Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 11. клас — Задача 2. Зависит от точки зрения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1 · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Земляне проводят наблюдения астероида. Известно, что его орбитальный период составляет 8 лет, эксцентриситет орбиты равен 0.4, а ее наклон составляет $40^{\circ}$ . Астероид наблюдается в афелии орбиты, расположенном симметрично относительно линии узлов (прямой, являющейся пересечением плоскостей орбит Земли и астероида). Какой может быть наблюдаемая (геоцентрическая) эклиптическая широта астероида в этот момент?

Отговори

Решение

А.В.Веселова

Решение. Поскольку точка афелия симметрична относительно линии узлов, это означает, что в афелии астероид находится не только дальше всего от Солнца, но и дальше всего от плоскости эклиптики. Пусть для определенности астероид находится над плоскостью эклиптики, в противном случае мы получим симметричный с точностью до знака набор ответов.

Определим большую полуось орбиты, а затем поймем, вне или внутри земной орбиты находится проекция афелия на плоскости эклиптики:

(T[\text{годы}])^2 \equiv (a[\text{а. е.}])^3 \quad \Rightarrow \quad a = 4\ \text{а. е.}

Расстояние от Солнца до проекции точки афелия на плоскость эклиптики составит

R_\alpha = r_\alpha \cos i = a(1+e)\cos i = 4 \cdot (1 + 0.4)\cos 40^{\circ} = 4.3\ \text{а. е.}

Следовательно, проекция афелия находится вне орбиты Земли. В таком случае (см. чертеж) максимальное и минимальное значения эклиптической широты будут соответствовать максимальному и минимальному удалению наблюдателя от астероида.

Чертеж: из точки на орбите Земли (оранжевая точка) под углом i к плоскости эклиптики проведен отрезок r_α к астероиду в верхнем правом углу; от двух положений Земли на линии «Орбита Земли» к астероиду проведены отрезки r_max и r_min с углами β_min и β_max; пунктиром показана высота h и прямой угол. — Рис. 1: Чертеж к решению задачи 2.

Максимальное значение эклиптической широты найдем таким образом: определим расстояние от Земли до астероида по теореме косинусов, затем по теореме синусов оценим широту.

r_{\min} = \sqrt{r_\alpha^2 + a_\oplus^2 - 2r_\alpha \cdot a_\oplus \cos i} = \sqrt{5.6^2 + 1^2 - 2 \cdot 5.6 \cdot 1 \cdot \cos 40^{\circ}} = 4.9\ \text{а. е.},

\frac{\sin(180^{\circ} - \beta_{\max})}{r_\alpha} = \frac{\sin i}{r_{\min}} \quad \Rightarrow \quad \sin\beta_{\max} = \frac{r_\alpha}{r_{\min}} \cdot \sin i \quad \Rightarrow \quad \beta_{\max} = 47^{\circ}.

Аналогично определим минимальное значение эклиптической широты:

r_{\max} = \sqrt{r_\alpha^2 + a_\oplus^2 - 2r_\alpha \cdot a_\oplus \cos(180^{\circ} - i)} = \sqrt{5.6^2 + 1^2 - 2 \cdot 5.6 \cdot 1 \cdot \cos 140^{\circ}} = 6.4\ \text{а. е.},

\frac{\sin\beta_{\min}}{r_\alpha} = \frac{\sin i}{r_{\max}} \quad \Rightarrow \quad \sin\beta_{\min} = \frac{r_\alpha}{r_{\max}} \cdot \sin i \quad \Rightarrow \quad \beta_{\min} = 34^{\circ}.

Таким образом, при расположении афелия над плоскостью эклиптики диапазон наблюдаемых эклиптических широт составит $[34^{\circ}; 47^{\circ}]$ , а с учетом расположения афелия под плоскостью эклиптики диапазон примет вид $[-47^{\circ}; -34^{\circ}] \cup [34^{\circ}; 47^{\circ}]$ .

Критерии оценивания.

К1. Вычисление радиуса орбиты, получение верного ответа 2
К2. Верное понимание наклона орбиты (угол с центром в Солнце) 1
К3. Верный расчет (или верная формула) для расстояния от Солнца до астероида в афелии 1
К4. Верное понимание и указание конфигураций, при которых достигаются наименьшая и наибольшая широты (по модулю или просто положительные) 2
К5. Геометрические построения и/или верные формулы для получения граничных значений широты 5
К6. Расчет верных значений максимальной и минимальной широт (по модулю или просто положительных), допустима погрешность $\pm 1^{\circ}$ 1+1
К7. Указание интервала для широт вместо отдельных граничных значений 1
К8. Верный учет отрицательных широт (явное указание соответствующего интервала в качестве части ответа) 2

Максимальная оценка: 16

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-11.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-11.pdf