X-ENS 2009, Приемен изпит, математика и физика — Задача 1. Première partie – Étude d’une instabilité paramétrique

I. Origine physique de l’instabilité — A. Approche qualitative

Pour interpréter physiquement l’origine de l’instabilité, on commence par raisonner sur un circuit électrique LC, oscillant à la période propre $T_0$.

On imagine un dispositif permettant de moduler faiblement et périodiquement la distance $e$ séparant les deux armatures du condensateur supposé plan, comme représenté sur la figure ci-contre. On note $S$ la surface de chaque armature. Cette action mécanique est effectuée à la période excitatrice $T_e=2\pi/\omega_e$.

1. Exprimer la variation d’énergie électrostatique $\Delta\mathcal U_{\mathrm{el}}$ emmagasinée dans le condensateur quand l’épaisseur $e$ passe de $e_0-\Delta e$ à $e_0+\Delta e$ avec $\Delta e/e_0=\epsilon$ et $0\leq\epsilon\ll1$. On supposera que la modification de la distance inter-armatures est « instantanée » pour ne pas modifier la charge $q(t)$. On exprimera le résultat en fonction de $\epsilon$, $q(t)$, et $C_0$, capacité d’un condensateur plan de surface $S$ et d’épaisseur $e_0$.

2. Commenter cette variation dans le cas où $q(t)=0$.

L’excitation paramétrique de l’oscillateur consiste à faire varier l’épaisseur du condensateur selon le mode suivant :

– la distance $e$ augmente instantanément d’une quantité $2\Delta e$ chaque fois que la charge $q(t)$ atteint un extremum,

– la distance $e$ passe de $e_{\max}=e_0+\Delta e=e_0(1+\epsilon)$ à $e_{\min}=e_0(1-\epsilon)$ à chaque passage de $q(t)$ par $0$.

On a représenté figure (1) l’évolution temporelle de la charge $q(t)$ (en l’absence d’excitation), ainsi que les séquences d’excitation paramétrique (dans le cas où $T_e=T_0/2$). Le graphe présenté figure (1) correspond à un régime éloigné (de $nT_0$) de la phase de démarrage que l’on n’étudiera pas.

3. Expliquer en quoi il est intéressant (d’un point de vue énergétique) de synchroniser l’instant où les armatures du condensateur se rapprochent (étape CD) avec celui où la charge du condensateur est nulle.

4. Superposer sur la figure 1.b l’allure de la courbe d’énergie électrostatique $\mathcal U_{\mathrm{el}}(t)$ (cas du circuit excité). On présentera cette courbe en correspondance de la courbe donnant les variations de $e(t)$.

5. Dessiner l’allure de l’évolution temporelle de $\mathcal U_{\mathrm{el}}(t)$ dans les cas où $T_e=T_0$ d’une part et $T_e=3T_0/2$ d’autre part.

B. Mise en œuvre expérimentale

Le circuit à capacité variable est simulé à l’aide d’un circuit électronique, utilisant un multiplieur supposé idéal (figure (2)), un condensateur de capacité $C$ et une bobine d’inductance propre $L$ et de résistance interne $r$.

La tension, en sortie du multiplieur, s’écrit :

où

• $u_e(t)$ est une tension sinusoïdale, de pulsation $\omega_e$ et d’amplitude $U_e$, délivrée par un générateur de tension. On choisit l’origine des temps telle que :

• $u(t)$ est la tension aux bornes du condensateur,

• $k$ est une constante de proportionnalité (dimensionnée) caractéristique du multiplieur.

6. Montrer que la charge $q(t)$ du condensateur satisfait l’équation différentielle :

où les coefficients $f$ et $\lambda$ seront exprimés en fonction de $k$, $r$, $L$, $C$ et $U_e$.

II. Instabilité paramétrique du grand encensoir de Saint-Jacques de Compostelle — A. Équation de Mathieu

Le grand encensoir de Saint-Jacques de Compostelle est assimilé à un pendule simple, de longueur $\ell$ et de masse $m$ (figure ci-contre). Le point de suspension $O'$ de ce pendule suit un mouvement de translation forcé sinusoïdalement à la pulsation $\omega_e$. Par rapport au repère fixe, dont l’origine $O$ est solidaire du plafond de la cathédrale, le mouvement de translation du point de suspension $O'$ s’écrit :

avec $0<h_0\ll\ell$. On repère la position de l’encensoir par rapport à la verticale par l’angle $\theta(t)$. On notera :

• $\mathcal R$, le référentiel terrestre, supposé galiléen sur l’échelle de temps du mouvement de l’encensoir,
• $\mathcal R'$, le repère attaché au point de suspension $O'$, effectuant un mouvement de translation oscillant par rapport au référentiel $\mathcal R$.

Dans un premier temps, on négligera tout phénomène dissipatif.

7. Montrer que l’équation du mouvement est celle d’un pendule simple placé dans un champ de pesanteur effectif $g(t)$ que l’on exprimera en fonction de $g_0$ (intensité du champ gravitationnel présent à Saint-Jacques de Compostelle), $\omega_e$ et $h(t)$.

8. Déduire que l’équation différentielle du mouvement peut s’écrire :

où

• $f$ est une grandeur associée à l’excitation paramétrique que l’on exprimera en fonction de $h_0$, $\omega_e$ et $g_0$. Dans tout le problème, on limitera l’étude au cas où $f\ll1$.
• $\omega_0$ une pulsation caractéristique qu’on exprimera en fonction de $g_0$ et $\ell$.

9. Dans la suite, on étudie la naissance de l’instabilité, de sorte qu’il sera légitime de faire l’approximation des mouvements de faible amplitude. Donner alors la forme approchée de l’équation différentielle du mouvement. Cette équation est connue sous le nom d’équation de Mathieu.

B. Diagramme de stabilité des solutions

Désormais, le but est de définir à quelle condition, sur les paramètres de l’excitation (amplitude $h_0$ et pulsation $\omega_e$), on parvient à déstabiliser l’oscillateur.

La théorie mathématique de Floquet montre que l’on peut chercher la solution générale de l’équation de Mathieu sous la forme :

où $P(t)$ est une fonction de période $T=2\pi/(\omega_e/2)=4\pi/\omega_e$ et $\mu$ une grandeur réelle.

L’approche la plus élémentaire consiste à chercher des solutions de l’équation de Mathieu sous la forme

10. On note désormais $\omega=\omega_e/2$.

En laissant de côté les termes de pulsation $3\omega$ qui apparaîtront dans le calcul (la question 15 portera sur la justification de cette approche), montrer que $\mu$ vérifie l’équation bicarrée suivante :

11. Montrer que l’instabilité paramétrique prend naissance dès lors que le paramètre d’excitation $f$ vérifie la condition

12. Établir alors le diagramme de stabilité de l’encensoir dans le plan $(f,\Omega)$ ($f$ en ordonnée). Indiquer les zones de stabilité et d’instabilité.

13. Commenter l’influence de l’amplitude de l’excitation à la résonance ainsi qu’en dehors de la résonance.

14. Dans cette question, on excite l’oscillateur à une pulsation $\omega_e$ proche de $2\omega_0$. On pose $\omega_e=2\omega_0(1+\epsilon)$ où $|\epsilon|\ll1$. Déterminer la largeur $\Delta\omega$ de la zone instable en fonction de $f>f_c$ au voisinage de $\omega=2\omega_0$.

On établira pour cela une relation très simple entre $f$, $\Delta\omega$ et $\omega_0$.

15. On se propose à présent de justifier le caractère négligeable des termes de pulsation $3\omega$. Pour cela, on se situe, d’une part, près du seuil d’instabilité, (en notant que $\omega\simeq\omega_0$ conduit à la condition $\mu\ll1$) et, d’autre part, on limite l’étude au démarrage de l’instabilité.

Dans ces conditions, on cherche désormais la solution de l’équation de Mathieu sous la forme

Afin de ne pas alourdir les calculs, et sans restreindre la portée du résultat auquel on aboutira, on se placera dans le cas simplifié où $\phi=\Psi=0$, d’une part et $\omega\sim\omega_0$ d’autre part.

En laissant désormais de côté les termes de pulsation $5\omega$, déterminer une relation entre $\theta_1$, $\theta_0$ et $f$. Justifier en particulier que $\theta_1$ et $f$ sont des « infiniment petits » du même ordre. Justifier alors l’hypothèse faite plus haut consistant à négliger les termes de pulsation $3\omega$.

C. Introduction d’un terme de dissipation.

16. On étudie, à présent, l’influence des frottements sur le déclenchement de l’instabilité. On considérera que l’action de l’air sur l’encensoir se traduit simplement par un moment résistant (relativement au point O’) d’expression :

où $\lambda$ est une constante positive.

Déterminer la nouvelle équation de Mathieu en présence de dissipation (toujours dans l’approximation des mouvements de faible amplitude).

17. On cherche encore la solution $\theta(t)$ sous la forme

Montrer que l’équation de la nouvelle courbe de stabilité donnant $f_c$ en fonction de $\lambda$ et $\Omega=\omega/\omega_0$ est telle que

On rappelle que $f_c$ est la valeur minimale de $f$ qu’il faut atteindre pour déclencher l’instabilité, à la pulsation $\omega$.

18. Que dire de la largeur de la zone instable au voisinage de $\Omega=1$ par rapport au cas non dissipatif ?

19. Tracer le nouveau diagramme de stabilité et interpréter.