ВсОА 2026, Регионален етап, 11. клас — Задача 3. Усыхающий Нептун

• 4 см

  Радиус Нептуна уменьшается примерно на 4 см ($\Delta R \approx 0.044$ м) за один оборот; по критериям достаточна порядковая точность, 1 ÷ 10 см.

П.А.Тараканов

Решение. Поскольку Нептун является планетой (а не звездой и не бурым карликом), то источником дополнительной энергии термоядерный синтез в нем служить не может. Выделение энергии за счет радиоактивного распада тяжелых ядер у планет пренебрежимо мало, и единственным источником дополнительной энергии может являться только постепенное сжатие Нептуна, которое и приводит к изменению его радиуса.

Потенциальная энергия $\Phi$ самогравитирующего газового шара может быть выражена как

где $M$ — масса шара, $R$ — его радиус, $\varkappa$ — коэффициент, зависящий от распределения плотности внутри шара, во всех «естественных» случаях $\varkappa \approx 1$.

Поскольку сжатие происходит медленно, то в каждый момент времени для Нептуна выполняется вириальное соотношение $2U + \Phi = 0$ (тут $U$ — внутренняя энергия Нептуна) и $U = -\frac{\Phi}{2}$, откуда следует, что только половина выделяющейся при сжатии энергии будет расходоваться на излучение, а вторая половина — на нагрев Нептуна, поскольку и изменения энергий связаны так же, $dU = -\frac{d\Phi}{2}$.

Получим зависимость изменения радиуса от изменения потенциальной энергии, продифференцировав соотношение (3):

или, считая оба изменения положительными величинами (хотя и потенциальная энергия, и радиус уменьшаются),

Заметим, что тот же результат можно получить и путем вычитания друг из друга значений потенциальной энергии для $R$ и $R - \Delta R$, а затем отбрасывания малых членов, но так эффективнее.

По условию энергия $\Delta E$, получаемая Нептуном от Солнца за один его оборот вокруг Солнца, будет связана с $\Delta\Phi$ как

Эта же энергия, поскольку Нептун по условию абсолютно черное тело, может быть выражена как

где $L_\odot$ — светимость Солнца, $r$ — радиус орбиты Нептуна, $P$ — орбитальный период Нептуна. Тогда

Для вычислений осталось определить некоторые недостающие параметры. Коэффициент $\varkappa$ можно принять равным 1, а орбитальный период Нептуна либо вспомнить (165 лет), либо вычислить из III закона Кеплера как $P = 30^{3/2}$ лет, что составляет $P = 5.2 \cdot 10^9$ с.

Окончательно вычисляем (все величины в СИ)

Итого за один оборот вокруг Солнца радиус Нептуна уменьшается примерно на 4 см.

Критерии оценивания.

• К1. Утверждение о гравитационном сжатии как источнике энергии 3

  • Если участник его использует, но никак не формулирует 2
• К2. Выражение (3), явно записанное или неявно используемое 1
• К3. Связь $\Delta\Phi$ и $\Delta R$, полученная любым способом 2
• К4. Выражение (или вычисление) энергии $\Delta E$ 2
• К5. Учет вириального соотношения, достаточен результат 2

  • При его отсутствии все остальные части решения оцениваются полным баллом (итоговый ответ при этом должен уменьшиться в 2 раза).
• К6. Оценка коэффициента $\varkappa = 1$ 2

  • Если участник использует значение для однородного шара $\varkappa = 3/5$ 1
• К7. Знание или вычисление орбитального периода Нептуна 2
• К8. Правильный итоговый ответ (достаточна порядковая точность, $1 \div 10$ см) 2

Максимальная оценка: 16

Если в решении явно указано, что радиус Нептуна увеличивается, то за все решение выставляется не более 4 баллов.