ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 5. Вырожденная задача

• A. $R = 1.2\cdot 10^{-2}\cdot(\mathfrak{M}/\mathfrak{M}_{\odot})^{-1/3}\,R_{\odot}$
• B. Метод размерностей: при $\alpha = 4/3$ показатель степени радиуса $b = 0$, зависимость от радиуса выпадает; предел Чандрасекара $\mathfrak{M} \approx 1.4\ \mathfrak{M}_{\odot}$.

Решение. Гипотетически можно записать для белого карлика уравнение гидростатического равновесия, подставить в него имеющееся уравнение состояния вещества, связать распределение плотности вдоль радиуса с распределением массы и получить дифференциальное уравнение второго порядка (вообще говоря, являющееся уравнением Пуассона, а в данном частном случае называемое уравнением Лейна – Эмдена), обезразмерить задачу и найти искомую связь между массой и радиусом белого карлика (в процессе, правда, придется некоторые безразмерные константы найти численно), повторив эту процедуру два раза для двух разных уравнений состояния. Но это хорошая курсовая работа для студента примерно 3 курса, собирающегося стать астрофизиком-теоретиком, а для решения задач на олимпиаде школьников такие методы явно непригодны.

Поэтому пойдем по более простому пути, обратив внимание на два обстоятельства. Во-первых, в первом из двух вопросов дана пара конкретных значений массы и радиуса для маломассивного карлика (что должно навести на мысль о том, что можно найти общий вид зависимости между массой и радиусом для таких карликов, а потом «отмасштабировать» его по одной данной в условии паре значений), во-вторых, количество величин, которые могут войти в эту зависимость, невелико, что позволяет воспользоваться для ее получения методом размерностей. В самом деле, в выражение для связи массы $\mathfrak{M}$ и радиуса $R$ белого карлика могут входить еще всего лишь две размерных величины — гравитационная постоянная $G$ и коэффициент $K$ (один из двух) из уравнения состояния. Тогда должна существовать некоторая комбинация этих величин в разных степенях, являющаяся безразмерной.

Запишем уравнения состояния для обоих рассматриваемых случаев в виде $p = K\rho^{\alpha}$ и найдем размерности каждой из четырех величин, используя стандартные обозначения: $L$ для размерности длины, $M$ — массы и $T$ — времени. Тогда

Из получившихся размерностей сразу можно сделать вывод, что гравитационная постоянная и коэффициент $K$ могут встретиться в безразмерной комбинации только в виде отношения $G/K$ — это единственный способ «уничтожить» размерность времени. Поэтому упростим задачу и заменим их на объединенный параметр $Z = G/K$, размерность которого $[Z] = L^{4-3\alpha}M^{\alpha-2}$.

Тогда для получившихся трех величин должна существовать безразмерная комбинация вида $\mathfrak{M}^aR^bZ^c$. Запишем ее размерность

откуда получаем систему уравнений

У нее бесконечно много решений, но безразмерная комбинация в произвольной степени остается безразмерной, поэтому положим, например, $c = -1$ (поскольку очевидно, что $c = 0$ приводит к тривиальному и бесполезному для нас решению, а в остальном выбирать конкретное значение мы можем так, чтобы было удобнее). Тогда

Теперь займемся рассмотрением отдельных случаев. Если нас интересуют маломассивные белые карлики, то $\alpha = 5/3$. Тогда $a = -1/3$ и $b = -1$, откуда получаем, что $R \propto \mathfrak{M}^{-1/3}$ (параметр $Z$ — константа, хоть и размерная). С учетом известной опорной точки записываем зависимость как:

или, немного упростив ее, в виде

Теперь займемся предельным случаем (соответствующем ультрарелятивистскому вырожденному газу). Для него $\alpha = 4/3$, и тогда $a = -2/3$, а вот $b = 0$. Это означает, что из искомого соотношения «выпала» зависимость от массы. В предельном случае радиус стремится к нулю, а масса не меняется, что приводит к зависимости «масса – радиус», изображенной на рисунке ниже.

Значение массы, формально соответствующее пределу при $R \to 0$, и называется пределом Чандрасекара, $\mathfrak{M} \approx 1.4\ \mathfrak{M}_{\odot}$.