ВсОА 2026, Заключителен етап, 10. клас — Задача 10-5. · Ночью надо спать

Решение

При наблюдениях с окуляром на видимый в телескоп угловой размер звезды влияет несколько факторов. Но в любом случае угловым размером видимого в окуляр диска звезды будет не менее углового разрешения глаза наблюдателя (т.е. $1'$). Увеличение телескопа, плохое качество оптики или атмосферные эффекты могут увеличить видимый размер диска звезды, но не уменьшить его.

Вычислим дифракционное разрешение объектива телескопа. Для этого воспользуемся готовой формулой для визуальных наблюдений (можно использовать общую формулу дифракционного предела, ответ это не изменит)

На рисунке показан профиль яркости дифракционной картины. По критерию Рэлея дифракционное разрешение объектива численно равно радиусу первого темного кольца дифракционной картины от точечного источника. Из рисунка видно, что полуширина профиля(FWHM) примерно равна этой же величине. В условии указано, что изображение звезды имеет равномерную яркость, значит, его можно считать однородным кружком диаметром $\beta$.

Разглядывая это изображение с окуляром, астроном будет видеть его в $\Gamma$ раз большим по угловым размерам ($\Gamma$—увеличение телескопа). Вычислим его:

и найдём угловой размер изображения звезды, каким его видит астроном в окуляр:

Полученное значение больше углового разрешения глаза. Это значит, что при данном увеличении именно от размера дифракционного изображения звезды зависит возможность ее наблюдения.

Итак, астроном «на пределе» видит звезду на ярком сумеречном фоне, когда от нее приходит в 2 раза меньше света, чем от площадки фона диаметром $\beta=0.56''$.

Поле зрения телескопа ограничено полевой диафрагмой окуляра диаметром $d$ и составляет

Найдем блеск площадки фона неба с угловым диаметром $\beta$:

В два раза более слабая звезда будет на 0.75m слабее. Это соответствует звездной величине $\approx11.2^m$.

Критерии оценивания.15

К1. Рассмотрение объектива телескопа—3.

• Вычисление дифракционного разрешения объектива телескопа(с ошибкой $<10\%$)—1.
• Вычисление углового увеличения телескопа(с ошибкой $<10\%$)—1.
• Вычисление углового поля зрения—1.

К2. Корректное рассмотрение системы окуляра и объектива—6.

• Корректное вычисление угл.размера равномерно засвеченного диска звезды—2.

Если размер кружка взят в $2\beta$, то ставится 0 баллов.

• Вычисление видимого в окуляр угл.размера изображения звезды(ош. $<20\%$)—1.
• Сопоставление видимого углового размера с угловым разрешением глаза—3.

Правильный вывод о том, какую величину использовать в дальнейшем.

К3. Определение звездной величины—4.

• Вычисление звездной величины площадки фона неба, соответствующей наблюдаемому изображению звезды—3.
• Учёт условия, что поверх.яркость изображения звезды в 2 раза меньше фона—1.

Данный подкритерий ставится только в случае корректной реализации.

К4. Получение верного ответа(с ошибкой $<20\%$)—2.

При получении звёздной величины (единичной площадки фона неба или площадки, соответствующей наблюдаемому изображению звезды, или самой звезды), больше 18m или меньше−4m итоговая оценка за задачу не может быть больше 8 баллов.

Если не учитывается размер дифракционного кружка, то оценка за задачу не может превышать 9 баллов(за К1 не больше 2 баллов,К2 не больше 1 балла).

Особенность напечатанного ключа

В формуле(7) обоих оригиналов стоит−5; этот знак, последующие 10.4m и 11.2m переданы буквально без исправления научной арифметики источника.