ВсОА 2026, Заключителен етап, 9. клас — Задача 4. Звездный градусник

• $T_1/T_2 \approx 1.6$: если звезда типа Солнца более горячая, вторая звезда имеет температуру 3600 K; если звезда типа Солнца более холодная — 9300 K.

В. Б. Игнатьев, М. В. Кузнецов

Решение.

Пусть поток от двойной звезды вне затмения равен $F_0$, поток в главном минимум равен $F_1$, поток во вторичном минимуме равен $F_2$.

В главном минимуме закрывается более горячая звезда. Договоримся, что $T_1 > T_2$. Поскольку по условию орбиты звёзд круговые, то площадь перекрытия дисков звезд будет одинакова, обозначим её через $S$.

Запишем выражение для потока от двойной звезды минимумах: $F_1 = F_0 - \Delta F_1$, $F_2 = F_0 - \Delta F_2$, где $\Delta F_1$ и $\Delta F_2$ — слагаемые, в которых учитывается вклад излучения от площади $S$ закрываемой звезды с температурами $T_1$ и $T_2$ соответственно: $\Delta F_1 \sim \sigma T_1^4 S/r^2$, $\Delta F_2 \sim \sigma T_2^4 S/r^2$ (расстояние $r$ до обеих звёзд считаем одинаковым).

Это выражение можно свести к отношению потоков, и как следствие, к звездным величинам. Разделим и числитель, и знаменатель на $F_0$

Теперь вернемся к графикам, в которых по оси y отложена звездная величина, а не поток. Поэтому нужно провести еще несколько действий. В главном минимуме изменение звездной величины составляет $\Delta m_1 = 0.84^{m}$. Во вторичном минимуме — $\Delta m_2 = 0.09^{m}$.

Тогда отношение потоков:

Тогда искомое отношение температур

Нам неизвестно, какой индекс имеет звезда с массой и температурой Солнца. Возможно, это более горячая, а возможно, это более холодная звезда. Рассмотрим оба варианта.

1. Звезда типа Солнца, это более горячая звезда. Тогда вторая звезда будет иметь температуру 3600 К.
2. Звезда типа Солнца, это более холодная звезда. Тогда вторая звезда будет иметь температуру 9300 K.