ВсОА 2026, Регионален етап, 9. клас — Задача 9. Пара звезд

• 20

  Отношение массы более яркой звезды к массе менее яркой: $M_1/M_2 = 20$.

В. Б. Игнатьев

Решение. По определению звездной величины, если освещенность, создаваемая двумя звездами, отличается в 100 раз, то звездные величины этих звезд отличаются на 5. Таким образом, освещенность, создаваемая компонентами двойной, отличается в $100^2 = 10000$ раз. К этому же выводу можно прийти с помощью формулы Погсона. Обозначим как $E_1$ и $E_2$ освещенности, создаваемые двумя компонентами, а $m_1$ и $m_2$ — их звездные величины. Предполагая, что компонент 1 ярче, получим

Поскольку обе звезды располагаются на одинаковом расстоянии от нас, отношение освещенностей равно отношению светимостей $L_1$ и $L_2$. Светимость звезды связана с ее радиусом $R$ и эффективной температурой $T$ законом Стефана — Больцмана:

Сами светимости нам неизвестны, известно только их отношение. Поэтому запишем закон Стефана — Больцмана для обеих звезд и разделим одно выражение на другое. Тогда, учитывая равенство температур звезд, получим

Ускорение свободного падения на поверхности звезды задается формулой

где $M$ — масса звезды. Поскольку нам известны только отношения радиусов и ускорений свободного падения, как и раньше, перепишем это уравнение в виде отношения:

Выразим отсюда искомое отношение масс и получим численный ответ: