Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 11. клас — Задача 10. Сверхновая задача

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 2. Условия задач. 11 класс · 25 февруари 2026 г. · 20 т.

Условие

У источника повторных быстрых радиовсплесков обнаружено рекордно быстрое уменьшение меры дисперсии DM. Считается, что это связано с расширением остатка вспышки сверхновой и, тем самым, уменьшением плотности этого остатка.

Можно считать, что остаток сверхновой полностью ионизован и находится на стадии свободного расширения. Тогда изменение со временем меры дисперсии из-за расширения остатка можно выразить так:

\mathrm{DM} = 260\ \text{пк/см}^3 \left(\frac{M}{10M_{\odot}}\right)^2 \left(\frac{E_0}{10^{44}\ \text{Дж}}\right)^{-1} \times \left(\frac{t}{100\ \text{лет}}\right)^{-2},

где $M$ — масса выброса, $E_0$ — энергия взрыва, а $t$ — время, прошедшее с момента вспышки.

Измерения меры дисперсии для этого источника приведены на рисунке.

A. Определите по графику скорость изменения меры дисперсии. [3 т.]

B. Определите возраст остатка сверхновой в годах. [5 т.]

C. Определите скорость расширения оболочки сверхновой, считая ее постоянной. Примите $E_0 = 2 \cdot 10^{44}$ Дж. [9 т.]

D. Определите радиус остатка в данный момент в парсеках. [3 т.]

На графике приведены данные, относящиеся только к остатку вспышки сверхновой, все другие факторы, вносящие вклад в наблюдаемое значение DM, вычтены.

На рисунке показана эволюция меры дисперсии примерно за 3 года наблюдений, начиная от некоторого момента в недавнем прошлом. По оси абсцисс отложены непрерывные отсчеты времени в сутках. По оси ординат — мера дисперсии DM. Горизонтальная жирная линия отмечает среднее значение меры дисперсии на показанном промежутке. Также на графике проведена пунктирная линия, соответствующая наилучшей линейной модели для определения скорости уменьшения DM на данном промежутке времени.

График зависимости меры дисперсии DM (пк/см³, ось ординат от 600 до 640 с шагом 10) от времени (сутки, ось абсцисс от 0 до 1100 с шагом 100). Точки измерений убывают примерно от 642 до 603; горизонтальная жирная линия на уровне 620 (среднее значение); пунктирная прямая наилучшей линейной модели идет примерно от 637 при 20 сутках до 601 при 1100 сутках. — Рис. 2: Рисунок к задаче 10.

Для справки. Мера дисперсии DM — это характеристика среды, через которую проходит излучение, определяющая разное время прихода сигналов к наблюдателю на разных частотах. Мера дисперсии равна полному числу электронов на луче зрения в столбе сечением 1 см $^2$ и измеряется в астрономии в единицах пк/см $^3$ :

\mathrm{DM}\ [\text{пк/см}^3] = \langle n_{\mathrm{e}}\rangle\, r,

где $\langle n_{\mathrm{e}}\rangle$ — средняя концентрация электронов на луче зрения и $r$ — расстояние до источника.

Отговори

Решение

М.В.Костина

Решение.

A. По графику измеряем скорость изменения меры дисперсии, которая составит $-12.4$ пк/см $^3$ в год.

B. Мера дисперсии зависит только от времени, так как остальные величины в формуле константы. Эта зависимость нелинейная. Но у нас есть мгновенная скорость изменения DM и значение ее самой в настоящий момент. Мгновенная скорость — это производная DM по времени. Тогда можно продифференцировать зависимость DM от времени:

\frac{d\,\mathrm{DM}}{dt} = -2t^{-2-1} = -\frac{2 \cdot \mathrm{DM}}{t}.

Таким образом, возраст остатка находим так:

t = \left|-\frac{2 \cdot \mathrm{DM}}{d\,\mathrm{DM}/dt}\right| = \frac{2 \cdot 620}{12.4} = 100\ \text{лет}.

C. Энергия взрыва $E_0$ идет на разгон оболочки массы $M$ до скорости $v$ :

E_0 = \frac{Mv^2}{2}. \qquad (2)

Получив возраст остатка, можно найти комбинацию

\left(\frac{M}{10M_{\odot}}\right)^2 \left(\frac{E_0}{10^{44}\ \text{Дж}}\right)^{-1} = 620\ \text{пк/см}^3/260\ \text{пк/см}^3 = 2.4.

Масса выброса нам неизвестна, поэтому ее нужно выразить из полученной комбинации через энергию:

\frac{M}{10M_{\odot}} = \left(2.4 \cdot \frac{E_0}{10^{44}\ \text{Дж}}\right)^{1/2}, \qquad (3)

M = 2 \cdot 10^{31}\,\text{кг}\left(2.4 \cdot \frac{E_0}{10^{44}\ \text{Дж}}\right)^{1/2} = 3.1 \cdot 10^9 \sqrt{E_0[\text{Дж}]}\,\text{кг}.

Найдем скорость:

v = \sqrt{\frac{2E_0}{M}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{E_0}}{3.1 \cdot 10^9}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2 \cdot 10^{44}}}{3.1 \cdot 10^9}} = 3 \cdot 10^6\ \text{м/с} =

= 3 \cdot 10^3\ \text{км/с} = \frac{3 \cdot 10^3}{30} \cdot 2 \cdot \pi\ \text{а.е./год} \approx 6 \cdot 10^2\ \text{а.е./год}.

D. Осталось определить радиус:

R = vt = 6 \cdot 10^2\ \text{а.е./год} \cdot 100 = 6 \cdot 10^4\ \text{а.е.} \approx 0.3\ \text{пк}.

Критерии оценивания.

K1. Пункт A: измерение скорости изменения DM по графику — 3

Если погрешность определения скорости больше 0.4 пк/см $^3$ в год, оценка за этот пункт снижается на 1 балл.

K2. Пункт B — 5

Дифференцирование DM по времени — 3
Вычисление возраста остатка — 2
- Если ответ для возраста дан не в годах, оценка снижается до 1 балла при правильном численном значении.

K3. Пункт C — 9

Явное утверждение о том, что энергия $E_0$ является кинетической энергией оболочки, или неявное использование этого утверждения (например, в виде формулы (2)) — 2
Получение выражения, связывающего массу оболочки и $E_0$ ((3) или аналогичного) — 4
Вычисление скорости — 3

K4. Пункт D: вычисление радиуса — 3

Если ответ для радиуса дан не в парсеках, оценка снижается до 1 балла при правильном численном значении.

Максимальная оценка: 20

Тот же график, что и в условии: мера дисперсии DM (пк/см³, от 600 до 640) в зависимости от времени (сутки, от 0 до 1100); точки измерений, горизонтальная жирная линия среднего значения 620 и пунктирная прямая наилучшей линейной модели. — Рис. 4: Рисунок к задаче 10.

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day2-11.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day2-11.pdf