Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 2. Потенциальная задача

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Теоретический тур. Условия задач. 11 класс · 24 април 2026 г.

Условие

Эллиптическая галактика обладает сферической симметрией, а ее гравитационный потенциал задается выражением

U(r) = -\frac{GM}{r+c}\,,

где $M$ — полная масса галактики, $c = 1$ кпк. Известно, что на круговой орбите радиуса 8 кпк скорость равна 180 км/с.

A. Определите полную массу галактики.

B. Представим, что с расстояния $R$ на центр галактики с нулевой начальной скоростью радиально падает частица. Чему будет равна ее скорость, когда она достигнет центра галактики? Вычислите эту скорость для случая $R = 10\,c$ .

C. Пусть звезда движется по близкой к круговой орбите радиуса $r_0 = 8$ кпк; $\delta r(t)$ , $\delta\theta(t)$ — отклонения в плоскости орбиты по радиусу и по азимуту. Оцените период колебаний звезды вдоль радиуса галактики.

D. Определите, при каких значениях $r_0$ круговая орбита звезды радиуса $r_0$ является устойчивой.

Отговори

Решение

Решение.

A. Определим зависимость круговой скорости от расстояния до центра галактики. Для этого на круговой орбите приравняем гравитационное ускорение и центростремительное и учитывая, что сила связана с производной потенциала по расстоянию:

\frac{GM}{(r+c)^2} = \frac{V^2}{r}\,.

Орбита плоская, расстояние от центра галактики равно галактоосевому расстоянию: мы просто можем рассматривать плоскость орбиты как плоскость симметрии потенциала.

Получаем выражение для массы:

M = \frac{V^2(r+c)^2}{Gr} = \frac{(1.8\cdot 10^5\ \text{м/с})^2(9\cdot 3.1\cdot 10^{19}\ \text{м})^2}{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3/\text{с}^2/\text{кг}\cdot 8\cdot 3.1\cdot 10^{19}\ \text{м}} = 1.5\cdot 10^{41}\ \text{кг} = 7.6\cdot 10^{10}M_{\odot}\,.

B. Рассмотрим прямолинейное падение с нулевой начальной скоростью с $r(0) = R$ , $r(t) \to 0$ . Энергия в расчете на единицу массы составляет

E = \frac{\dot r^2}{2} + U(r) = U(R) = -\frac{GM}{R+c}.

Скорость падения

\dot r = -\sqrt{2\left(E - U(r)\right)} = -\sqrt{2GM\left(\frac{1}{r+c} - \frac{1}{R+c}\right)}.

В центре галактики скорость составит

|\dot r(0)| = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{R+c}\right)}.

При $R = 10c$ :

|\dot r(0)| = \sqrt{2GM\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{10c+c}\right)} = \sqrt{2GM\cdot\frac{10}{11c}} = 7.7\cdot 10^2\ \text{км/с}.

C. Запишем уравнения движения в плоскости орбиты для начальной круговой орбиты радиуса $r_0$ :

\begin{cases} \dfrac{d^2r}{dt^2} = -\left.\dfrac{dU}{dr}\right|_{r_0} + \dfrac{V^2}{r_0}\,, \\ \dfrac{d\theta}{dt} = \omega_0\,. \end{cases}

В сферически-симметричном потенциале момент импульса $J$ , равный $Vr_0$ , сохраняется, используем это для записи соотношения для отклонения по радиусу на близкой к круговой орбите.

\frac{d^2(r_0+\delta r)}{dt^2} = -\left.\frac{dU}{dr}\right|_{r_0+\delta r} + \frac{J^2}{(r_0+\delta r)^3}\,,

используем приближение $\left.\dfrac{dU}{dr}\right|_{r_0+\delta r} = \left.\dfrac{dU}{dr}\right|_{r_0} + \left.\dfrac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0}\cdot\delta r$ :

\frac{d^2r_0}{dt^2} + \frac{d^2\delta r}{dt^2} \approx -\left.\frac{dU}{dr}\right|_{r_0} - \left.\frac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0}\cdot\delta r + \frac{J^2}{r_0^3}\cdot\left(1 - 3\frac{\delta r}{r_0}\right).

Вычтем первое уравнение системы круговой орбиты из полученного соотношения, останется выражение

\frac{d^2\delta r}{dt^2} \approx -\left.\frac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0}\cdot\delta r - 3\frac{J^2}{r_0^4}\cdot\delta r \quad\Rightarrow\quad \frac{d^2\delta r}{dt^2} + \left(\left.\frac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0} + 3\frac{J^2}{r_0^4}\right)\cdot\delta r = 0.

Это уравнение колебаний, коэффициент перед $\delta r$ — квадрат частоты $\omega$ . Вычислим вторую производную:

\left.\frac{d^2U}{dr^2}\right|_{r_0} = \frac{d^2}{dr^2}\left(-\frac{GM}{r+c}\right) = -\frac{2GM}{(r+c)^3}\,.

Далее, выразим $J$ через производную потенциала:

J = Vr_0 = \sqrt{\frac{GMr_0}{(r_0+c)^2}}\cdot r_0

и соберем выражение для квадрата частоты:

\omega^2 = -\frac{2GM}{(r_0+c)^3} + 3\frac{GM}{r_0(r_0+c)^2} = GM\cdot\frac{r_0+3c}{r_0(r_0+c)^3} = \frac{GM}{(r_0+c)^3}\cdot\left(1 + \frac{3c}{r_0}\right).

Подставим численные значения:

\omega^2 = \frac{6.67\cdot 10^{-11}\ \text{м}^3/\text{с}^2/\text{кг}\cdot 1.5\cdot 10^{41}\ \text{кг}}{(9\cdot 3.1\cdot 10^{19}\ \text{м})^3}\cdot\left(1 + \frac{3\cdot 1}{8}\right) = 6.3\cdot 10^{-31}/\text{с}^2,

\omega = 8\cdot 10^{-16}/\text{с} \quad\Rightarrow\quad T = \frac{2\pi}{\omega} = 7.9\cdot 10^{15}\ \text{с} = 2.5\cdot 10^8\ \text{лет}.

D. Эффективный потенциал в случае вращения имеет вид

U_{\text{eff}}(r) = U(r) + \frac{J^2}{2r^2} = -\frac{GM}{r+c} + \frac{J^2}{2r^2}.

На круговой орбите радиуса $r_0$ силы уравновешивают друг друга, из чего следует

U'_{\text{eff}}(r_0) = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{GM}{(r_0+c)^2} = \frac{J^2}{r_0^3} \quad\Rightarrow\quad J^2 = \frac{GMr_0^3}{(r_0+c)^2}.

Определим условие, при котором круговая орбита будет устойчивой: она должна соответствовать «локальной потенциальной яме», при этом $U''_{\text{eff}}(r_0) > 0$ .

Вторая производная имеет вид

U''_{\text{eff}}(r) = -\frac{2GM}{(r+c)^3} + \frac{3J^2}{r^4}.

Для круговой орбиты

\begin{aligned} U''_{\text{eff}}(r_0) &= -\frac{2GM}{(r_0+c)^3} + \frac{3}{r_0^4}\cdot\frac{GMr_0^3}{(r_0+c)^2} = \\ &= GM\left(-\frac{2}{(r_0+c)^3} + \frac{3}{r_0(r_0+c)^2}\right) = \frac{GM}{(r_0+c)^2}\left(-\frac{2}{r_0+c} + \frac{3}{r_0}\right). \end{aligned}

Для выполнения условия устойчивости нужно выполнение неравенства

-\frac{2}{r_0+c} + \frac{3}{r_0} > 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{r_0} > \frac{2}{r_0+c} \quad\Rightarrow\quad 3(r_0+c) > 2r_0 \quad\Rightarrow\quad r_0 + 3c > 0.

Так как $r_0 > 0$ и $c > 0$ , неравенство выполняется всегда.

Таким образом, в выбранном потенциале все круговые орбиты устойчивы.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-T-11.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-T-11.pdf