X-ENS 2009, Приемен изпит, математика и физика — Задача 3. Troisième partie – Instabilité de croissance de Mullins-Sekerka

I. Mise en place du problème – Description des conditions aux limites

Dans cette première étape, on considère un germe solide sphérique de rayon $R$ immergé dans un liquide sous-refroidi (figure (5)). On supposera que les masses volumiques $\rho_\ell$ et $\rho_s$ des phases liquide et solide sont suffisamment proches pour être confondues à une même valeur notée $\rho$.

On notera :

• $P_s$ et $P_\ell$ les pressions régnant respectivement dans les phases solide et liquide,
• $L$, la chaleur latente massique de fusion, que l’on supposera indépendante de la température dans la gamme de température visitée lors de l’instabilité de croissance,
• $T_0$ et $P_0$ la température et la pression de changement d’état dans le cas d’une interface plane (rayon de courbure infini),
• $\mu_\ell(P,T)$ et $\mu_s(P,T)$ les potentiels chimiques respectifs des phases liquide et solide. On rappelle la relation de Gibbs-Duhem, exprimant la différentielle du potentiel chimique

où $v_{\mathrm m}$ et $s_{\mathrm m}$ sont respectivement le volume molaire et l’entropie molaire du corps pur. On notera également $v$, $s$ et $M_{\mathrm{mol}}$ le volume massique, l’entropie massique et la masse molaire du corps pur.

On introduira $\gamma$, le coefficient de tension superficielle associé à l’interface solide/liquide. Cette grandeur est directement liée au travail $\delta W$ nécessaire à la création d’une surface $\mathrm dS$ via $\delta W=\gamma\,\mathrm dS$. On admettra de plus la loi de Laplace qui fixe la différence de pression $P_s-P_\ell$ de part et d’autre d’une interface sphérique de rayon $R$ :

47. Préciser la dimension de $\gamma$.

A. Relation de Gibbs-Thomson

48. On modélisera, localement, une petite déformation d’une interface, initialement plane, par une calotte sphérique (figure (6)). Le modèle du germe sphérique permet alors d’étudier l’effet d’un tel défaut.

Comme le montrent les schémas de la figure 7, dans la limite où $2\gamma/R\ll P_0$, la courbure de l’interface est décrite comme une faible perturbation de l’état où l’interface est plane.

Donner, dans ce cas, le développement de Taylor des potentiels chimiques $\mu_\ell$ et $\mu_s$ au premier ordre en $T^*-T_0$ et $P^*-P_0$.

49. En admettant que l’équilibre physique entre les deux phases solide et liquide d’un corps pur se traduit, en particulier, par l’égalité des potentiels chimiques $\mu_s=\mu_\ell$, montrer que la température d’équilibre entre la phase solide et la phase liquide suit la relation thermodynamique de Gibbs-Thomson

On rappelle que lors du changement d’état, la discontinuité de l’entropie massique est reliée à la chaleur latente via

cette relation étant écrite dans le cas de l’interface où la température de changement d’état est $T^*$.

50. Vérifier l’homogénéité du résultat obtenu à la question 49.

51. Retrouver le cas limite de l’interface rigoureusement plane.

B. Bilan d’énergie à la traversée de l’interface

À ce stade du problème, nous supposerons que nous sommes suffisamment éloignés de la phase de démarrage de l’instabilité. Dans cette limite, il est raisonnable de passer d’un modèle de germe sphérique à un modèle de front de solidification plan. On s’intéresse ici à la croissance de la phase solide dans la direction de l’axe $z'z$. Comme le montre le schéma de la figure (8), la croissance a lieu dans les deux sens. Dans ce problème, on choisit de ne traiter que la croissance dans le sens $z>0$.

On raisonne à présent sur une interface quasi-plane dont la position est repérée par la coordonnée cartésienne $z(t)$, fonction du temps (figure (9)).

– On note $\lambda_s$ et $\lambda_\ell$ les conductivités thermiques des phases solide et liquide,

– on note $\vec V=V(t)\,\vec e_z$ la vitesse d’avancée du front de solidification dans le référentiel galiléen $\mathcal R_0$ du laboratoire.

– $\vec n$ est le vecteur unitaire normal à l’interface solide/liquide et dirigé de la phase solide vers la phase liquide.

– dans tout le problème, on supposera que la phase liquide est au repos.

52. Justifier que la cristallisation conduit à l’existence d’un gradient de température dont on précisera le sens.

53. À partir d’un bilan d’énergie que l’on établira soigneusement, montrer, qu’à la traversée de l’interface :

Cette relation constitue une condition aux limites du problème.

II. Recherche de la solution stationnaire

Dans cette partie, on cherchera à savoir s’il existe une solution stationnaire qui corresponde à la croissance d’une interface plane à vitesse constante $\vec V=V\,\vec e_z$. On commence par supposer qu’une telle solution existe.

54. Par la méthode de votre choix, montrer que l’équation de la chaleur vérifiée dans le référentiel $\mathcal R_{\mathrm I}(A,\tilde z)$ de l’interface s’écrit

où $D$ est le coefficient de diffusivité thermique (noté $D_\ell$ et $D_s$ suivant que l’on étudie l’évolution de la température dans la phase du liquide sous-refroidi ou dans la phase solide).

On notera $\theta_s(\tilde z)$ et $\theta_\ell(\tilde z)$ les solutions stationnaires de (7) établies respectivement dans la phase solide et dans la phase liquide. On supposera que la température du liquide, loin de l’interface, est constante. On la notera $T_\infty$.

55. Déterminer la température $\theta_\ell(\tilde z)$ dans la phase liquide. On sera amené à introduire une longueur caractéristique $\delta_\ell$ qu’on exprimera en fonction de $D_\ell$ (coefficient de diffusivité dans la phase liquide) et de $V$.

56. Sachant que $\theta_s(\tilde z=-Vt)=T_0$, justifier que la température $\theta_s(\tilde z)$ reste constante à l’intérieur de la phase solide.

57. Tracer l’allure du profil stationnaire pour $\tilde z\in]{-Vt};+\infty[$.

58. Dégager la signification physique de $\delta_\ell$.

59. On note $\Delta=\frac{c}{L}(T_0-T_\infty)$ le coefficient de sous-refroidissement de la phase liquide où $c$ est la capacité calorifique massique de la phase liquide.

Montrer que le profil stationnaire qui vient d’être établi dans cette partie n’est compatible avec le bilan énergétique établi à la question 53 que pour une valeur particulière de $\Delta$ qu’on déterminera.

Avertissement : Afin de ne pas alourdir inutilement les notations, on notera dès lors $z$, la grandeur $\tilde z$ introduite dans la partie II.

III. Instabilité de forme – Croissance dendritique

Pour que l’état stationnaire défini dans la partie II soit observable, il est nécessaire qu’il soit localement stable vis-à-vis de perturbations infinitésimales. Pour cette étude, on suppose que le profil de température stationnaire est perturbé, localement en un point $M(x,y,z)$ de l’espace et à un instant $t$, selon les équations ci-dessous

qui décrivent une onde thermique monochromatique pilotée par le vecteur d’onde $\vec k=k\,\vec u$ où $\vec u$ est un vecteur unitaire. On notera $\mathrm i$ la grandeur complexe définie par $\mathrm i^2=-1$.

Dans ces expressions, $k\in\mathbb R$, $\sigma\in\mathbb R$, $q\in\mathbb R$ et $\omega\in\mathbb R$.

Nous avons représenté figure (10) le réseau d’isothermes dans la phase du liquide sous-refroidi, pour un instant $t$ fixé, dans le cas où le front de solidification plan est perturbé localement.

60. Représenter l’allure de la carte de champ du vecteur densité de flux thermique $\vec j_{\mathrm{th}}$ dans la phase liquide. On représentera, sur le schéma, les vecteurs $\vec j_{\mathrm{th}}$ aux points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ indiqués sur la figure (10).

61. En vous appuyant sur le schéma de la figure (10), justifier qualitativement que la perturbation représentée sera amplifiée au cours du temps.

62. Proposer un nouveau schéma décrivant l’état de l’interface et l’allure du réseau d’isothermes à un instant ultérieur. Donner la condition portant sur $\sigma$, pour que la perturbation envisagée déstabilise le front de solidification plan.

63. On montre, au terme d’une analyse qui n’est pas demandée, que $q\simeq k$ et que le taux de croissance de la perturbation, de vecteur d’onde $\vec k$, suit la loi suivante :

Tracer l’évolution de $\sigma(k)$ en fonction de $k=2\pi/\lambda$. Préciser le domaine de vecteur d’onde $k$ qui est associé à une déstabilisation de l’interface plane.

64. Déterminer la taille $\lambda_c$ de la plus petite structure pouvant se développer lors de la croissance et exprimer $\lambda_c$ en fonction de $d_0$, $\delta_\ell$ et $n$.

On souhaite estimer numériquement la taille typique d’une dendrite. On supposera que le corps pur considéré est de l’eau.

65. Donner les ordres de grandeur de la capacité calorifique massique $c$ et de la masse volumique $\rho$ de l’eau liquide.

66. Sachant que

estimer l’ordre de grandeur de $d_0$ et de $\delta_\ell$.

67. Estimer l’ordre de grandeur de la taille d’une dendrite.

68. Commenter le rôle joué par $\gamma$ dans le mécanisme de l’instabilité. On s’interrogera sur le caractère stabilisant ou déstabilisant de $\gamma$.