Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 9. клас — Задача 2. Школа навигаторов

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 9 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

В школе юных навигаторов два друга обсуждали свои экзаменационные космические полеты. Каждый из них должен стартовать с Земли, посетить поочередно две звезды и вернуться на Землю. Вася выбрал две звезды видимой звездной величины $4^m$ , а Петя — звезды $3^m$ и $5^m$ . Известно, что угловое расстояние между каждой парой звезд на небесной сфере составляет $90^{\circ}$ . Все четыре звезды имеют одинаковую светимость, а тренировочные космолеты — одинаковую скорость. Определите, чей маршрут окажется короче и во сколько раз. Межзвездным поглощением света пренебречь.

Отговори

Решение

Решение. Маршрут космолета представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами на Земле и двух выбранных звездах. Длина всего пути равна сумме сторон этого треугольника.

Поскольку светимости звезд одинаковые, различие в их звездных величинах кроется только в разных расстояниях до них. По определению разница в одну звездную величину соответствует отношению освещенностей $10^{0.4} \approx 2.512$ . Освещенность, создаваемая звездой, обратно пропорциональна квадрату расстояния до звезды. Пусть $l_4$ — расстояние от Земли до звезды с видимой звездной величиной $4^m$ . Тогда расстояние до звезды $5^m$ равно

l_5 = \sqrt{10^{0.4}}\, l_4 = 10^{0.2} l_4,

а до звезды $3^m$ —

l_3 = 10^{-0.2} l_4.

Рассмотрим маршрут Васи (см. рисунок). Его длина составляет

L_1 = l_4 + l_4 + \sqrt{2}\, l_4 = (2 + \sqrt{2})\, l_4.

Два прямоугольных треугольника с общей вершиной «Солнце» (прямые углы при ней). Треугольник «Вася»: вершины 4^m слева и 4^m сверху, катеты l_4 и l_4. Треугольник «Петя»: вершины 5^m справа и 3^m снизу, катеты l_5 и l_3.

На маршруте Пети один катет равен $l_5$ , второй — $l_3$ , а гипотенуза — $\sqrt{l_5^2 + l_3^2}$ . Тогда длина всего петиного маршрута

L_2 = l_5 + l_3 + \sqrt{l_5^2 + l_3^2} = 10^{0.2} l_4 + 10^{-0.2} l_4 + \sqrt{10^{0.4} l_4^2 + 10^{-0.4} l_4^2} = l_4 \left(10^{0.2} + 10^{-0.2} + \sqrt{10^{0.4} + 10^{-0.4}}\right).

Вычислим отношение длин двух маршрутов:

\frac{L_2}{L_1} = \frac{10^{0.2} + 10^{-0.2} + \sqrt{10^{0.4} + 10^{-0.4}}}{2 + \sqrt{2}} \approx 1.15.

Ответ. Маршрут Васи короче примерно в 1.15 раза.

Критерии оценивания. 16

К1. Расстояния до звезд — 8

Разности $1^m$ соответствует отношение освещенностей 2.512 — 1
Освещенность $\propto l^{-2}$ — 1
Расстояния до звезды каждого типа: по 2 балла за тип — 6

К2. Длина пути Васи — 2

К3. Длина пути Пети — 3

К4. Выводы — 3

Оценивается только при правильном предыдущем решении.

Какой путь короче — 1
Во сколько раз — 2

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-9.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-9.pdf