X-ENS 2009, Приемен изпит, математика и физика — Задача 2. Deuxième partie – Étude d’une lampe fer-hydrogène

I. Cas où la résistance est indépendante de T — A. Établissement de l’équation d’évolution

20. Donner un ordre de grandeur de $\gamma$ et de $\lambda$ pour un métal.

21. Énoncer clairement les lois phénoménologiques locales de Fourier et d’Ohm. Dans la suite, on supposera que ces lois s’appliquent au filament.

Les transferts thermiques radiatifs et convectifs sont décrits par la densité de flux thermique $\vec j_h(x,t)$ au niveau de l’interface entre le filament et le dihydrogène. Dans la limite où $T(x,t)$ est voisine de $T_e$, on pourrait montrer que cette densité de flux s’exprime comme

où $h$ est un coefficient qui décrit les échanges thermiques entre le filament et son environnement, et $\vec n_{\mathrm{ext}}$ est un vecteur unitaire sortant, normal à la surface du filament.

22. Exprimer le travail électrique $\delta^2W$ reçu par un élément de volume $\mathrm d\tau=A\,\mathrm dx$ du conducteur pendant un temps $\mathrm dt$, de la part du générateur. On exprimera le résultat en fonction de $I$, $\gamma$, $A$, $\mathrm dx$ et $\mathrm dt$.

23. À l’aide d’un bilan d’énergie qu’on établira clairement, montrer que l’équation aux dérivées partielles satisfaite par $T(x,t)$ s’écrit :

où $D$, $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes qu’on exprimera en fonction des paramètres du problème.

B. Étude du régime stationnaire

Profil de température en régime stationnaire

24. Déterminer le profil de température $(T=T(x))$ en régime stationnaire. On supposera que le fil occupe le demi-axe $x\geq0$. On introduira une longueur caractéristique $\delta$ qu’on exprimera en fonction de $a$, $\lambda$ et $h$.

25. Tracer le profil de $T(x)-T_e$. On précisera la température limite notée $T_\ell$ en fonction de $T_e$, $\rho$, $a$, $h$, et $I$.

26. Y a-t-il conservation du flux thermique conductif ? On argumentera la réponse.

Mise en évidence du caractère dissipatif du système. Création d’entropie

On se propose à présent de déterminer le taux de création d’entropie $\sigma(x)$ par unité de longueur et de temps dans le filament, à l’abscisse $x$. Cette étude s’appuie sur un bilan d’entropie en régime stationnaire. Le système thermodynamique d’étude sera un élément de volume $\mathrm d\tau=A\,\mathrm dx$ du filament. On notera $\delta^2 S_{\mathrm{ech}}$ et $\delta^2 S_c$ l’entropie d’échange et l’entropie créée, pendant $\mathrm dt$.

27. En régime stationnaire, déterminer le lien entre l’entropie d’échange $\delta^2S_{\mathrm{ech}}$ et l’entropie créée $\delta^2S_c$

28. Exprimer l’entropie d’échange entrante $\delta S_{\mathrm{ech}}^e$ par la section d’abscisse $x$ pendant $\mathrm dt$. On exprimera le résultat en fonction de la densité de flux conductif $j_{\mathrm{cd}}(x)$, $T(x)$, $A$ et $\mathrm dt$.

29. Exprimer de même l’entropie d’échange sortante $\delta S_{\mathrm{ech}}^s$ du cylindre de volume $\mathrm d\tau=A\,\mathrm dx$. On exprimera le résultat en fonction de $h$, $T_e$, $a$, $\mathrm dx$, $\mathrm dt$, $A$ et des fonctions $j_{\mathrm{cd}}$ et $T$ évaluées à des abscisses que vous préciserez.

30. Montrer alors que le taux de création d’entropie $\sigma(x)$ par unité de longueur et de temps s’écrit :

On ne cherchera pas à établir une expression explicite de $\sigma(x)$ en fonction de $x$.

31. Identifier les différentes sources d’irréversibilité du problème.

32. À quelle condition l’état stationnaire est-il un état d’équilibre thermodynamique pour le filament ?

33. À partir de l’équation (3), exprimer $\sigma$ (sans expliciter la dépendance en $x$) dans un régime de conduction thermique pure, c’est-à-dire en l’absence de courant, ainsi qu’en l’absence de transferts radiato-convectifs. Justifier le signe de $\lambda$.

34. En vous appuyant sur l’équation (3), vérifier que tout contact thermique entre deux corps dont les températures de surface sont différentes constitue une source de création d’entropie.

35. La loi d’Ohm locale « statique » se généralise au cas des régimes sinusoïdaux en remplaçant la conductivité électrique statique $\gamma_0$ par l’expression complexe suivante :

Cette expression traduit la réponse du métal à l’application d’un champ électrique sinusoïdal homogène :

Une étude élémentaire permettrait de montrer que :

où $\tau$ est un temps caractéristique microscopique et $N$ est la densité volumique d’électrons de conduction dans le métal, $e$ et $m_e$ désignant respectivement la charge électrique élémentaire et la masse de l’électron.

Estimer l’ordre de grandeur de $N$ dans un métal. En déduire l’ordre de grandeur de $\tau$. On rappelle que $m_e\sim10^{-30}\mathrm{kg}$ et $e\sim10^{-19}\mathrm C$.

36. En régime sinusoïdal, montrer que, pour $\omega\tau\gg1$, un conducteur ohmique n’est plus dissipatif.

37. Montrer que la variation d’entropie $\mathrm dS$ d’un système thermodynamique $(\Sigma)$ quelconque peut s’écrire, dans le cas général,

où $T$ est la température du système thermodynamique, $\delta Q$ le transfert thermique reçu par le système de l’environnement extérieur à la température $T_e$ et $\delta S_c^{\mathrm{int}}$ une création d’entropie due aux seuls processus dissipatifs internes au système. On exprimera $\delta S_c^{\mathrm{int}}$ en fonction de $\delta Q$, $T$, $T_e$ et de la création d’entropie totale $\delta S_c$.

38. À la lumière du résultat précédent, déduire la nature des seules transformations thermodynamiques qui sont susceptibles d’être réversibles. À quel thermodynamicien doit-on ce résultat ?

II. Cas où ρ dépend de T – Recherche des solutions stationnaires stables — A. Approche qualitative

On prend désormais en compte les variations de résistivité $\rho$ du métal en fonction de la température $T$. Des mesures, pour le fer, permettent d’obtenir la courbe $\rho(T)$ illustrée figure (4).

Dans cette partie, on supposera, dans une bonne approximation, que la température est homogène sur toute la longueur du filament.

39. Montrer que la recherche des solutions stationnaires conduit à une équation de la forme :

où $y(T)$ est l’équation d’une droite $\mathcal D$ dont on précisera la pente et l’ordonnée à l’origine, en fonction de $h$, $a$, $I$ et $T_e$. On appellera $T^*$ une température solution de l’équation (4).

40. On supposera, dans toute cette étude, que $T_e$ est maintenue constante à la valeur indiquée sur la figure (4).

Discuter graphiquement le nombre de solutions de l’équation (4) par rapport à l’intensité $I$. On nommera points de fonctionnement ces solutions. On indiquera très clairement sur la courbe les différents points de fonctionnement possibles.

B. Stabilité des solutions stationnaires

Afin d’étudier la stabilité des solutions déterminées graphiquement à la question précédente, on examine le comportement du système face à une fluctuation de température notée $\epsilon(t)=T(t)-T^*$ avec $|\epsilon|\ll T^*$ et $T^*$ est la valeur de la température du point de fonctionnement considéré.

41. Montrer que l’équation différentielle satisfaite par $\epsilon(t)$ s’écrit

où

• $\kappa$ est à exprimer en fonction de $\beta$ et $I$,
• $\tilde p(T^*)$ et $p$ sont des pentes que l’on précisera.

42. Dégager un critère graphique simple permettant de conclure quant au caractère stable ou instable des points de fonctionnement étudiés. Représenter la zone instable.

43. Déduire l’allure de la courbe donnant les variations de $T^*$ en fonction de $I$. On représentera sur cette courbe les différents points de fonctionnement.

44. Supposons que l’on observe l’image du courant $I$ sur la voie $X$ d’un oscilloscope et celle de la température $T^*$ sur la voie $Y$. Quelles sont les parties de la courbe qu’on observerait effectivement en mode XY, en régime variable (faible fréquence) ? Préciser graphiquement l’amplitude minimale du courant qu’il faudra assurer pour observer une courbe $T^*(I)$ révélant les propriétés particulières du système.

C. Étude à tension imposée

45. Reprendre la question 39 dans le cas où le filament est alimenté par un générateur de tension continue.

46. Justifier physiquement que le point de fonctionnement trouvé est toujours stable, quelle que soit la valeur de $U$.