X-ENS 2014, Приемен изпит, математика и физика — Задача 3. Accéléromètre vibrant

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2014 — FILIÈRE MP — COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)

Consignes

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d’un seul chiffre significatif.

Centrale inertielle

Une centrale inertielle est un ensemble d’accéléromètres et de gyromètres qui mesure l’accélération et la vitesse angulaire d’un mobile et permet de le positionner dans l’espace. La miniaturisation et le désormais faible coût de ces capteurs permettent de les intégrer dans de nombreux dispositifs électroniques embarqués. On les retrouve par exemple dans les systèmes de navigation automobile pour pallier la perte momentanée du signal GPS, dans les disques durs d’ordinateurs portables pour prévenir des chocs éventuels et protéger les têtes de lecture, dans les smartphones ou dans les manettes de jeu vidéo pour détecter les mouvements du joueur.

L’objet de ce problème est l’étude de différents types d’accéléromètres et de gyromètres. Les quatre parties du problème sont indépendantes.

Dans le problème $g$ désigne l’accélération de la pesanteur que l’on prendra égale à $10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ dans les applications numériques et $c$ désigne la vitesse de la lumière dans le vide que l’on prendra égale à $3 \times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Условие

Dans un accéléromètre vibrant, la masse d’épreuve est fixée à une ou plusieurs lames vibrantes. Un système électronique maintient constamment les lames en oscillation à leur fréquence propre. Lorsque la masse d’épreuve subit une force inertielle, elle applique un effort de tension sur les lames, dont les fréquences de résonance vont changer, telles des cordes vibrantes. La mesure de l’accélération consiste à suivre les modifications de fréquence propre des lames.

On considère l’accéléromètre de la figure 4 : au centre du boîtier de l’accéléromètre, une masse d’épreuve est astreinte à se déplacer selon l’axe $Ox$. Elle est reliée au boîtier par deux lames identiques dirigées selon l’axe $Ox$, une à sa droite l’autre à sa gauche. L’oscillation des lames est transverse (oscillation de flexion). La pulsation propre $\omega$ d’une lame vérifie la relation :

où $T$ est la tension exercée sur la lame. La lame étant rigide, la tension $T$ peut être négative.

Au repos la masse d’épreuve n’exerce aucune tension sur les lames. Lorsque l’accéléromètre est en mouvement la masse d’épreuve subit une force inertielle d’entrainement $F_e\vec{e_x}$, Cette force est entièrement compensée par les lames qui maintiennent constamment la masse d’épreuve au centre du boîtier.

19. Écrire la différence de pulsations propres des lames en fonction de la force $F_e$ et de $\alpha$.

20. Quels avantages ce type de système où la masse d’épreuve est quasiment immobile dans le boîtier de l’accéléromètre possède-t-il sur les accéléromètres pendulaires ? On pourra faire référence à la question 10 et également s’interroger sur la plage maximale d’accélérations mesurables.

La suite de cette partie est consacrée à l’établissement de la relation (1).

On considère une lame de longueur $L$, de largeur $b$, d’épaisseur $h$ et de masse $M$, orientée selon l’axe $x$ encastrée à ces deux extrémités en $x = 0$ et $x = L$. Dans son mode de vibration fondamental, la déformation de la lame est uniquement transverse et sa dépendance temporelle est harmonique à la pulsation $\omega$. On note $y(x,t) = Y(x)\cos(\omega t)$ le déplacement de l’élément de lame situé à l’abscisse $x$. On considérera uniquement de petites déformations de la lame, c’est-à-dire que l’on ne conservera dans les calculs que le premier ordre non nul en $y$ et en ses dérivées.

21. Exprimer l’énergie cinétique totale $E_c(t)$ de la lame en fonction de $M$, $L$, $\omega$, $t$ et de la fonction $Y(x)$.

22. Soit l’élément de lame compris entre les abscisses $x$ et $x + \mathrm{d}x$. Lors d’une flexion de la lame ($y(x,t) \neq 0$), exprimer, au premier ordre non nul, son allongement $\delta(x)$ en fonction de $y(x,t)$ ou ses dérivées, puis donner l’allongement total $\Delta$ de la lame.

La lame est soumise, par un opérateur extérieur, à une force de tension constante axiale $T\vec{e_x}$ à son point d’ancrage $x = L$ et $-T\vec{e_x}$ à son point d’ancrage $x = 0$. On suppose que cette force est uniforme le long de la lame c’est-à-dire que pour toute abscisse $x$ la partie de la lame à droite de $x$ exerce sur la partie à gauche une tension d’amplitude $T$ dirigée le long de la lame. Dans le cas de petites oscillations $y(x,t)$, on peut négliger la tension supplémentaire créée par l’allongement de la lame qui est un effet d’ordre supérieur.

On appelle énergie potentielle de tension, que l’on notera $E_{\mathrm{tension}}(t)$, l’énergie potentielle élastique totale de la lame produite par son allongement.

23. Exprimer $E_{\mathrm{tension}}(t)$ sous la forme d’une intégrale en fonction de $T$, $\omega$, $t$ et de la fonction $Y(x)$ ou de ses dérivées.

La lame est composée de différentes tranches horizontales d’épaisseur $\mathrm{d}u$ comme illustré sur la figure 5. Lorsque la lame est courbée, ces tranches peuvent être soit comprimées soit étirées en fonction de leur position verticale. Cet effet lié à la courbure donne lieu à une énergie potentielle élastique. Chacune de ces tranches, située entre les abscisses $x$ et $x + \mathrm{d}x$, de section de largeur $b$ et d’épaisseur $h$ possède, pour son allongement horizontal, une raideur $\kappa$ :

où $E$ est une constante positive appelée module d’élasticité, exprimée en $\mathrm{N\cdot m^{-2}}$, qui caractérise l’élasticité du matériau. Lors de la flexion, chaque section transversale de la lame reste plane et orthogonale au plan central de la lame. On note $\mathrm{d}\theta$ l’angle entre la section à l’abscisse $x$ et celle à l’abscisse $x + \mathrm{d}x$.

Les deux types de déformations, allongement et courbure, sont a priori couplés, cependant, dans l’approximation linéaire, ils peuvent être calculés séparément.

24. Exprimer l’énergie potentielle élastique de l’élément de lame due à la courbure seule, c’est-à-dire en considérant que le plan central de la lame n’est pas allongé. On exprimera le résultat en fonction de $E$, $b$, $h$, $\mathrm{d}x$ et $\mathrm{d}\theta$.

25. En déduire que l’énergie potentielle élastique de courbure $E_{\mathrm{courbure}}(t)$ de la lame prend la forme :

où $B$ est une constante que l’on exprimera en fonction des paramètres géométriques de la lame et de $E$.

26. En invoquant la conservation de l’énergie lors de la déformation de la lame, montrer que la pulsation propre $\omega$ du mode fondamental vérifie :

où $\omega_0$ et $\beta$ sont des constantes que l’on exprimera en fonction de $M$, $L$, $B$ et d’intégrales de la fonction $Y$ ou de ses dérivées. Sous quelle(s) condition(s) retrouve-t-on la relation (1) ? Donner l’expression de $\alpha$.

27. En première approximation le mode fondamental possède une déformation du type $Y(x) = Y_0(1 - \cos(2\pi x/L))$. Donner l’expression des constantes $\omega_0$ et $\alpha$ en fonction de $M$, $L$, $B$.

Les accéléromètres à lames vibrantes sont généralement fabriqués en quartz pour ses excellentes propriétés mécaniques et dont le caractère piézoélectrique permet de réaliser très facilement les excitations et les détections des vibrations. Cela en fait des capteurs de très bonne précision et de très grande stabilité, relativement faciles à produire et à miniaturiser.

28. L’accéléromètre VIA (Vibrating Inertial Accelerometer) développé par l’ONERA, possède une lame vibrante de $30\ \mu\mathrm{m}$ de largeur, $60\ \mu\mathrm{m}$ d’épaisseur, de $2\ \mathrm{mm}$ de longueur et de masse $10\ \mu\mathrm{g}$. Il est fabriqué en quartz de module d’élasticité $E = 10^{11}\ \mathrm{N\cdot m^{-2}}$, ce qui lui confère une constante $B = 5{,}4 \times 10^{-8}\ \mathrm{N\cdot m^{2}}$. Donner la fréquence de résonance du mode fondamental de la lame ainsi que la constante $\alpha$. Quelle est la variation de fréquence de la lame lorsque celle-ci subit la tension exercée par une masse d’épreuve de $10\ \mathrm{mg}$ soumise à une accélération de $1g$.

Решение

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Оригинал в Архива: MP_2014.pdf