ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-4. · Звездный градусник

Решение

Пусть поток от двойной звезды вне затмения равен $F_0$, поток в главном минимум равен $F_1$, поток во вторичном минимуме равен $F_2$.

В главном минимуме закрывается более горячая звезда. Договоримся, что $T_1>T_2$. Поскольку по условию орбиты звёзд круговые, площадь перекрытия дисков звезд будет одинакова, обозначим её через $S$.

Запишем выражение для потока от двойной звезды в минимумах: $F_1=F_0-\Delta F_1$, $F_2=F_0-\Delta F_2$, где $\Delta F_1$ и $\Delta F_2$—слагаемые, в которых учитывается вклад излучения от площади $S$ закрываемой звезды с температурами $T_1$ и $T_2$ соответственно: $\Delta F_1\sim\sigma T_1^4S/r^2$, $\Delta F_2\sim\sigma T_2^4S/r^2$ (расстояние $r$ до обеих звёзд считаем одинаковым).

Это выражение можно свести к отношению потоков, и, как следствие, к разнице звездных величин. Разделим и числитель, и знаменатель на $F_0$:

Теперь вернемся к графикам, на которых по осиy отложена звездная величина, а не поток. Поэтому нужно провести еще несколько действий. В главном минимуме изменение звездной величины составляет $\Delta m_1=0.84^m$, во вторичном минимуме—$\Delta m_2=0.09^m$.

Тогда отношение потоков равно

Тогда искомое отношение температур

Нам неизвестно, какой индекс имеет звезда с массой и температурой Солнца. Возможно, это более горячая, а возможно, это более холодная звезда. Рассмотрим оба варианта.

A. Звезда типа Солнца—более горячая звезда. Тогда вторая звезда будет иметь температуру 3600 К.

B. Звезда типа Солнца—более холодная звезда. Тогда вторая звезда будет иметь температуру 9300K.

Критерии оценивания.15

К1. Интерпретация условий задачи—3.

• Снятие величины падения блеска в минимумах—1×2.

Данный пункт не является критической точкой задачи, важно чтобы участники смогли с точностью до 10%получить данные величины.

• Указание, что при круговых орбитах затмеваемые площади одинаковы—1.

Указано в явном виде или используется в решении.

К2. Взаимосвязь потоков и перекрываемой площади $S$—6.

• Записан закон Стефана—Больцмана—1.
• Выражение, описывающее ситуацию в общем случае для затмения—1×2.
• Исключение площади из рассмотрения—2.
• Запись и корректное использование формулы Погсона—1.

К3. Зависимость отношения температур от потоков(из верных предположений)—2. В виде формулы или верного численного выражения. За данный критерий частичный балл не предусмотрен.

К4. Получение верного итогового ответа—2×2. Каждый из случаев, когда звезда типа Солнца более горячая, или более холодная, оценивается по 2 балла.

В случае, если участник ошибся в снятии данных на первом этапе, но в дальнейшем реализовал корректное решение, то критерий 4 оценивается в 50%баллов.

В случае, если участник аргументированно рассматривает полное затмение минимальной длительности (нулевая длительность полной фазы), то К1.2 оценивается в 0,К2.2 в 50%баллов,К2.3 в 0 баллов,К3 в 50%баллов.

В случае, если участник рассматривает полное затмение с транзитом (т.е.с заметной длительностью полной фазы, что противоречит имеющимся в условии задачи графикам), то К1.2 оценивается в 0,К2.2 в 50%,К2.3 в 0 баллов,К3 и К4 в 50%баллов.

Особенность напечатанного ключа

В обоих полученных оригиналах во второй численной формуле потока напечатано F1/F0, как и в первой; это повтор нижнего индекса источника сохранен буквально. Альтернативные A/B относятся к одному решению задачи, не к дополнительным вопросам.