Съдържание

ВсОА 2026, Регионален етап, 9. клас — Задача 4. Два в одном

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2026

Региональный этап — день 1. Условия задач. 9 класс · 24 февруари 2026 г. · 16 т.

Условие

При внимательном изучении рассеянного скопления оказалось, что оно содержит две группы звезд. Обе группы имеют одинаковую среднюю лучевую скорость и одинаковое среднее собственное движение, но апекс первой группы находится в $40^{\circ}$ от скопления, а апекс второй группы — в $60^{\circ}$ . Во сколько раз отличаются расстояния от наблюдателя до этих групп звезд и их пространственные скорости? Обязательно отметьте какая из групп звезд дальше и какая быстрее.

Отговори

Решение

Решение. Апексом называется точка, в которой сходятся направления движения всех звезд скопления. Таким образом, само наличие разных апексов у двух групп звезд говорит о том, что мы наблюдаем в одном направлении два разных скопления.

Схема: из точки S (Солнце) проведены горизонтальный луч к точке A (апекс) и наклонный отрезок к скоплению C, угол между ними α. В точке C вектор V направлен параллельно SA; он разложен на компоненту V_r вдоль продолжения SC (угол α между V_r и V) и перпендикулярную ей компоненту V_t; штриховые линии достраивают параллелограмм.

Обозначим на рисунке A — апекс скопления, S — Солнце, C — скопление. Угол $\angle ASC = \alpha$ — угловое расстояние между скоплением и его апексом. Полная скорость скопления $V$ должна быть направлена параллельно оси SA. По мере удаления скопления от Солнца угол $\alpha$ будет уменьшаться, а прямая SC все больше приближаться к SA. Поскольку вектор лучевой (радиальной) скорости $V_{\mathrm{r}}$ лежит на прямой SC, угол между $V_{\mathrm{r}}$ и $V$ также равен $\alpha$ . Тогда лучевую и тангенциальную $V_{\mathrm{t}}$ компоненты скорости можно выразить в виде:

V_{\mathrm{r}} = V\cos\alpha, \quad V_{\mathrm{t}} = V\sin\alpha.

Обозначим индексом 1 все величины, относящиеся к скоплению с апексом $40^{\circ}$ , индексом 2 — к скоплению с апексом $60^{\circ}$ . По условию $V_{\mathrm{r}1} = V_{\mathrm{r}2}$ . Тогда

V_1\cos\alpha_1 = V_2\cos\alpha_2,

\frac{V_2}{V_1} = \frac{\cos\alpha_1}{\cos\alpha_2} = \frac{\cos 40^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} \approx 1.53.

Тангенциальная скорость может быть выражена через собственное движение $\mu$ и расстояние $D$ как

V_{\mathrm{t}} = 4.74\mu D.

В этой формуле при подстановке $\mu$ в угловых секундах в год, а $D$ в парсеках ответ получается в километрах в секунду. Выразим из этого уравнения $D$ :

D = \frac{V_{\mathrm{t}}}{4.74\mu} = \frac{V\sin\alpha}{4.74\mu} = \frac{\frac{V_{\mathrm{r}}}{\cos\alpha}\sin\alpha}{4.74\mu} = \frac{V_{\mathrm{r}}\,\mathrm{tg}\,\alpha}{4.74\mu}.

Так как $V_{\mathrm{r}}$ и $\mu$ одинаковы для обеих групп:

\frac{D_2}{D_1} = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha_2}{\mathrm{tg}\,\alpha_1} = \frac{\mathrm{tg}\,60^{\circ}}{\mathrm{tg}\,40^{\circ}} \approx 2.06.

Ответ:

Пространственные скорости отличаются в 1.53 раза: вторая группа быстрее.
Расстояния отличаются в 2.06 раза: вторая группа дальше.

Критерии оценивания. 16

После каждого критерия указывается подробная детализация для оценивания в случае неправильного ответа на вопрос. Неявное выполнение подпунктов засчитывается, если в итоге ответ на финальный вопрос правильный.

К1. Правильно понимается понятие апекса — 1

Оценка выставляется при явном указании в решении или если из дальнейшего решения это недвусмысленно следует.

К2. Угол между скоплением и апексом — 3

Верно определено, как правильно откладывать угол между скоплением и апексом. Оценка выставляется при явном указании в решении или если из дальнейшего решения это недвусмысленно следует.

К3. Разложение полной скорости на радиальную и тангенциальную компоненты — 2

По 1 баллу за формулу, в которой присутствует угол $\alpha$ при правильном предыдущем пункте.

К4. Формула связи $V_{\mathrm{t}}$ , $\mu$ , $D$ — 2

Допустимо использовать стандартную формулу для связи угловой и линейной скоростей.

К5. Правильное значение отношения полных скоростей — 4

Формула — 2
Значение — 1
Какая группа быстрее — 1

К6. Правильное значение отношения расстояний — 4

Формула — 2
Значение — 1
Какая группа дальше — 1

Оригинал в Архива: vos-2026-reg-prob-day1-9.pdf · официални решения: vos-2026-reg-sol-day1-9.pdf