Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 3. Кратные орбиты

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 10 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Астероид двигается по круговой орбите вокруг Солнца. В некоторой точке орбиты вследствие взрыва он разделяется на два осколка, один из которых продолжает двигаться в том же направлении, что и исходный астероид. При этом орбитальный период первого осколка становится в два раза больше орбитального периода исходного астероида, а второй осколок переходит на орбиту с периодом обращения, в два раза меньшим периода исходного астероида.

Определите отношение масс осколков.

Отговори

Решение

В. Б. Игнатьев, А. Ф. Шишкина

Решение. Точка, в которой произошел взрыв астероида и разлет двух осколков, является перицентром орбиты первого осколка и апоцентром орбиты второго осколка.

Рассмотрим осколок, который продолжил двигаться в том же направлении по орбите с большим периодом. После разлета этот осколок стал двигаться быстрее, а точка разлета стала перицентром его орбиты. Запишем скорость в перицентре

V_p = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1 + e_1}{1 - e_1}} = \sqrt{\frac{GM}{q} (1 + e_1)} = V_0 \sqrt{1 + e_1}

$V_0$ – это скорость осколка на начальной круговой орбите, а $e_1$ – эксцентриситет орбиты, на которую перешел осколок.

Период новой орбиты стал в 2 раза больше, значит, полуось новой орбиты стала больше в $2^{2/3}$ раза. Для исходной орбиты астероида удаление астероида от Солнца было равно полуоси его орбиты $a_0$ , а после разлета это же расстояние стало перицентрическим расстоянием новой орбиты $q$ . Выразим отсюда $e_1$ .

a_0 = q = a_1 (1 - e_1) \qquad \to \qquad e_1 = 1 - \frac{a_0}{a_1} = 1 - 2^{-2/3} = 1 - k_1,

здесь мы ввели обозначение $k_1 = 2^{-2/3}$ .

Теперь рассмотрим второй осколок. Он замедляется, следовательно, будет находится в апоцентре своей орбиты. Проведем аналогичные рассуждения.

V_a = \sqrt{\frac{GM}{a} \frac{1 - e_2}{1 + e_2}} = \sqrt{\frac{GM}{Q} (1 - e_2)} = V_0 \sqrt{1 - e_2}

a_0 = Q = a_2 (1 + e_2) \qquad \to \qquad e_2 = \frac{Q}{q_2} - 1 = 2^{2/3} - 1 = k_2 - 1

здесь мы обозначили $k_2 = 2^{2/3}$

Теперь запишем закон сохранения импульса. Мы можем это сделать в системе отчета центрального тела (Солнца), а можем перейти в систему отчета астероида, который распадается. Обозначим за $m_1$ и $m_2$ массы соответствующих осколков.

(m_1 + m_2) \cdot V_0 = m_1 V_p + m_2 V_a

m_1 (V_0 - V_p) = -m_2 (V_0 - V_a)

Избавимся от скоростей осколков в перицентре и апоцентре их орбит, выразив их через скорость астероида на круговой орбите и эксцентриситеты орбит осколков.

m_1 V_0 (\sqrt{1 + e_1} - 1) = m_2 V_0 (1 - \sqrt{1 - e_2})

Запишем выражение для отношения масс осколков:

\frac{m_1}{m_2} = \frac{1 - \sqrt{1 - e_2}}{\sqrt{1 + e_1} - 1}

Подставим $e_1$ и $e_2$ в записанное выражение:

\frac{m_1}{m_2} = \frac{1 - \sqrt{2 - k_2}}{\sqrt{2 - k_1} - 1} = \frac{1 - \sqrt{2 - 2^{2/3}}}{\sqrt{2 - 2^{-2/3}} - 1} = 2.1

Существует и второй вариант, который может реализоваться в этой задаче. Второй осколок может полететь по эллиптической орбите уже в обратную сторону. При этом его скорость будет направлена строго против направления скорости исходного астероида, поскольку первый осколок по условию сохраняет направление своего движения. Запишем закон сохранения импульса в этом случае.

(m_1 + m_2) \cdot V_0 = m_1 V_p - m_2 V_a

m_1 (V_p - V_0) = m_2 (V_0 + V_a)

m_1 V_0 (\sqrt{1 + e_1} - 1) = m_2 V_0 (1 + \sqrt{1 - e_2})

\frac{m_1}{m_2} = \frac{1 + \sqrt{2 - k_2}}{\sqrt{2 - k_1} - 1} = \frac{1 + \sqrt{2 - 2^{2/3}}}{\sqrt{2 - 2^{-2/3}} - 1} = 9.63

Ответ: Отношение масс осколков – 2.1 или 9.6

Критерии оценивания. 16

К1. Анализ орбиты первого осколка. Нахождение эксцентриситета … 3

К2. Анализ орбиты второго осколка. Нахождение эксцентриситета … 3

Участник может определить численное значение эксцентриситетов (0.37 и 0.59), а может оставить в виде формулы для подстановки на финальном этапе задачи. При правильной записи формул или верных численных значениях пункты 1 и 2 оцениваются полностью.

К3. Верная запись и применение закона сохранения импульса. Случай 1 … 2

По данному критерию баллы ставятся только в том случае, если участник корректно записал закон сохранения импульса в любой из систем отчета.

К4. Получение выражения для отношения масс. Случай 1 … 2

К5. Верная запись и применение закона сохранения импульса. Случай 2 … 2

К6. Получение выражения для отношения масс. случай 2 … 2

К7. Запись финального ответа с двумя вариантами … 2

Рассмотрение только одного из вариантов может быть оценено максимум в 10 баллов, по критериям №№ $5 - 7$ в этом случае ставится 0 баллов.

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-10.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-10.pdf