

В некотором транзитном каталоге распределение числа планет по периодам обращения оказалось таким:

Период,дни	1–2	2–4	4–8	8–16	16–32	32–64
Число планет	145	110	82	60	40	22

Для оценки считайте, что всем планетам внутри каждого диапазона периодов можно приписать период, равный среднему геометрическому границ диапазона.

A. Найдите, как вероятность наблюдения транзита зависит от периода системы $P$ .

B. Восстановите истинную популяцию—оцените число планет в каждом диапазоне периодов и полное число планет в этом каталоге, если бы наблюдения не ограничивались эффектом геометрической селекции.

C. Сравните средний период планет в наблюдаемом каталоге и в восстановленной истинной популяции.

Решение

Официальное решение и критерии из полного оригинала vos-2026-final-prob-T-10.pdf. Соответствующие условия и методы также лично прочитаны в vos-2026-final-sol-T-10.pdf; уникальная разница первого ключа сохраняется отдельно.

Решение.A–C

Решение.

A. Обозначим через $a$ радиус круговой орбиты, а через $i$ —угол между нормалью к плоскости орбиты и лучом зрения. Тогда $i=0^\circ$ соответствует орбите, видимой плашмя, а $i=90^\circ$ —орбите, видимой с ребра. Достаточно рассматривать

0\le i\le\frac\pi2,

поскольку две противоположные нормали задают одну и ту же плоскость орбиты.

В момент соединения расстояние от центра планеты до центра диска звезды в проекции на небо равно

b=a\cos i.

Транзит возможен, если это расстояние не превосходит радиуса звезды:

a\cos i\le R_\odot.

Значит, транзитные ориентации удовлетворяют условию

i\ge i_0,\qquad\cos i_0=\frac{R_\odot}{a}.

Теперь найдём долю систем с такими ориентациями орбит. При случайной ориентации плоскости орбиты направление её нормали равномерно распределено по сфере. На единичной сфере условия $i_0\le i\le\pi/2$ задают сферический пояс. Его высота равна

\cos i_0-\cos\frac\pi2=\cos i_0.

Площадь сферического пояса на единичной сфере равна произведению $2\pi$ на его высоту. Вся полусфера возможных различных плоскостей имеет площадь $2\pi$ , поэтому доля подходящих ориентаций равна

p_{tr}=\frac{2\pi\cos i_0}{2\pi}=\cos i_0=\frac{R_\odot}{a}.

Эквивалентная интегральная запись этого шага:

p_{tr}=\frac{\int_{i_0}^{\pi/2}\sin i\,di}{\int_0^{\pi/2}\sin i\,di}=\frac{R_\odot}{a}.

Из третьего закона Кеплера для солнцеподобной звезды

a=\left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{2/3}AU.

Следовательно,

p_{tr}=\frac{R_\odot}{AU}\left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3}\approx0.00465\left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3}.

Отсюда сразу видна и зависимость $p_{tr}\propto P^{-2/3}$ , и численная нормировка, необходимая для восстановления истинного числа планет.

B. В каждом диапазоне берём характерный период, равный среднему геометрическому его границ:

P_i=\sqrt2,2\sqrt2,4\sqrt2,8\sqrt2,16\sqrt2,32\sqrt2\,d.

Для этих периодов получаем примерно следующие геометрические вероятности транзита:

0.189,0.119,0.0748,0.0472,0.0297,0.0187.

Если в некотором диапазоне наблюдается $N_{obs}$ планет, то соответствующее истинное их число оценивается как

N_{true}\approx\frac{N_{obs}}{p_{tr}}.

Отсюда в распределении по диапазонам получаем примерные значения:

769,926,1096,1273,1347,1176.

Суммируя, находим оценку общего числа планет в диапазоне периодов от 1 до 64 суток:

N_{true,tot}\approx6590.

При этом в наблюдаемом каталоге было всего

N_{obs,tot}=145+110+82+60+40+22=459

планет.

C. Теперь найдём средний период. Для наблюдаемого каталога используем те же характерные периоды $P_i$ :

\langle P\rangle_{obs}\approx\frac{\sum N_{obs,i}P_i}{\sum N_{obs,i}}.

Подстановка чисел даёт $\langle P\rangle_{obs}\approx7.8\,d$ .

Для истинной популяции периоды нужно усреднять с весами, равными восстановленным числам планет:

\langle P\rangle_{true}\approx\frac{\sum N_{true,i}P_i}{\sum N_{true,i}}\approx16.4\,d.

Плоский случай

Дополнительно рассмотрим плоский случай, который использовало большинство участников: плоскость орбиты проворачивается относительно картинной плоскости только в одном направлении. При таком ограничении ориентации орбиты транзит возможен тогда, когда луч зрения проходит от плоскости орбиты не дальше, чем на расстояние порядка $R_\odot$ . Поэтому геометрическая вероятность транзита пропорциональна

p_{tr}\propto\frac2\pi\frac{R_\odot}{a},

где $a$ —радиус орбиты. Из третьего закона Кеплера для солнцеподобной звезды следует:

P^2\propto a^3,\qquad a\propto P^{2/3}.

Следовательно,

p_{tr}=\frac2\pi\frac{R_\odot}{AU}\left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3}\approx0.0093\frac1\pi\left(\frac{P}{1\,yr}\right)^{-2/3}.

В этом случае получаем следующие геометрические вероятности транзита:

0.120,0.075,0.0476,0.03,0.0189,0.0119.

Отсюда при распределении по диапазонам получаем количество планет в истинной популяции:

1207,1454,1721,2000,2116,1847.

Суммируя, находим оценку общего числа планет в диапазоне периодов от 1 до 64 суток:

N_{true,tot}\approx10345.

Остальные значения не меняются.

Критерии оценивания.15

К1. Выведение(определение) формулы для вероятности—4. Если использовано плоское приближение, выставляется 2 балла, но остальное решение оценивается полностью. Если формула дается без вывода, то выставляется 0 баллов за критерий, остальное решение оценивается полностью.

К2. Формула зависимости вероятности наблюдения транзита от периода системы—2. Для плоского приближения выставляется 1 балл.

К3. Вычисление верных периодов планет для каждого диапазона—2. Каждое ошибочное вычисление—минус 1 балл за критерий, но суммарно за критерий не меньше 0 баллов.

К4. Определение количества планет для каждого диапазона—2. Каждое ошибочное вычисление—минус 1 балл за критерий, но суммарно за критерий не меньше 0 баллов.

К5. Определение полного количества планет в истинной популяции—1. Выставляется только при полностью верном решении.

К6. Формула для нахождения среднего периода для выборки планет—1.

К7. Численное нахождение среднего периода для планет каталога—2. Если периоды в диапазоне вычислялись по формуле среднего арифметического, то 1 балл.

К8. Численное нахождение среднего периода для планет истинной популяции—1.

Для варианта плоского приближения: Вероятность умножается на $2/\pi$ (в итоговой формуле тоже). Результат меняется только в значении вероятностей и в количестве планет. Вероятности:0.120;0.075;0.0476;0.03;0.0189;0.0119. Количество планет:1207,1454,1721,2000,2116,1847. Общее количество планет в истинной популяции:10345.

Для варианта среднего арифметического за критерии К3 и К7 ставится 0 баллов и 1 балл соответственно. Остальное решение оценивается в полной мере.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-T-10.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-T-10.pdf