ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 3. Двойной форсаж

• A. $\delta = \arcsin\dfrac{1}{2\cos\varphi}$

  Существует также вырожденное решение $\Delta z = \Delta A = 0$ (Северный полюс мира).

• B. $45^{\circ} \leqslant \varphi < 60^{\circ}$

Решение. Заметим, что искомые звезды не могут кульминировать к югу от зенита: в таком случае диапазон изменения азимута будет составлять $\Delta A = 360^{\circ}$, а зенитное расстояние должно изменяться на $\Delta z = 180^{\circ}$, то есть звезда должна проходить и через зенит, и через надир. Такое возможно только для экваториальных звезд при наблюдении с земного экватора, но в этом случае не выполняется первая часть условия: звезды движутся вдоль первого вертикала и их азимуты принимают только два значения: $90^{\circ}$ и $270^{\circ}$. Таким образом, делаем вывод, что $\delta \geqslant \varphi$ и верхняя кульминация происходит к северу от зенита.

Итак, суточная параллель звезды целиком лежит в северной полусфере. Проведем два круга высоты, являющимися касательными к суточной параллели. Очевидно, что в точках касания азимут звезды принимает экстремальные значения (минимальное в западной полусфере и максимальное в восточной). Также заметим, что отрезок, проведенный из Северного полюса мира в точку касания, будет перпендикулярен соответствующему кругу высоты. Иными словами, параллактический треугольник, образованный зенитом, Северным полюсом мира и точкой касания, является прямоугольным. Тогда по теореме синусов получаем:

Очевидно, что минимальное и максимальное значения зенитного расстояния достигаются в кульминациях, при этом $\Delta z = 2\times(90^{\circ}-\delta) = 180^{\circ} - 2\delta$. Отсюда получаем

Выражение (1) имеет смысл при $\cos\varphi > 0.5$, поэтому $\varphi < 60^{\circ}$.

Также отметим, что кульминация к северу от зенита означает, что $\Delta A \leqslant 180^{\circ}$, а значит,

Теперь можно сформулировать окончательный ответ:

A. $\delta = \arcsin\dfrac{1}{2\cos\varphi}$,

B. $45^{\circ} \leqslant \varphi < 60^{\circ}$.

Существует также вырожденное решение $\Delta z = \Delta A = 0$, соответствующее Северному полюсу мира и существующее для всех широт $\varphi \in [0^{\circ}; 90^{\circ})$.