ВсОА 2026, Регионален етап, 11. клас — Задача 5. Спектральный вальс

• $2.5 \times 10^{9}$ M_⊙

  $M = 2.5 \cdot 10^9 M_\odot$. В решении дважды отпечатано „$\lambda_1 = 5030$ Å и $\lambda_1 = 5047$ Å“ (второе должно быть $\lambda_2$) и лабораторная длина волны обозначена $\lambda$ вместо $\lambda_0$ — оставлено как напечатано.

М.В.Костина

Решение. Поскольку частицы диска движутся вокруг черной дыры с круговой скоростью

то масса центральной черной дыры будет равна

Так как требуется найти массу в массах Солнца — $M_\odot$, то удобнее воспользоваться естественными для этой задачи единицами измерения: $M_\odot$, а.е., год. В этих единицах $G = 4\pi^2\ \text{а.е.}^3\ \text{год}^{-2}\ M_\odot^{-1}$ (в чем несложно убедиться, записав III закон Кеплера для системы «Солнце–Земля») и

Нам нужно найти радиус диска $R$ и скорость вращения его частиц на этом радиусе $v$. Скорость определим по спектру в левой части рисунка. По условию длины волн линий $\lambda_1$ и $\lambda_2$ соответствуют экстремальным отклонениям лучевой скорости от среднего значения и луч зрения лежит в плоскости диска. Это означает, что мы наблюдаем один край диска, приближающийся к нам с круговой скоростью, а другой — удаляющийся с такой же скоростью (и при этом весь диск как целое также движется относительно нас). Тогда круговой скорости диска будет соответствовать смещение одной из линий, например $\Delta z_2$, относительно средней длины волны $(\lambda_1 + \lambda_2)/2$.

Если произвести аналогичную выкладку для $\Delta z_1$, получится, естественно, такой же по модулю, но отрицательный результат.

По спектру находим $\lambda_1 = 5030$ Å и $\lambda_1 = 5047$ Å. Скорость света в единицах а.е./год равна

(поскольку Земля с орбитальной скоростью 30 км/с проходит за год $2\pi$ а.е.). Вычисляем круговую скорость для диска:

Угловой радиус диска найдем по правой части рисунка. Определим масштаб изображения. Сторона квадрата равна 83 мм, значит в одном миллиметре $5/83 \approx 0''.06$. Расстояние между областями, для которых получены спектры, на снимке равно 11 мм, следовательно угловое расстояние между ними на небе равно $0''.66$. угловой радиус диска равен половине расстояния между его диаметрально противоположными точками, т.е. $0''.33$.

Для того, чтобы получить радиус в линейных единицах, нужно знать расстояние до галактики. Его можно получить, зная красное смещение $z$. Так как по условию пекулярная скорость галактики нулевая, то скорость центра диска обусловлена только космологическим расширением, а соответствующее ей красное смещение подчиняется закону Хаббла:

где $c$ — скорость света в км/с, $H \approx 70$ км/с/Мпк — постоянная Хаббла, $r$ — искомое расстояние в Мпк.

Так как линии в спектре расположены симметрично, то средняя длина волны будет соответствовать положению линии в центре диска. Красное смещение этой средней и будет общим космологическим красным смещением галактики. Среднее арифметическое длин волн линий в спектре равно $\lambda = 5038.5$ Å, а лабораторная длина волны $\lambda = 5007$ Å. Следовательно, красное смещение галактики

Отсюда находим расстояние до нее:

Как известно, 1 а.е. с расстояния в 1 пк видна под углом в $1''$, следовательно, $0''.33$, видимым с расстояния в 1 пк, соответствуют 0.33 а.е., а с расстояния в $27 \cdot 10^6$ пк — $0.33 \cdot 27 \cdot 10^6 = 8.9 \cdot 10^6$ а.е. Это и есть искомый радиус диска.

Окончательно находим массу черной дыры:

Отметим также, что все промежуточные вычисления можно выполнять и в любой другой системе единиц (в том числе в СИ), а затем перевести в массы Солнца, итоговый результат от этого, естественно, не поменяется.

Критерии оценивания.

• К1. Выражение для массы черной дыры через круговую скорость диска 2
• К2. Определение $\lambda_1$ и $\lambda_2$ по спектру на рисунке 1+1
• К3. Вычисление скорости вращения диска 4
• К4. Определение углового радиуса диска по рисунку 2

  • Если вместо радиуса определен и дальше используется диаметр, то оценка за этот пункт — 1 балл.
• К5. Понимание того, что красное смещение галактики равно смещению для среднего арифметического $\lambda_1$ и $\lambda_2$ 2
• К6. Вычисление расстояния до галактики 3
• К7. Вычисление (любым способом) линейного радиуса диска 2
• К8. Вычисление массы черной дыры 3

  • Если ответ для массы дан не в массах Солнца, то оценка снижается на 1 балл.

Максимальная оценка: 20