ВсОА 2026, Заключителен етап, 9. клас — Задача 6. Восточный экспресс

• Прямой запуск: $n = 3$ целых витка (всего $3\frac{3}{4}$ оборота) на опорной орбите и $k = 0$ (половина оборота) на промежуточной; $\Delta T \approx 10.9$ ч, конечная долгота $54.5^{\circ}$ в. д.

В. Б. Игнатьев

Решение.

Будем решать задачу в системе отсчета центра Земли.

Этап 1. Определение времен всех маневров.

Определим период обращения спутника на опорной круговой орбите.

Теперь рассмотрим промежуточную эллиптическую орбиту. Определим афелийное расстояние на этой орбите:

Отметим, что в качестве периода обращения Земли для расчетов геоцентрической орбиты нужно подставлять звездные сутки, не 24 часа, а $23^{h}56^{m}04^{s} = 86164^{s}$.

Большая полуось эллиптической орбиты находится как

Период обращения аппарата на этой орбите составляет

Этап 2. Расчеты долгот. За некоторое время $\Delta t$ Земля повернется на угол

Но при этом спутник сделает нецелое число витков вокруг центра Земли.

Переход между опорной и промежуточной орбитами осуществляется в точке в экваториальной плоскости Земли, а начальная точка по условию является самой северной точкой орбиты. Поэтому на опорной орбите спутник может сделать целое число витков $n$ ($n = 0, 1, 2...$) и либо $\frac{1}{4}$, либо $\frac{3}{4}$ оборота. За один оборот спутника на этой орбите Земля провернется под ним на угол $22.4^{\circ}$.

На промежуточной эллиптической орбите период спутника равен $T_2 = 37\,925$ секунд, что соответствует повороту Земли на $158.5^{\circ}$. Для выхода на геостационарную орбиту спутнику на промежуточной орбите необходимо сделать полуцелое число оборотов $k + \frac{1}{2}$. Где $k = 0, 1, 2....$

Этап 3. Последовательность маневров.

Выработаем последовательность маневров для вывода спутника на долготу Уфы. Для решения этой задачи расчеты разумнее производить через углы поворота, а не через время. Но в конце решения надо будет проверить, чтобы итоговое время оказалось менее 48 часов.

Рассмотрим случай, когда на первой орбите спутник сделает $n + \frac{1}{4}$ витков.

Тогда после всех маневров спутник сделает

и спутник окажется на долготе $\lambda$ при старте с долготы $\lambda_0$:

Упростим выражение, оставив только целочисленные переменные $n$ и $k$:

Подставим значения $\lambda$ и $\lambda_0$:

Упростим:

здесь $M$ – целое число оборотов Земли.

В случае, если мы рассматриваем на первой орбите $n + \frac{3}{4}$ оборота перед переходом на вторую эллиптичную орбиту, то выражение будет иметь вид

Теперь надо подобрать целые числа $n$ и $k$, при которых равенство выполняется.

Составим таблицу угла смещения для различных $n$ и $k$:

и сравним полученные значение с искомыми.

По вертикальной оси $n$ – целое число витков на первой орбите, по горизонтальной оси $k$ – целое число витков на второй орбите. Для стратегии с $n + \frac{1}{4}$ нас интересуют значения угла поворота $257.45^{\circ}$ или $257.45^{\circ} + 360^{\circ}$, а для стратегии $n + \frac{3}{4}$ – значение $66.25^{\circ}$.

Из таблицы видим, что первый сценарий реализовать не получится, а второй реализуется при $n = 3$ и $k = 0$. Проверим, сколько времени потребуется для реализации всех маневров.

Альтернативные решения.

Найденная пара $n = 3,\ k = 0$ является оптимальной по времени перехода, однако не единственной. Если продолжить таблицу значений $f(\lambda)$ из стратегии $n + \frac{3}{4}$ на большие значения $n$ (т.е. рассматривать варианты, в которых правая часть равенства (2) обходит лишние $360^{\circ}$ за счёт дополнительных оборотов Земли), обнаруживаются ещё два попадания в окрестность Уфы — $n = 19,\ k = 0$ и $n = 12,\ k = 1$. В обоих случаях суммарное время составляет около 34.9 часа, то есть формальным условиям варианты удовлетворяют.

Кроме того, условие задачи фиксирует наклонение опорной орбиты ($i = 51.88^{\circ}$, поскольку космодром Восточный — самая северная её точка), но не задаёт направление обращения спутника. При запуске «против вращения Земли» (по ретроградной орбите) положения восходящего и нисходящего узлов в инерциальной системе меняются местами, и формулы (1) и (2) переходят друг в друга с заменой знака. Перебор показывает, что в коридоре $\pm 3^{\circ}$ от Уфы и в пределах 48 часов реализуются ещё три ретроградных решения – $n = 11,\ k = 0$, $n = 4,\ k = 1$ (около 22.9 часа), а также $n = 27,\ k = 0$ (около 46.9 часа).

Сводная таблица всех найденных в рамках условий задачи решений приведена ниже. Оптимальным остаётся прямой запуск $n = 3,\ k = 0$ – наименьшее время и наиболее реалистичный по энергозатратам вариант.