Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 9. клас — Задача 2. Тихо! Эхо сверхновой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Теоретический тур. Условия задач. 9 класс · 24 април 2026 г.

Условие

Иоганн Кеплер открыл три своих закона, основываясь на чрезвычайно точных результатах наблюдений великого датского астронома Тихо Браге, с которым он работал в его последний год жизни. В молодые годы Браге наблюдал вспышку сверхновой, которую мы теперь называем сверхновой Тихо. Ее современные координаты: прямое восхождение $\alpha_0 = 00^{\mathrm{h}}\,25^{\mathrm{m}}\,08^{\mathrm{s}}$ , склонение $\delta_0 = +64^{\circ}\,09'\,56''$ , а годичный параллакс $\pi'' = (0.43 \cdot 10^{-3})''$ .

Спектр сверхновой был определен астрономами в 2006 году благодаря эффекту светового эха. Излучение от вспышки, рассеянное на окружающих пылевых структурах, позволило получить её спектр и установить тип сверхновой. Координаты одной из наблюдаемых пылевых структур $\alpha = 01^{\mathrm{h}}\,46^{\mathrm{m}}\,38^{\mathrm{s}}$ , $\delta = +57^{\circ}13'36''$ .

1. Оцените расстояние между сверхновой Тихо и этой пылевой структурой. Ответ выразите в световых годах.

2. Одновременно световое эхо от этой сверхновой может наблюдаться на многих пылевых структурах. Выделим любую плоскость, содержащую прямую наблюдатель-сверхновая. Определите вид кривой в этой плоскости, вдоль которой располагаются отражающие структуры?

Отговори

Решение

А. С. Аношин

Решение. Тихо Браге наблюдал свет сверхновой, который двигался к нам по кратчайшему расстоянию. Это произошло совсем недавно по космическим меркам, так что расстояние до места вспышки сверхновой можно считать неизменным. Его можно определить из годичного параллакса:

l = \frac{1}{\pi['']} = 2.33\ \text{кпк}.

Свет, отразившийся от пылевого облака, преодолел расстояние большее $l$ на величину, которую свет проходит за время, прошедшее с момента наблюдения самой сверхновой. Вспышка наблюдалась в 1572 году, то есть за 434 года до определения спектра. Но можно и примерно прикинуть время этого события. Например, опираясь на время работы Кеплера. Другое реперное событие — изобретение телескопа. Тихо Браге был, пожалуй, последней яркой фигурой в дотелескопической астрономии, а Кеплер уже модернизировал телескоп Галилея новым окуляром. Телескоп был изобретен примерно 400 лет назад, а молодость Тихо Браге должна была прийтись не менее чем на четверть века раньше. Для дальнейших вычислений будем принимать величину запаздывания отраженного сигнала равной $\Delta t = 400$ лет. Следовательно, этот сигнал прошел дополнительные 400 световых лет или 123 пк.

Обратимся к рисунку. Обозначим точкой $S$ место вспышки сверхновой, $E$ — положение наблюдателя, а $P$ — пылевую структуру, отразившую свет сверхновой. Расстояние $SP$ обозначим как $L_2$ , $EP$ — как $L_1$ : $L_1 + L_2 = l + c\Delta t$ .

Заметим, что последнее уравнение описывает геометрическое место точек $P$ , сумма расстояний которых от двух заданных точек $E$ и $S$ постоянна. Это геометрическое определение эллипса, то есть все отражающие структуры, которые мы можем видеть одновременно лежат на дуге эллипса (поверхности эллипсоида в общем случае).

Обозначим угол $\angle SEP$ как $\theta$ . Запишем теорему косинусов для треугольника $\triangle ESP$ :

L_2^2 = l^2 + L_1^2 - 2lL_1\cos\theta = l^2 + (l + c\Delta t - L_2)^2 - 2l(l + c\Delta t - L_2)\cos\theta;

Эллипс с горизонтальной большой осью (штриховая линия). На оси отмечены точки E (слева) и S (справа), расстояние между ними обозначено l. На эллипсе вверху справа точка P; красные отрезки EP (L₁) и SP (L₂); угол θ между EP и осью при точке E.

Раскроем скобки в правой части. Тогда члены с $L_2^2$ сократятся и уравнение станет линейным относительно $L_2$ . Проведя простые преобразования, получим:

L_2 = \frac{l^2 + (l + c\Delta t)^2 - 2l(l + c\Delta t)\cos\theta}{2(l + c\Delta t - l\cos\theta)}.

Угол $\theta$ — это угловое расстояние между пылевой структурой и сверхновой. Из координат видно, что это расстояние невелико, поэтому можем получить приближенное значение с помощью теоремы Пифагора. Главное, не забывать, что при больших склонениях координатная сетка по прямому восхождению сжата в $\cos\delta$ раз.

\theta = \sqrt{\Delta\delta^2 + \Delta\alpha^2 \cdot \cos^2\langle\delta\rangle} = \sqrt{6.9^2 + 20.4^2 \cdot \cos 61^{\circ}} \approx 12^{\circ}.

Здесь $\langle\delta\rangle$ — среднее значение склонения, $\Delta\alpha$ и $\Delta\delta$ — разности прямых восхождений и склонений сверхновой и пылевой структуры. Для любителей сферических треугольников приведем точное решение:

\theta = \arccos(\sin\delta \cdot \sin\delta_0 + \cos\delta \cdot \cos\delta_0 \cdot \cos\Delta\alpha) \approx 12^{\circ}.

Из полученной ранее формулы получаем

L_2 \approx 760\ \text{пк} = 2500\ \text{св. лет}.

Комментарий. Результат с точностью до нескольких процентов совпадает с вычисленным расстоянием в статье «Scattered-light echoes from the historical galactic supernovae Cassiopeia A and Tycho (SN 1572)», из которой брались данные для этой задачи.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-T-9.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-T-9.pdf