Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 9. клас — Задача 3. Одно из двух

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Теоретический тур. Условия задач. 9 класс · 24 април 2026 г.

Условие

С помощью телескопа составляется каталог всех звёзд, видимый поток от которых превышает фиксированный порог. В окрестностях Солнца на один красный гигант приходится 400 звезд, подобных Солнцу (желтых карликов). Абсолютная звездная величина красных гигантов равна $-0.5^{m}$ , а желтых карликов $5^{m}$ . Считайте, что звёзды распределены в пространстве равномерно, а поглощением света можно пренебречь. Какой класс звёзд из представленных окажется более многочисленным в итоговом каталоге и во сколько раз?

Отговори

Решение

А. Н. Акиньщиков

Решение. Поток от звезды светимости $L$ на расстоянии $d$ равен

F = \frac{L}{4\pi d^2}.

Минимальному значению потока $F_{\min}$ соответствуют звезды, находящиеся на максимальном расстоянии $d_{\max}$ . Тогда

d_{\max} = \sqrt{\frac{L}{4\pi F_{\min}}} \propto L^{1/2}.

Пусть $V_{\max} = \frac{4}{3}\pi d^3_{\max}$ — объем, в котором находятся все видимые звезды данного типа. Тогда число звезд в этом объеме:

N = nV = \frac{4}{3}\pi\, n\, d^3_{\max} \propto n\, d^3_{\max} \propto nL^{3/2},

где $n$ — пространственная плотность числа звёзд данного типа. Следовательно, отношение числа красных гигантов $N_{\mathrm{g}}$ к числу карликов $N_{\mathrm{d}}$ равно:

\frac{N_{\mathrm{g}}}{N_{\mathrm{d}}} = \frac{n_{\mathrm{g}}}{n_{\mathrm{d}}}\left(\frac{L_{\mathrm{g}}}{L_{\mathrm{d}}}\right)^{3/2}.

Абсолютные звездные величины гигантов и карликов отличаются на $5.5^{m}$ звездных величин. Тогда из формулы Погсона получаем:

\frac{L_{\mathrm{g}}}{L_{\mathrm{d}}} = 10^{-0.4(-0.5-5)} \approx 158.

Отношение пространственных плотностей задано в условии. Подставим числа:

\frac{N_{\mathrm{g}}}{N_{\mathrm{d}}} = \frac{1}{400} \cdot 158^{3/2} \approx \frac{1986}{400} \approx 5.

Значит, в таком каталоге красных гигантов окажется в 5 раз больше, при том, что в пространстве они встречаются в 400 раз реже. Причина этого кажущегося парадокса в том, что яркая звезда видна с намного большего расстояния, то есть мы их выбираем из гораздо большего объема пространства.

Альтернативное решение. Выразим предельные звездные величины для красных гигантов и желтых карликов:

m_{\mathrm{lim}} = M_{\mathrm{g}} - 5 + 5\lg d_{\max\mathrm{g}}

m_{\mathrm{lim}} = M_{\mathrm{d}} - 5 + 5\lg d_{\max\mathrm{d}}

Так как предельная звездная величина одинакова из-за одинакового предельного потока:

M_{\mathrm{g}} - 5 + 5\lg d_{\max\mathrm{g}} = M_{\mathrm{d}} - 5 + 5\lg d_{\max\mathrm{d}}

5\lg d_{\max\mathrm{g}} - 5\lg d_{\max\mathrm{d}} = M_{\mathrm{d}} - M_{\mathrm{g}}

Тогда отношение предельных расстояний:

\frac{d_{\max\mathrm{g}}}{d_{\max\mathrm{d}}} = 10^{\frac{M_{\mathrm{d}} - M_{\mathrm{g}}}{5}} = 10^{\frac{5-(-0.5)}{5}} = 10^{1.1} \approx 12.59

И итоговое отношение числа звезд:

\frac{N_{\mathrm{g}}}{N_{\mathrm{d}}} = \frac{n_{\mathrm{g}}}{n_{\mathrm{d}}}\frac{\frac{4}{3}\pi\, n\, d^3_{\max g}}{\frac{4}{3}\pi\, n\, d^3_{\max d}} = \frac{12.59^3}{400} = \frac{1986}{400} \approx 5.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-T-9.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-T-9.pdf