ВсОА 2026, Регионален етап, 10. клас — Задача 5. Вдали от Солнца

• 7300 km

  Измеренные длины зависят от формата печати; у участников могут получиться другие значения.

В. Б. Игнатьев

Решение. Сначала разберемся, какие данные могут быть получены из анализа кадра. На изображении есть Солнце, есть карликовая планета, у которой виден серп. Напомним, что изображение негативное, то есть наиболее темные области кадра являются наиболее яркими или освещенными в реальности.

Определим центр карликовой планеты на изображении. Это можно сделать несколькими альтернативными способами – например, можно провести две хорды окружности и построить их серединные перпендикуляры, тогда пересечение этих перпендикуляров определит положение центра окружности. Для повышения точности построений рекомендуется, чтобы таких перпендикуляров было три или больше.

Альтернативный метод – построить две параллельные хорды, тогда линия, соединяющая середины этих хорд, будет проходить через центр окружности или эллипса. Если использовать 3 семейства параллельных хорд, то можно определить центр с достаточно хорошей точностью.

Преимущество второго метода в том, что для него не нужно построение перпендикуляра с использованием циркуля.

Существует и третий метод — можно провести линию через края «рожек» серпа. Если мы видим весь серп целиком, то эта линия будет диаметром и будет проходить через центр планеты. Однако, у этого метода есть ограничения. Если наблюдатель находится слишком близко к объекту, то не весь серп может быть виден, и тогда метод не сработает. Но в данном случае точность определения центра этим методом будет вполне приемлемая. Впрочем, это связано это с тем, что мы работаем с художественным изображением.

Теперь проведем линию, соединяющую центр Солнца (точка $S$) и центр карликовой планеты (точка $O$). Построение показано на рис. 6.

Эта линия пересекает освещенный серп планеты. В направлении на Солнце видимая толщина серпа будет максимальной, и, измерив толщину серпа, можно получить значение фазы планеты.

Линейная фаза объекта рассчитывается как доля освещенного диаметра

$^{2}$Поскольку величина видимой освещенной стороны мала, то у участников могу быть близкие, но другие численные значения

Зная фазу объекта, мы можем получить значения фазового угла $\varphi$ – угла треугольника «Солнце – Объект – Наблюдатель» с вершиной в Объекте:

Обратим внимание, что фазовый угол в данном случае является тупым, то есть больше, чем $90^{\circ}$. Поскольку Солнце находится крайне далеко от объекта и наблюдателя, в рассматриваемом треугольнике «Солнце – Объект – Наблюдатель» величина угла с вершиной в Солнце крайне мала, и при суммировании этим углом можно пренебречь. Следовательно, можно найти угловое расстояние между Солнцем и центром карликовой планеты с точки зрения наблюдателя. Обозначим этот угол $l$

Теперь у нас есть ключ к определению масштаба изображения в угловой мере – мы можем сравнить расстояние $OS$ и расстояние $OA$, и получить угловой размер Эриды.

Измеряем при помощи линейки указанные величины. Расстояние $OS = 88$ мм, $OA = 27$ мм (у участников могут получиться другие значения; это определяется форматом печати заданий).

Тогда угловой радиус карликовой планеты

А зная линейный и угловые радиусы можно определить расстояния до объекта:

Ответ. $L = 7300$ км

Критерии оценивания. 20

При оценивании данной задачи допущенная участником арифметическая ошибка в критериях 2–6 снижает оценку за соответствующий критерий до 0 баллов. Каждый пункт оценивается только в случае верного его выполнения.

К1. Определение центра окружности/карликовой планеты … 4

В случае определения центра «на глазок» без дополнительных построений оценка за этот критерий не более 1 балла

В случае определения центра как точки пересечения двух отрезков (неточный метод) оценка за критерий не может превышать 3 баллов

К2. Определение величины фазы … 6

• Прямое утверждение, что фазу можно измерить по линии $OS$ … 3
• Выполнение измерений … 2
• Верный численный ответ $0.065 \pm 0.010$ … 1

К3. Определение фазового угла … 2

К4. Определение угла между Солнцем и центром Эриды … 3

К5. Определение углового диаметра или углового радиуса Эриды … 2

К6. Определение расстояния до объекта … 3

Отдельно стоит проговорить варианты решения данной задачи через нахождение каких-либо угловых расстояний по звездной карте. Такие решения противоречат условию задачи, в котором указано, что задача на изображение карликовой планеты. Тем не менее, возможны интересные случаи, которые мы и рассмотрим.

Вариант 1. В качестве основы для определения масштаба была взята ширина Млечного Пути. Разумной оценкой ширины Млечного Пути в районе созвездий Скорпион и Стрелец является величина $25^{\circ} - 30^{\circ}$. Здесь он заметно шире, чем в обычных местах. Ширина же Млечного Пути в миллиметрах будет равна 55, что равно диаметру Эриды. Это приведет к угловому радиусу $15^{\circ}$ и расстоянию 4400 км. Такое решение может быть оценено в 8 баллов из 20 при получении описанных выше значений.

Критерии оценивания. 8

При оценивании данной задачи допущенная участником арифметическая ошибка в критериях 2–6 снижает оценку за соответствующий критерий до 0 баллов. Каждый пункт оценивается только в случае верного его выполнения.

К1. Выполнение измерений на изображении … 1

К2. Верное определение масштаба изображения … 2

При оценке толщины Млечного Пути в районе созвездия Скорпиона $25^{\circ} - 30^{\circ}$, в противном случае – 0 баллов.

К3. Определение углового диаметра или углового радиуса Эриды … 2

К4. Определение расстояния до объекта … 3

Если же за основу взята оценка в $20^{\circ}$ и решение доведено до конца верно для взятых значений, то такое решение оценивается не более чем в 6 баллов.

Вариант 2. Участник записал координаты нескольких ярких звезд и нашел угловые расстояния между ними. Самый простой способ это сделать — записать координаты Антареса ($\alpha = 16^h 30^m$, $\delta = -26^{\circ}$) и, например, Арктура (его проще найти, $\alpha = 14^h 15^m$, $\delta = +19^{\circ}$) или Спики ($\alpha = 13^h 25^m$, $\delta = -11^{\circ}$). Далее методами сферической тригонометрии определяются угловые расстояния между звездами: $56^{\circ}$ или $45^{\circ}$. Это соответствует линейным расстояниям на изображении в 81 и 66 мм, что приводит к ответу на задачу в 3600 км. Такое решение оценивается в 14 баллов, если оно выполнено в полной мере. При этом возможен сценарий, в котором участник попытался оценить угловое расстояние между звездами. Такой оценочный метод решения оценивается так же, как и вариант 1 с Млечным Путем, при получении верного ответа.

Критерии оценивания. 14

При оценивании данной задачи допущенная участником арифметическая ошибка в критериях 2–6 снижает оценку за соответствующий критерий до 0 баллов. Каждый пункт оценивается только в случае верного его выполнения.

К1. Верная запись координат двух звезд … 2

К2. Определение углового расстояния … 4

К3. Выполнение измерений на изображении … 1

К4. Верное определение масштаба изображения … 2

К5. Определение углового диаметра или углового радиуса Эриды … 2

К6. Определение расстояния до объекта … 3

Возможно использование зодиакальных созвездий для определения масштаба. Если участник использует среднее размер зодиакальных созвездий $30^{\circ}$ (что в этой области неба не корректно), то оценивание такого решения стоит проводить по варианту 1. Если же участник сумел поставить на звездном небе точки осеннего равноденствия и/или зимнего солнцестояния, то такое решение оценивается по варианту 2.

Теперь рассмотрим несколько «плохих» случаев.

Вариант 3. Угловой размер Эриды сравнивается с угловым размером Солнца. Это тупиковая ветвь решения, которая не может привести к ответу на задачу. Все такие решения оцениваются в 0 баллов.

Вариант 4. В случае, если участник определил Солнце как эллиптическую галактику, удаленную от наблюдателя на какое-то расстояние, он решал свою задачу, которая не имеет никакого отношения к предложенной. Все такие решения оцениваются в 0 баллов.