X-ENS 2014, Приемен изпит, математика и физика — Задача 4. Gyromètre laser

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2014 — FILIÈRE MP — COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)

Consignes

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
On se contentera, pour les applications numériques, d’un seul chiffre significatif.

Centrale inertielle

Une centrale inertielle est un ensemble d’accéléromètres et de gyromètres qui mesure l’accélération et la vitesse angulaire d’un mobile et permet de le positionner dans l’espace. La miniaturisation et le désormais faible coût de ces capteurs permettent de les intégrer dans de nombreux dispositifs électroniques embarqués. On les retrouve par exemple dans les systèmes de navigation automobile pour pallier la perte momentanée du signal GPS, dans les disques durs d’ordinateurs portables pour prévenir des chocs éventuels et protéger les têtes de lecture, dans les smartphones ou dans les manettes de jeu vidéo pour détecter les mouvements du joueur.

L’objet de ce problème est l’étude de différents types d’accéléromètres et de gyromètres. Les quatre parties du problème sont indépendantes.

Dans le problème $g$ désigne l’accélération de la pesanteur que l’on prendra égale à $10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ dans les applications numériques et $c$ désigne la vitesse de la lumière dans le vide que l’on prendra égale à $3 \times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Условие

Le gyromètre laser est un dispositif interférométrique qui exploite un effet relativiste appelé effet Sagnac. Dans ce problème, on donne une interprétation cinématique classique de cet effet en terme de décalage de fréquence d’une onde laser réfléchie par un miroir en mouvement. Cette interprétation conduit au même résultat que le traitement relativiste du phénomène.

Une onde plane monochromatique de pulsation $\omega_\ell$ se propageant dans le vide, se réfléchit sur un miroir avec un angle d’incidence $\theta$ par rapport à la normale au miroir. Le miroir est animé d’une vitesse $\vec{v}$ et on note $\vec{v}_\perp$ la composante de cette vitesse perpendiculaire à la surface du miroir. On considère les deux points $A_1$ et $A_2$ appartenant aux fronts d’ondes 1 et 2 séparés d’une distance $d$ et représentés sur la figure 6.

Le point $A_1$ atteint le miroir à l’instant $t_1 = 0$.

29. À quel instant $t_2$ le point $A_2$ du front d’onde 2 atteint-il le miroir ?

Pour des vitesses $\vec{v}_\perp$ du miroir faibles devant la vitesse de la lumière les lois de Descartes pour la réflexion restent valables, en particulier l’onde est réfléchie avec un angle $-\theta$ (voir figure 6).

30. Après réflexion, quelle est la distance $d'$ entre le front d’onde 1 et le front d’onde 2 ? On exprimera le résultat en fonction de $d$, $c$, $\vec{v}_\perp$ et $\theta$.

31. En considérant que la distance $d$ entre les points $A_1$ et $A_2$, avant réflexion, est égale à la longueur d’onde $\lambda$, donner la nouvelle longueur d’onde du faisceau après réflexion.

32. Montrer qu’au premier ordre en $v_\perp/c$, la pulsation $\omega'$ du faisceau réfléchi est :

On pourra utiliser ce résultat dans la suite.

33. Comment appelle-t-on ce phénomène ? Citer un exemple de la vie quotidienne où l’on observe cet effet. Citer un exemple scientifique ou de la vie quotidienne où cet effet est utilisé dans une mesure.

On considère le dispositif de la figure 7. Un faisceau laser, assimilé à une onde plane, est divisé en deux par une lame semi-réfléchissante qui laisse passer la moitié de l’intensité lumineuse et réfléchit l’autre moitié. Les deux ondes ainsi créées se propagent en sens inverse sur le trajet carré formé par les trois miroirs $M_1$, $M_2$, $M_3$. Après un tour complet chacune des deux ondes est à nouveau divisée par la lame séparatrice. L’intensité repartant vers le laser est perdue, celle ressortant par l’autre voie est détectée par un photodétecteur.

L’ensemble du dispositif (laser, miroirs, lame semi-réfléchissante et photodétecteur) est animé d’un mouvement de rotation par rapport à un référentiel Galiléen $\mathcal{R}$. Cette rotation se fait à vitesse angulaire $\Omega$ constante autour de l’axe $Oz$ perpendiculaire au plan de la figure, $O$ étant le centre du carré formé par les miroirs et la lame séparatrice. On note $a$ le côté de ce carré.

34. Lorsque le dispositif est immobile ($\Omega = 0$ et vitesse de translation nulle), relier l’intensité reçue par le photodétecteur à l’intensité $I_0$ émise par le laser.

Dans le reste du problème on se placera exclusivement dans le référentiel du laboratoire supposé Galiléen. On supposera les vitesses des divers éléments optiques très faibles devant la vitesse de la lumière. Dans cette approximation, dans le référentiel du laboratoire, l’onde arrivant sur la séparatrice est une onde plane dont la pulsation sera notée $\omega_L$.

35. Lorsque le dispositif est en rotation seule ($\Omega \neq 0$ et vitesse de translation nulle), au niveau de quels éléments optiques (miroir $M_1$, $M_2$, $M_3$ et lame semi-réfléchissante) se produit l’effet de la question 33 ?

36. Toujours lorsque le dispositif est en rotation seule, quelles sont les pulsations $\omega_t$ de l’onde se propageant dans le sens trigonométrique et $\omega_a$ de l’onde se propageant dans le sens anti-trigonométrique ?

37. En considérant qu’en première approximation la lumière décrit le même trajet carré que lorsque l’interféromètre est au repos, quel est le déphasage $\varphi_t$ (resp. $\varphi_a$) acquis par l’onde se propageant dans le sens trigonométrique (resp. anti-trigonométrique) depuis son premier passage par la lame semi-réfléchissante jusqu’à son second après un tour complet ? En déduire la différence de phase $\varphi_t - \varphi_a$ entre les deux ondes.

38. Justifier qu’après recombinaison sur la lame, les deux ondes ressortant vers le photodétecteur possèdent la même pulsation. En déduire, grâce à la question précédente, l’intensité lumineuse arrivant sur le photodétecteur, en fonction de $\Omega$, $a$, $I_0$, et de la longueur d’onde $\lambda$ du laser.

39. Lors d’une translation seule du gyromètre ($\Omega = 0$ et vitesse de translation non nulle), expliquer pourquoi l’intensité lumineuse arrivant sur le photodétecteur est la même que dans le cas de la question 34, et donc que le gyromètre est insensible aux translations (on pourra prendre l’exemple d’une translation selon l’axe $\vec{e_x}$).

40. Dans les dispositifs réels de gyromètre laser, l’anneau carré constitué par les miroirs est remplacé par une fibre optique de plusieurs centaines de mètres enroulée sur elle-même. Expliquer l’avantage de l’utilisation d’une longue fibre optique par rapport aux miroirs. On pourra s’appuyer sur l’expressions de la différence de phase obtenu question 37 en l’adaptant au système à fibre optique.

41. Quelle différence de phase entre les ondes trigonométrique et anti-trigonométrique obtient-on dans le cas d’un gyromètre à fibre optique dont la fibre fait $1\ \mathrm{km}$ de long enroulée sur un cylindre de $10\ \mathrm{cm}$ de rayon, tournant à la vitesse angulaire de $1\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}$ et utilisant un laser de longueur d’onde $800\ \mathrm{nm}$ ?

Решение

---

Оригинал в Архива: MP_2014.pdf