Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 2. Главный пояс астероидов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 10 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Общая масса главного пояса астероидов составляет 4% массы Луны. При этом десять самых массивных тел ГПА составляют около 55% от всей массы пояса. Предположим, что практически вся оставшаяся масса находится в астероидах, размер которых превышает 1 км. Средний радиус таких астероидов примем за 5 км. Считая, что все астероиды обращаются вокруг Солнца в одной плоскости и равномерно распределены внутри кольца с внутренним радиусом 2.1 а.е и внешним радиусом 3.3 а.е., определите характерное расстояние между такими астероидами.

Астероиды можно считать сферическими. Средняя плотность астероидов в главном поясе $\rho = 2\,500\ \text{кг}/\text{м}^3$ .

Отговори

Решение

В. Б. Игнатьев

Решение.

Сначала определим суммарную массу рассматриваемых астероидов. Она составляет 45% от массы всего главного пояса, которая в свою очередь, в 25 раз меньше массы Луны.

M = 0.45 \cdot 0.04 \cdot M_{\text{☾}} = 1.33 \cdot 10^{21}\ \text{кг}

Теперь оценим массу одного астероида:

M_1 = \rho \frac{4\pi}{3} R^3 = 2500\ \text{кг}/\text{м}^3\ \frac{4\pi}{3} (5 \cdot 10^3\ \text{м})^3 = 1.3 \cdot 10^{15}\ \text{кг}

Зная массу всех рассматриваемых астероидов и массу одного астероида, можно определить количество астероидов:

N = \frac{M}{M_1} = \frac{1.33 \cdot 10^{21}}{1.3 \cdot 10^{15}} = 10^6\ \text{штук.}

Теперь мы можем ответить на вопрос задачи, а именно оценить характерное расстояние между астероидами, если они распределены равномерно.

По условию задачи все астероиды находятся внутри кольца в одной плоскости, причем распределены в этом кольце равномерно. Тогда отношение площади всего кольца к числу астероидов даст нам площадь области кольца, «занятой» одним астероидом. Если мы посчитаем эту область кольцом, то диаметр этого кольца и будет являться характерным расстоянием между астероидами.

С одной стороны, площадь всего кольца астероидов равна

S = \pi R^2_{\text{внеш}} - \pi R^2_{\text{внут}} = \pi (3.3^2 - 2.1^2) = 20.35\ \text{а.е.}^2

С другой стороны,

S = N \cdot S_1 = N \frac{\pi}{4} D^2

где $D$ – характерное расстояние между астероидами. Выразим величину $D$ .

D = \sqrt{\frac{4S}{\pi N}}

Подставим значения:

D = \sqrt{\frac{4 \cdot 20.35\ \text{а.е.}^2}{\pi 10^6}} = 5.12 \cdot 10^{-3}\ \text{а.е.}

Переведем из астрономических единиц в километры:

D = 5.12 \cdot 10^{-3} \cdot 150 \cdot 10^6\ \text{км} \approx 7.6 \cdot 10^5\ \text{км.}

Возможны также другие оценки формы этой области (например, можно взять ее квадратной, и принять за характерное расстояние длину стороны этого квадрата). Найдем значение расстояния для такой формы области:

S = N \cdot S_1 = N D_{sq}^2

где $D_{sq}$ – характерное расстояние между астероидами. Выразим величину $D_{sq}$ .

D_{sq} = \sqrt{\frac{S}{N}}

Подставим значения:

D_{sq} = \sqrt{\frac{20.35\ \text{а.е.}^2}{10^6}} = 4.51 \cdot 10^{-3}\ \text{а.е.}

Переведем из астрономических единиц в километры:

D_{sq} = 4.51 \cdot 10^{-3} \cdot 150 \cdot 10^6\ \text{км} \approx 6.8 \cdot 10^5\ \text{км.}

Ответ: $7.6 \cdot 10^5$ км или $6.8 \cdot 10^5$ км.

Критерии оценивания. 16

К1. Определение суммарной массы исследуемых астероидов … 4

К2. Определение числа астероидов … 4

Если на этом этапе участник перепутал радиус астероида с его диаметром, то максимальная оценка за этот пункт – 1 балл, при прочих верных расчетах. Остальные пункты оцениваются, исходя из полученных участником величин.

К3. Использование плоской (двумерной) модели для вычисления характерной площади … 2

Участник может решать задачу и в трехмерной модели, в которой толщина кольца по вертикальной оси равна характерному диаметру астероида.

К4. Определение площади главного пояса астероидов … 2

Если участник использовал только один из двух заданных в условии радиусов или считал пояс квадратным, за данный этап ставится 0 баллов

К5. Определение характерного расстояния (в любой из описанных выше моделей) … 4

Данный балл ставится только при наличии верного численного ответа. Арифметическая ошибка в данном пункте, в том числе при переводе из одних единиц в другие, снижает оценку на 3 балла.

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-10.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-10.pdf