ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-3. · Галактические петли

Лучевая скорость и геометрическая связь

Как известно, нейтральный водород излучает на линии $\lambda_0=21$см. Исходя из этого, мы можем получить гелиоцентрическую лучевую скорость облака:

Отдельно отметим, что наблюдается красное смещение, а значит, облако удаляется от наблюдателя. Галактическая долгота $l$ отсчитывается от направления от Солнца S на центр Галактики O против часовой стрелки (если смотреть с северного полюса Галактики). Обозначим облако на рисунке буквой H и определим его лучевую скорость. Поскольку и Солнце, и облако находятся дальше 4 кпк от центра Галактики, примем их скорости одинаковыми и равными скорости на плато зависимости скорости от расстояния—$v$, расстояние от Солнца до центра Галактики обозначим за $r_0$, от облака до центра Галактики за $r$. Вращение Галактики при этом происходит по часовой стрелке (опять же при наблюдении из северного полюса).

Тогда гелиоцентрическая лучевая скорость может быть выражена так:

Выражая из теоремы синусов для треугольник SOH синус угла $\gamma$ получаем:

Сразу обозначим $k=v_r/v$. В результате получаем связь между $l$ и $r$ для фиксированного $k$:

В качестве оценки возьмём расстояние от Солнца до центра Галактики $r_0=8.3$кпк, а скорость на плато $v=230$км/с. В данной задаче получаем:

Перейдём к нахождению возможных галактических долгот. Рассмотрим отдельно два случая: когда облако нейтрального водорода находится к центру Галактики ближе, чем Солнце и дальше, чем Солнце.

Первый случай

Рассмотрим вариант, когда $r\le r_0$, то есть облако не дальше от центра Галактики, чем Солнце. В таком случае для фиксированного $r$ существует максимально возможная галактическая долгота (аналог максимальной элонганции). Отдельно отметим, что, так как $k$ положительное, $\sin l$ также должен быть положительным, а, значит, $l<180^\circ$. Выражая $\sin l$, получим:

При этом есть ограничение на $\sin l$:

В результате получаем:

Также из условия наблюдаемое облако нейтрального водорода уже находится на плато скоростей, а значит: $r\ge R_0$.

Видим, что галактическая долгота монотонно растёт с ростом $r$ для данного случая. Значит, границы для $r$ будут соответствовать граничным галактическим долготам:

Итого, имеем ограничения на галактическую долготу для первого случая:

Второй случай

Рассмотрим вариант, когда $r>r_0$, то есть облако дальше от центра Галактики, чем Солнце. Здесь у нас нет дополнительных ограничений на $l$, поэтому ограничения на галактическую долготу будут определяться из ограничений на $r$. Заметим, что $r_0/r<1$, поэтому в данном случае $\sin l<0$. Итак, из прошлого пункта:

При увеличении $r$ значение $\sin l$ в данном случае монотонно растёт. При этом снизу есть естественное ограничение $\sin l\ge-1$. Заметим, что такая граница снизу не выходит за рамки рассматриваемого случая. Действительно, при $\sin l=-1$ получаем $r=11.2$кпк, что больше чем $r_0$, а значит именно $\sin l\ge-1$ является нижней границей. Перейдём к оценке сверху:

Итого, получаем ограничения на галактическую долготу для второго случая:

На рисунке красными линиями обозначены геометрические места точек, где может располагаться облако HI для данного $k$ в обоих случаях.

Ответ: $l\in[14^\circ;48^\circ]\cup[216^\circ,324^\circ]$.

Критерии оценивания.15

К1. Определение лучевой скорости облака—2.

К2. Оценка скорости вращения на плато и расстояния от Солнца до центра Галактики—2.

К3. Получение уравнения связи для галактической долготы, расстояния и скорости—3.

К4. Рассмотрение случая $r\le r_0$—5.

• Определение максимальной галактической долготы для этого случая—3.
• Определение минимальной галактической долготы для этого случая(на 4 кпк)—2.

К5. Рассмотрение случая $r\ge r_0$—3.

• Нахождение диапазона $\sin l$—2.
• Диапазон галактических долгот для этого случая—1.

Если перепутано направление отсчёта галактической долготы или вращения Галактики, максимальные оценки по К4 и К5 составляют 3 и 2 балла соответственно, остальное оценивается в полной мере.

Если получено неверное, но разумное значение лучевой скорости,К1=0, максимальные баллы за К4 и К5 составляют 4 и 2 соответственно.

Если в модели участника облако движется в сторону, противоположную движению Солнца, по критерию К3 ставится оценка 0, максимальные оценки за критерии К4,К5 составляют 3 и 2 балла.