Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 9. клас — Задача 3 о максимумах

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 9 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

Астероид движется вокруг Солнца по круговой орбите, лежащей в плоскости орбиты Земли. Максимальное расстояние между Землей и астероидом в 3.5 раза больше минимального расстояния между ними. Определите максимально возможное время (в годах или долях года), в течение которого астероид непрерывно находится ближе к Земле, чем к Солнцу. Орбиту Земли считайте круговой.

Отговори

Решение

Решение. Определим параметры орбиты астероида. Изначально неизвестно, является он внутренним или внешним, поэтому проверим оба варианта.

Расстояние между Землей и астероидом максимально, если они находятся на одной прямой с Солнцем по разные стороны от него. Если $a$ — радиус орбиты астероида, а $a_{\oplus}$ — радиус орбиты Земли, то максимальное расстояние $r_{\mathrm{max}} = a_{\oplus} + a$ .

Минимальное расстояние достигается, когда астероид и Земля также находятся на одной линии с Солнцем но по одну сторону от него: $r_{\mathrm{min}} = |a_{\oplus} - a|$ . Здесь мы записали модуль, поскольку есть два варианта расположения астероида: между Землей и Солнцем или по другую сторону относительно Земли. Тогда

\frac{r_{\mathrm{max}}}{r_{\mathrm{min}}} = K = \frac{a_{\oplus} + a}{|a - a_{\oplus}|}.

Если астероид внешний, то

K = \frac{a_{\oplus} + a_{\mathrm{out}}}{a_{\mathrm{out}} - a_{\oplus}} \quad \Rightarrow \quad a_{\mathrm{out}} = a_{\oplus}\frac{K+1}{K-1} = \frac{4.5}{2.5} a_{\oplus} = \frac{9}{5} a_{\oplus} \approx 1.8\,\text{а. е.}

Если астероид внутренний, то

K = \frac{a_{\oplus} + a_{\mathrm{in}}}{a_{\oplus} - a_{\mathrm{in}}} \quad \Rightarrow \quad a_{\mathrm{in}} = a_{\oplus}\frac{K-1}{K+1} = \frac{5}{9} a_{\oplus} \approx 0.56\,\text{а. е.}

Расстояние астероида от Солнца постоянно, а расстояние от Земли меняется непрерывно. Рассмотрим случай внешнего астероида. Перейдем в систему отсчета, в которой покоится отрезок Солнце — Земля и проведем окружность радиуса $a_{\mathrm{out}}$ с центром в Земле. На том участке орбиты, которая попала внутрь этой окружности, астероид располагается ближе к Земле, чем к Солнцу (см. рисунок). Когда же астероид находится вне этой окружности, он располагается ближе к Солнцу, чем к Земле.

В выбранной системе отсчета астероид двигается по круговой орбите радиуса $a_{\mathrm{out}}$ с синодическим периодом $S_{\mathrm{out}}$ . Поскольку сидерический период астероида равен $T_{\mathrm{out}} = a_{\mathrm{out}}^{3/2} \approx 2.41\,\text{года}$ , то его синодический период равен

\frac{1}{S_{\mathrm{out}}} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_{\mathrm{out}}} \quad \Rightarrow \quad S_{\mathrm{out}} = \frac{T_{\mathrm{out}} T_0}{T_{\mathrm{out}} - T_0} \approx 1.71\,\text{года}.

Искомое время так же соотносится с синодическим периодом, как длина дуги орбиты астероида, попавшая внутрь очерченной вокруг Земли окружности, ко всей длине орбиты:

\Delta t = \frac{2\alpha}{360^{\circ}} \cdot S_{\mathrm{out}}.

Случай внешнего астероида: сплошная окружность орбиты астероида с центром в точке «Солнце» и штриховая окружность радиуса a_out с центром в точке «Земля». На вертикали снизу вверх: Солнце, Земля (расстояние a_⊕), Астероид. Точка T на пересечении окружностей соединена с Землей и Солнцем отрезками a_out; из T опущен перпендикуляр на отрезок Земля — Солнце, у Солнца отмечен угол α.

Случай внутреннего астероида: сплошная окружность орбиты астероида с центром в точке «Солнце» и штриховая окружность радиуса a_in с центром в точке «Земля». На вертикали снизу вверх: Солнце, Астероид, Земля. Точка пересечения окружностей соединена с Землей и Солнцем отрезками a_in; из нее опущен перпендикуляр на вертикаль, у Солнца отмечен угол β.

Определим угол $\alpha$ . Рассмотрим треугольник Земля — Солнце — T, где T — точка удаленная на расстояние $a_{\mathrm{out}}$ от Земли и Солнца. Этот треугольник равнобедренный. Опустим высоту (она же медиана) из точки T на сторону Земля — Солнце. Получим прямоугольный треугольник с двумя известными сторонами. Тогда

\cos\alpha = \frac{a_{\oplus}/2}{a_{\mathrm{out}}} = \frac{0.5}{1.8} \approx 2.78 \quad \Rightarrow \quad \alpha \approx 73.9^{\circ}.

В итоге получаем искомое время

\Delta t_{\mathrm{out}} = \frac{2 \cdot 73.9^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 1.71\,\text{года} \approx 0.7\,\text{года}.

Решение для случая астероида на внутренней орбите производится по такой же схеме (см. рисунок). Такой астероид движется с сидерическим периодом $T_{\mathrm{in}} \approx 0.41\,\text{года}$ , синодическим периодом $S_{\mathrm{in}} \approx 0.71\,\text{года}$ . Угол $\beta = 25.8^{\circ}$ , откуда промежуток времени

\Delta t_{\mathrm{in}} = \frac{2 \cdot 25.8^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 0.71\,\text{года} \approx 0.1\,\text{года}.

Замечание. Использование округленного значения $a_{\mathrm{in}}$ вместо точного приводит к значению $\beta = 26.8^{\circ}$ , что никак не влияет на конечный результат.

Стоит отметить, что при обратном вращении астероида вокруг Солнца его синодический период меньше, чем для прямого вращения, а значит, на тех же орбитах он будет проводить меньше времени непрерывно ближе к Земле, чем к Солнцу.

Ответ. Астероид может провести не более 0.7 года ближе к Земле, чем к Солнцу.

Критерии оценивания. 16

К1. Радиус орбиты астероида — 3

Формула — 1
Числовое значение для каждого варианта — 1+1

В случае ошибки, приведшей к невозможности нахождения астероида на одной из орбит, участник не получает баллов за всю эту ветку решения.

К2. Сидерический период — 3

Формула — 1
Числовое значение для каждого варианта — 1+1

К3. Синодический период — 3

Формула — 1
Числовое значение для каждого варианта — 1+1

К4. Вычисление углов $\alpha$ и $\beta$ — 3

Формула — 1
Числовое значение для каждого варианта — 1+1

К5. Искомое время — 3

Формула — 1
Числовое значение для каждого варианта — 1+1

К6. Окончательный вывод с выбором единственного ответа — 1

Только при получении правильного ответа и рассмотрении обоих вариантов расположения астероида.

Участник не обязан вычислять промежуточные значения на каждом этапе. В случае объединения этапов и правильного вычисления, оценки за вычисления на всех включенных этапах также выставляются.

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-9.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-9.pdf