ВсОА 2026, Заключителен етап, 11. клас — Задача 6. Двуликий Янус

• A. 154 тыс. км

  $a \approx 154$ тыс. км; период $T = 0.7$ сут.

• B. 15.8 тыс. км

  $r_{\min} = \frac{2G(m_1+m_2)T^2}{3\pi^2(\Delta a)^2} = 15.8$ тыс. км.

Решение. Заметим, что 50 км — это очень мало. Большие полуоси орбит спутников не могут быть меньше радиуса Сатурна, который равен $6\cdot 10^4$ км, что много больше 50 км. Это значит, что параметры орбит спутников будут отличаться очень слабо. В ответе на первый вопрос следует указать совпадающие большие полуоси и периоды обращения, так как их разницей можно пренебречь по сравнению с точностью вычислений.

Пусть период обращения и большая полуось орбиты одного спутника равны $T$ и $a$, а второго — $T + \Delta T$ и $a + \Delta a$ соответственно. По условию $\Delta a = 50$ км.

Из III закона Кеплера

Воспользуемся малостью $\Delta a$ и $\Delta T$ и формулой $(1+x)^n \approx 1 + nx$, и получим

Здесь и далее в аналогичных ситуациях можно получать подобные соотношения и другим путем. Запишем III закон Кеплера

и сосчитаем дифференциал обеих частей равенства. Получим

Теперь, разделив это равенство на предыдущее, получаем

что, поскольку $\Delta T \approx dT$ и $\Delta a \approx da$, дает тот же результат.

Каждые 4 года спутники меняются орбитами, то есть каждые 4 года они подходят близко друг к другу. Это значит, что синодический период спутников примерно равен 4 годам. Свяжем его с их сидерическими периодами. Воспользуемся той же самой формулой для малого $x$ при $n = -1$:

Выразим $\Delta T$ и $T$ через $\Delta a$ и $a$.

Подставляя данные, получим $a \approx 154$ тыс. км. Это соответствует периоду $T = \sqrt{\frac{4\pi^2a^3}{GM_c}} = 0.7$ сут.

Теперь ответим на второй вопрос задачи. Снова заметим, что 50 км — это очень мало. Учитывая массу тел, их радиус примерно равен $\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}\frac{M}{\rho}} \approx 60$ км, а диаметр, соответственно, в 2 раза больше. Тела не могут подходить друг к другу на расстояние, хотя бы сравнимое с их размером — иначе колебания параметров их орбит, вызванные гравитационным взаимодействием с другими телами Солнечной системы, приводили бы к столкновениям Януса и Эпиметея друг с другом. Таким образом, $\Delta a \ll r_{min}$ и мы снова можем считать, что тела движутся по одной орбите. Более того, тела можно считать точечными, то есть пренебречь их размерами и формой.

С другой стороны, сами тела не очень массивные, и существенное изменение больших полуосей их орбит происходит только в то время, когда они близки друг к другу. Будем считать, что за пределами некоторого $r_{\max} \ll a$ Янус и Эпиметей не взаимодействуют друг с другом.

Из сделанных выше предположений получаем, что изменение больших полуосей орбит происходит только за счет изменения модуля скоростей спутников, но не их направления. Так как орбиты следует считать круговыми, то в каждый момент времени скорости остаются направленными перпендикулярно направлению на Сатурн.

Здесь вступает в силу известный факт, что сообщение телу энергии (попытка его ускорить) приводит к уменьшению его скорости, и наоборот. Действительно, из теоремы о вириале $2K = -U$, $E = K + U = K - 2K = -K$. Увеличение полной энергии приводит к уменьшению кинетической энергии, $\Delta E = -\Delta K$. Изменение энергии равно работе гравитационных сил притяжения между двумя телами. Тогда

Здесь $\Delta\varphi$ — это угол между скоростью тела и направлением на второе тело. В случае совпадающих орбит он равен углу между направлениями с Сатурна на эти два спутника.

Аналогичный результат можно получить, если рассматривать изменение кинетической энергии с учетом работы гравитационных сил со стороны Сатурна, совершаемую над телами.

Пусть текущие координаты спутников в полярной системе координат — $(a_1,\,\varphi_1)$ и $(a_2,\,\varphi_2)$ соответственно. Будем считать, что $\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1$ мало. Тогда расстояние между спутниками равно

При этом $(a_2 - a_1) \leqslant \Delta a \ll r_{\min}$, из чего следует, что $r \approx a\Delta\varphi$.

Пусть линейная скорость, угловая скорость и масса одного из спутников равны $v_1$, $\omega_1$ и $m_1$, линейная скорость и масса другого — $v_2$, $\omega_2$ и $m_2$ соответственно. Расстояние между спутниками — $r$. В начальный момент времени большие полуоси орбит спутников равны $a_{10} = a$ и $a_{20} = a+\Delta a$ соответственно, при этом $\omega_{10} > \omega_{20}$, то есть первый спутник догоняет второй.

Под действием гравитационных сил скорости тел изменяются.

Здесь мы приняли $\cos\Delta\varphi$ равным 1, так как считаем $\Delta\varphi$ малым.

Свяжем разности линейных и угловых скоростей с разностью больших полуосей орбит. Обозначим $(a_2 - a_1)$ как $\delta a$, тогда

Тогда получим, что

Обозначим $v_2 - v_1$ как $\delta v$, тогда

Перемножим эти два уравнения и получим

Получаем закон сохранения:

Записывая его для двух состояний, при $r \to \infty$ (без взаимодействия) и при $\delta v = 0$, получим

$\delta v_{\infty} = (v_{20} - v_{10})$, то есть

Получаем финальный ответ:

На самом деле спутники не «обмениваются» орбитами: более массивный спутник перемещается на меньшее расстояние, чем менее массивный. Однако после окончания взаимодействия расстояние между орбитами оказывается таким же, какое было и до взаимодействия (см. график далее). Последний обмен орбитами произошел в начале 2026 года, при этом Янус из внутреннего спутника снова стал внешним.