Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 4. Радиоактивное эхо

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Теоретический тур. Условия задач. 11 класс · 24 април 2026 г.

Условие

После вспышки сверхновой ее светимость некоторое время поддерживается радиоактивным подогревом выброшенного вещества. Основную роль играет цепочка распадов

{}^{56}\mathrm{Ni} \to {}^{56}\mathrm{Co} \to {}^{56}\mathrm{Fe}.

Периоды полураспада никеля и кобальта $t_{1/2}^{(\mathrm{Ni})} = 6.1$ суток и $t_{1/2}^{(\mathrm{Co})} = 77$ суток. Считайте, что один распад ${}^{56}$ Ni передает выбросу в среднем $E_{\mathrm{Ni}} = 1.7$ МэВ, а один распад ${}^{56}$ Co — $E_{\mathrm{Co}} = 3.7$ МэВ.

A. Найдите момент времени после вспышки, когда мгновенная мощность нагрева от распадов ${}^{56}$ Co становится равной мощности нагрева от распадов ${}^{56}$ Ni.

B. Через 20 суток после вспышки болометрическая светимость сверхновой равна $L = 1.0\cdot 10^{36}$ Вт. Считая, что к этому моменту почти вся мощность радиоактивного нагрева выходит в излучение, оцените начальную массу синтезированного при вспышке никеля.

Отговори

Решение

Решение. Обозначим распадные константы:

\lambda_{\mathrm{Ni}} = \frac{\ln 2}{t_{1/2}^{(\mathrm{Ni})}}, \qquad \lambda_{\mathrm{Co}} = \frac{\ln 2}{t_{1/2}^{(\mathrm{Co})}}.

Если в начальный момент было $N_0$ ядер никеля и не было кобальта, то

N_{\mathrm{Ni}}(t) = N_0 e^{-\lambda_{\mathrm{Ni}} t}.

Для дочернего кобальта в цепочке распадов:

N_{\mathrm{Co}}(t) = N_0\frac{\lambda_{\mathrm{Ni}}}{\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}}}\left(e^{-\lambda_{\mathrm{Co}} t} - e^{-\lambda_{\mathrm{Ni}} t}\right).

Мощности нагрева:

P_{\mathrm{Ni}} = \lambda_{\mathrm{Ni}} N_{\mathrm{Ni}} E_{\mathrm{Ni}}, \qquad P_{\mathrm{Co}} = \lambda_{\mathrm{Co}} N_{\mathrm{Co}} E_{\mathrm{Co}}.

Условие равенства мощностей:

\lambda_{\mathrm{Ni}} N_{\mathrm{Ni}} E_{\mathrm{Ni}} = \lambda_{\mathrm{Co}} N_{\mathrm{Co}} E_{\mathrm{Co}}.

После подстановки и сокращения $N_0$ и $\lambda_{\mathrm{Ni}}$ :

E_{\mathrm{Ni}} = \frac{\lambda_{\mathrm{Co}} E_{\mathrm{Co}}}{\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}}}\left(e^{(\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}})t} - 1\right).

Отсюда

e^{(\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}})t} = 1 + \frac{E_{\mathrm{Ni}}(\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}})}{\lambda_{\mathrm{Co}} E_{\mathrm{Co}}}.

Подставим числа в сутках ( $\ln 2 \approx 0.693$ )

\lambda_{\mathrm{Ni}} = \frac{0.693}{6.1} \approx 0.114\ \text{суток}^{-1}, \qquad \lambda_{\mathrm{Co}} = \frac{0.693}{77} \approx 9.00\cdot 10^{-3}\ \text{суток}^{-1}.

Тогда

\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}} \approx 0.105\ \text{суток}^{-1},

1 + \frac{1.7\cdot 0.105}{(9.0\times 10^{-3})\cdot 3.7} \approx 1 + 5.36 = 6.36.

Значит,

(\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}})\,t \approx \ln 6.36 \approx 1.85, \qquad t \approx \frac{1.85}{0.105} \approx 17.6\ \text{суток}.

Таким образом, мощность нагрева от кобальта сравнивается с никелевой примерно через 18 суток.

Теперь оценим массу никеля по светимости через 20 суток. Удобно перейти к секундам:

t = 20\cdot 86400\ \text{с} = 1.728\times 10^6\ \text{с}.

Тогда

\lambda_{\mathrm{Ni}} = \frac{\ln 2}{6.1\cdot 86400} \approx 1.31\times 10^{-6}\ \text{с}^{-1}, \qquad \lambda_{\mathrm{Co}} = \frac{\ln 2}{77\cdot 86400} \approx 1.04\times 10^{-7}\ \text{с}^{-1}.

Получаем

N_{\mathrm{Ni}}(20\ \text{суток}) = N_0 e^{-\lambda_{\mathrm{Ni}} t} \approx 0.104 N_0,

N_{\mathrm{Co}}(20\ \text{суток}) = N_0\frac{\lambda_{\mathrm{Ni}}}{\lambda_{\mathrm{Ni}} - \lambda_{\mathrm{Co}}}\left(e^{-\lambda_{\mathrm{Co}} t} - e^{-\lambda_{\mathrm{Ni}} t}\right) \approx 0.821 N_0.

Энергия одного распада в джоулях:

E_{\mathrm{Ni}} = 1.7\times 10^6\cdot 1.6\times 10^{-19} \approx 2.7\times 10^{-13}\ \text{Дж},

E_{\mathrm{Co}} = 3.7\times 10^6\cdot 1.6\times 10^{-19} \approx 5.9\times 10^{-13}\ \text{Дж}.

Полная мощность нагрева в момент наблюдения:

L = P_{\mathrm{Ni}} + P_{\mathrm{Co}} = \lambda_{\mathrm{Ni}} N_{\mathrm{Ni}} E_{\mathrm{Ni}} + \lambda_{\mathrm{Co}} N_{\mathrm{Co}} E_{\mathrm{Co}}.

Подставляя найденные доли:

L = N_0\left(\lambda_{\mathrm{Ni}}\cdot 0.104\cdot E_{\mathrm{Ni}} + \lambda_{\mathrm{Co}}\cdot 0.821\cdot E_{\mathrm{Co}}\right).

Численно

\lambda_{\mathrm{Ni}}\cdot 0.104\cdot E_{\mathrm{Ni}} \approx 3.7\times 10^{-20}\ \text{Вт}

\lambda_{\mathrm{Co}}\cdot 0.821\cdot E_{\mathrm{Co}} \approx 5.0\times 10^{-20}\ \text{Вт}

на одно начальное ядро. Итак,

L \approx 8.7\times 10^{-20} N_0.

При $L = 1.0\cdot 10^{36}$ Вт

N_0 \approx \frac{1.0\times 10^{36}}{8.7\times 10^{-20}} \approx 1.15\times 10^{55}.

Обозначив 1 а.е.м. как $u$ (если ее значение неизвестно, можно в качестве «замены» воспользоваться массой протона, с интересующей нас точностью результат от этого не изменится), получаем, что масса никеля

\mathfrak{M}_{\mathrm{Ni}} = 56uN_0 \approx 56\cdot 1.66\times 10^{-27}\cdot 1.15\times 10^{55} \approx 1.1\times 10^{30}\ \text{кг} \approx 0.54\,\mathfrak{M}_{\odot}.

Тем самым начальная масса ${}^{56}$ Ni оказывается около $0.5\ \mathfrak{M}_{\odot}$ .

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-T-11.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-T-11.pdf