Съдържание

ВсОА 2026, Заключителен етап, 9. клас — Задача 5. Два в одном

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Теоретический тур. Условия задач. 9 класс · 24 април 2026 г.

Условие

Полное лунное затмение вместе с частными теневыми фазами наблюдалось с 20:35 до 24:00 по всемирному времени. Одновременно вместе с затмением произошло покрытие Луной звезды Завийява, которое было видно только в небольшой части южного полушария.

1. Определите длительность полной фазы этого лунного затмения.

2. Определите дату этого затмения.

3. Оцените возможные широты, на которых можно было наблюдать покрытие Завийявы.

Орбиты Земли и Луны считайте круговыми. Эклиптические координаты Завийявы: широта $\beta = 41'$ , долгота $\lambda = 177^{\circ}$ . Изменением эклиптической широты Луны за время затмения пренебречь.

Отговори

Решение

В. Б. Игнатьев

Решение. Рассмотрим конус тени (см. рисунок ниже), который образует подобные треугольники, используя которые можно записать

\frac{R_{\odot}}{a_{\oplus} + x_2} = \frac{R_{\oplus}}{x_2} = \frac{R_2}{x_2 - a_{\text{☾}}},

где $R_{\odot}$ и $R_{\oplus}$ — это радиусы Солнца и Земли соответственно, $R_2$ — радиус тени на удалении Луны ( $a_{\text{☾}}$ ) от Земли, $a_{\oplus}$ — большая полуось орбиты Земли, $x_2$ — длина конуса земной тени. Выражаем из первого равенства $x_2$ , получаем:

x_2 = a_{\oplus}\frac{R_{\oplus}}{R_{\odot} - R_{\oplus}} = 1.496 \cdot 10^8 \cdot \frac{6370}{696\,000 - 6370} \approx 1.38 \cdot 10^6\ \text{км}.

Схема: справа большой круг Солнца с центром S и радиусом R⊙, в середине малый круг Земли с центром E и радиусом R⊕; общая касательная сходится на оси слева в вершине конуса тени. Точка M на оси с радиусом тени R₂. Внизу размерные стрелки: x₂ (от вершины конуса до E), a⊕ (от M до E — так подписано на рисунке), a⊕ (от E до S). — Рис. 1: Схема образования земной тени.

Из второго равенства выразим $R_2$ :

R_2 = R_{\oplus}\frac{x_2 - a_{\text{☾}}}{x_2} \approx 4600\ \text{км}.

Определим длину хорды, по которой проходит Луна через земную тень. Стоит отметить, что в пространстве двигается и Луна и тень. Эту задачу можно решить через относительную угловую скорость (разность угловой скорости Луны и тени), которая связана с синодическим периодом. Или же можно остаться в логике линейный скоростей, считая, что

v = \frac{2\pi a_{\text{☾}}}{S} = 0.947\ \text{км/с}.

Большой круг «тень» с центром O на штриховой линии «эклиптика». Два серых диска Луны касаются тени снаружи слева (центр U₄, красная точка) и справа (центр U₁); хорда U₄U₁ длины L (стрелка сверху) проходит выше эклиптики на высоте H; от O к центрам дисков проведены отрезки, отрезок OU₁ подписан R₂, радиус правого диска — R☾. — Рис. 2: Схема лунного затмения. Точка $U_1$ – момент начала затмения, диск Луны заходит в тень. Точка $U_4$ – момент окончания затмения.

где $S$ — синодический период Луны.

Если затмение не центральное, Луна проходит через тень не по диаметру, а по некоторой хорде. Расстояние, которое проходит центр Луны относительно тени в течение затмения можно определить, зная относительную скорость Луны и продолжительность затмения $T$ :

L = vT = 12\,300\ \text{с} \cdot 0.947\ \text{км/с} \approx 11\,650\ \text{км}.

Высота, на которой центр Луны проходит выше или ниже центра тени $H$ равна

H = \sqrt{(R_2 + R_{\text{☾}})^2 - (L/2)^2} = 2490\ \text{км}.

Теперь определим расстояние, которое проходит центр Луны во время полной фазы затмения:

L_2 = 2\sqrt{(R_2 - R_{\text{☾}})^2 - H^2} \approx 2820\ \text{км}.

Тогда искомое время полной фазы равно

\Delta t_2 = \frac{L_2}{v} = \frac{2820\ \text{км}}{0.947\ \text{км/с}} = 2970\ \text{с} \approx 50\ \text{мин}.

Второй вопрос задачи – определим дату затмения. Воспользуемся двумя фактами.

Во время полного лунного затмения Луна находится в противоположной Солнцу точке неба. Следовательно, эклиптическая долгота Солнца отличается от долготы Луны на $180^{\circ}$ .
Происходит покрытие Луной звезды с долготой $\lambda = 177^{\circ}$ .

Большой круг «тень» с центром O на штриховой линии «эклиптика». Внутри два серых диска Луны, касающиеся края тени изнутри, с центрами U₃ (слева) и U₂ (справа); красный отрезок U₃U₂ длины L₂ на высоте H над O; отрезок от O к U₃ обозначен R₂ − R☾. — Рис. 3: Схема полной фазы лунного затмения. Точка $U_2$ – момент начала полной фазы затмения, диск Луны полностью заходит в тень. Точка $U_3$ – момент окончания затмения.

Следовательно, долгота Солнца $\lambda_{\odot} = 357^{\circ}$ , то есть Солнце не дошло до точки весеннего равноденствия 3 дня. С учетом того, что равноденствие может приходиться на 19–21 марта, то ответ на второй вопрос 16–18 марта.

Перейдем к третьему вопросу. На первом этапе решения задачи мы определили, что Луна проходит выше или ниже центра тени, который лежит на эклиптике. Переведем эту высоту в градусную меру:

\beta_{\text{☾}} = \frac{206265H}{a_{\text{☾}}} = 1336'' \approx 22'.

Видимость покрытия будет обусловлена параллактическим эффектом. Если Луна находится выше эклиптики, то покрытие звезды можно увидеть почти на всех широтах, в том числе и в северном полушарии, что противоречит условию задачи. Напротив, если Луна находится ниже эклиптики, то эффект параллакса будет поднимать Луну, если наблюдатель смещается на юг.

Если наблюдатель переместится на самую удаленную точку Земли от эклиптики, то Луна изменит свое положение относительно звезд на величину параллакса Луны:

p = \frac{206265R_{\oplus}}{a_{\text{☾}}} = 57'

В этом случае центр Луны окажется на эклиптической широте $-22' + 57' = 35'$ , что ниже широты Завияки на $6'$ . С учетом того, что Луна имеет значительный угловой радиус ( $\approx 16'$ ), наблюдатель в самой нижней точке от эклиптики будет наблюдаться покрытие звезды. Также, если подняться выше к плоскости эклиптики (это не обязательно севернее), то покрытие будет наблюдаться до момента, пока суточный параллакс Луны будет больше, чем $57' - 16' + 6' = 47'$ .

Диск Земли с центром O; штриховая горизонталь «эклиптика» через O; синяя ось вращения через полюса P_N (сверху) и P_S (снизу); красный экватор. Горизонтальная прямая y = −0.82·a ниже эклиптики на расстояние H₂ пересекает диск в точках Q₁ и Q₂; сегмент ниже неё заштрихован. Угол α между вертикалью из O и радиусом OQ₁. — Рис. 4: Вид с Луны на Землю в момент равноденствия. Заштрихованная область — область где возможно наблюдение покрытия.

Определим предельную эклиптическую широту верхнего края Луны, при которой покрытие еще наблюдается: она равна $41'$ . Отсюда находим минимальное параллактическое смещение для наблюдателя, который сможет увидеть покрытие: $47'$ . Это смещение соответствует линейному расстоянию от эклиптики $H_2 = 5255$ км.

Определим угол $\alpha$ (см. рисунок)

\cos\alpha = \frac{H_2}{R_{\oplus}} = \frac{5255}{6371} \qquad \to \qquad \alpha = 34.4^{\circ}

Так как самая удаленная от эклиптики точка в день весеннего равноденствия имеет широту $-66.5^{\circ}$ , то максимальная широта, на которой можно увидеть покрытие Завийявы равна $-32.1^{\circ}$ .

Плоская схема: из точки осеннего равноденствия (знак ♎) слева выходят горизонтальная линия «экватор» и наклонная линия «эклиптика» под углом ε. Звезда «Завийява» над эклиптикой на угловом расстоянии β; отрезок l от точки равноденствия к звезде под углом i к эклиптике; вдоль эклиптики отложено 180° − λ; вертикальный отрезок δ от звезды до экватора.

Завийява располагается чуть менее чем на градус выше эклиптики, а ее эклиптическая долгота немного меньше долготы точки осеннего равноденствия. В этой области эклиптика выше экватора, следовательно, склонение Завийявы положительное и с Южного полюса она не видна. Приблизительно можно оценить склонение в $1^{\circ}$ – $2^{\circ}$ , но это значение можно получить и более точно. Поскольку мы рассматриваем очень небольшую площадку на небе, воспользуемся плоским приближением. Расстояние от точки весеннего равноденствия до звезды равно $l = \sqrt{(41')^2 + (3^{\circ})^2} \approx 3^{\circ}$ , а наклон l к эклиптике $i = \mathrm{arctg}\,\frac{41'}{3^{\circ}} \approx 13^{\circ}$ . Отсюда склонение Завийявы равно

\delta = l\sin(\varepsilon + i) = 1^{\circ}48',

а самая южная широта наблюдения покрытия $88^{\circ}12'$ ю. ш.

Таким образом, наблюдать покрытие Завийявы можно на широтах от 32.1 ю. ш. до 88.2 ю. ш.

Оригинал в Архива: vos-2026-final-prob-T-9.pdf · официални решения: vos-2026-final-sol-T-9.pdf