Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 4. Подобрать окуляр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 10 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

У двойной системы, состоящей из одинаковых звезд, суммарный блеск равен $13.5^m$ , а угловое расстояние между компонентами $1.0''$ . Проводятся визуальные наблюдения этой системы в телескоп с диаметром $D = 20$ сантиметров и относительным отверстием $1/5$ . Определите диапазон увеличений, при которых звезду видно глазом в окуляр телескопа.

Разрешающая способность глаза $1'$ . Предельная звездная величина для глаза $6^m$ . Влиянием атмосферы пренебречь.

Отговори

Решение

В. Б. Игнатьев

Решение.

Рассмотрим разрешающую способность нашей оптической системы. Она зависит от диаметра объектива телескопа, от качества атмосферы и от разрешающей способности глаза.

Дифракционный предел телескопа

\theta_1 = \frac{1.22\lambda}{D} = 0.7'',

и это меньше, чем угловое разделение между звездами, поэтому двойная система в принципе может быть разрешена, то есть наблюдатель теоретически сможет увидеть две компоненты по отдельности.

Атмосферным размытием мы пренебрегаем по условию задачи.

Третий действующий фактор – разрешающая способность глаза и увеличение телескопа:

\theta_3 = \frac{60''}{\Gamma}

Угловое разделение между компонентами составляет $1.0''$ , что заметно больше дифракционного предела объектива. Рассмотрим вариант расчёта, при котором самая худшая разрешающая способность определяет разрешающую способность всей системы:

1.0'' = \frac{60''}{\Gamma_0}

отсюда получаем коэффициент увеличения $\Gamma_0 = 60$ крат. При увеличении, большем, чем 60, система видна как две отдельные звезды; при увеличении меньше $\Gamma_0$ наблюдатель будет видеть двойную звезду единым объектом.

Теперь рассмотрим проницающую способность телескопа. С одной стороны, при увеличении, большем, чем равнозрачковое, проницающая способность определяется только диаметром телескопа:

m_T = 6^m + 5 \lg \frac{D}{d_{\text{гл}}} = 6^m + 5 \lg \frac{200}{6} = 13.6^m.

В случае, если увеличение меньше, чем равнозрачковое

m_{T1} = 6^m + 5 \lg \Gamma.

Равнозрачковое увеличение для данного телескопа

\Gamma_R = \frac{F}{f} = \frac{D}{d_{\text{гл}}} = \frac{200}{6} = 33^x.

По условию задачи, двойная система состоит из двух одинаковых звезд, а ее суммарный блеск равен $13.5^m$ . Отметим, что суммарная звездная величина близка к предельной проницающей способности телескопа, но визуально систему в целом наблюдателю будет видно.

В случае, если наблюдатель сможет разрешить систему, для него звездная величина каждой компоненты будет равна

m_{1,2} = 13.6 + 2.5 \lg 2 = 14.35^m.

Это больше, чем предельная проницающая способность телескопа. Отсюда делаем вывод, что при увеличении, большем $\Gamma_0$ , наблюдатель не увидит ни звезду целиком, ни отдельные компоненты. Получаем ограничение на увеличение «сверху».

Определим нижнюю границу доступных нам увеличений оптической системы. При уменьшении коэффициента увеличения от величины $\Gamma_0 = 60$ до величины $\Gamma_R = 33$ ситуация не будет меняться. Действительно, проницающая способность определяется только диаметром объектива (который постоянен), а в этих условиях двойная система видна как одна звезда.

При коэффициенте увеличения, меньшем, чем $\Gamma_R$ , проницающая способность будет равна

m_{T1} = 6^m + 5 \lg \Gamma.

Подставим суммарную звездную величину двойной звезды и определим нижнюю границу доступных увеличений:

13.5 = 6 + 5 \lg \Gamma

Отсюда нижний предел коэффициента увеличения равен $\Gamma = 32$ крат.

Ответ $[32; 60]$

Примечание. Участник может решать задачу в более сложной модели. Можно учитывать разрешающую способность телескопа, как независимый источник погрешности наблюдений, тогда разрешающие способности объектива, атмосферы и глаза складываются как независимые ошибки, то есть квадратично:

\theta_{\Sigma} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_a^2 + \theta_3^2}

Влиянием атмосферы по условию задачи мы пренебрегаем, тогда

\theta_{\Sigma} = \sqrt{\theta_1^2 + \theta_3^2},

и условие на максимальное увеличение, при котором система способна разрешаться глазом, будет выглядеть следующим образом:

\theta_a = \sqrt{\theta_{\Sigma}^2 - \theta_1^2} = \frac{60''}{\Gamma_0}

Отсюда

\Gamma_0 = \frac{60''}{\sqrt{\theta_{\Sigma}^2 - \theta_1^2}} = \frac{60''}{\sqrt{1^2 - 0.7^2}} = 84

Оба варианта решения являются корректными и оцениваются в полном объеме.

Финальный ответ $[32; 60]$ или $[32; 84]$

Критерии оценивания. 16

К1. Определена разрешающая способность объектива … 2

К2. Определено увеличение, при котором система будут разрешена … 4

Запись выражения для разрешающей способности телескопа и глаза … 2
Определение величины увеличения (60 или 84, в зависимости от модели) … 2

К3. Проведена проверка, что звезду в принципе можно увидеть … 2

К4. Определены звездные величины компонент, явно сказано, что они ненаблюдаемы … 2

К5. Определено, что максимальное увеличение – $\Gamma_0$ … 2

Без проверки критерия 3 и критерия 4 максимальная оценка за данный пункт – 1 балл.

К6. Запись формулы предельной звездной величины для неравнозрачкового увеличения … 1

Данный критерий оценивается только при использовании формулы в решении. Просто записанная формула без подстановок значений и выводов не оценивается.

К7. Определение минимального коэффициента увеличения … 2

К8. Финальный ответ задачи $[32; 60]$ или $[32; 84]$ … 1

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-10.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-10.pdf