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X-ENS 2017, Приемен изпит, математика и физика — Задача 1. Question préliminaire

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES · CONCOURS D’ADMISSION 2017 · FILIÈRE MP · COMPOSITION DE PHYSIQUE (XULCR)

Consignes

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.
Les applications numériques seront données avec un seul chiffre significatif.

Условие

Mécanismes physiques de la perception auditive

Le sens de l’audition nécessite la transformation d’une onde sonore en signal électrique qui se propage ensuite le long de voies nerveuses jusqu’au cerveau. C’est le rôle des cellules ciliées dont une image obtenue en microscopie optique est présentée en figure 1a. Plus particulièrement, cette fonction de transformation d’un signal mécanique en signal électrique est réalisée au niveau de la touffe ciliaire, qui émerge de la surface de chaque cellule ciliée pour plonger dans le fluide environnant (figure 1a). Une image de cette touffe avec un plus fort grossissement obtenue par microscopie électronique est donnée en figure 1b. On peut voir qu’elle est constituée des plusieurs « piliers » appelés stéréocils qui peuvent pivoter par rapport à leur base. Schématiquement, l’onde sonore arrivant dans l’oreille fait vibrer la membrane (dite basilaire) qui porte les cellules ciliées. Le déplacement relatif d’une cellule ciliée par rapport au fluide environnant entraîne alors une déflexion de sa touffe ciliaire qui baigne dans le fluide. Cette déflexion ouvre mécaniquement des canaux ioniques qui sont insérés dans la paroi des stéréocils (figure 2). L’onde sonore provoque donc des changements de conformations des canaux qui ne peuvent prendre que deux conformations : une conformation fermée ne laissant pas passer d’ions, ou une conformation ouverte permettant l’établissement d’un courant ionique. L’ouverture est provoquée par la déflexion des stéréocils. En s’inclinant, ceux-ci mettent sous tension un élément élastique, appelé lien de bout de cil (figure 2), qui relie le canal d’un stéréocil à un autre stéréocil.

a : photographie au microscope optique d’une cellule ciliée allongée avec, en haut, la touffe ciliaire entourée d’un cercle (barre d’échelle 5µm) ; b : agrandissement au microscope électronique de la touffe, étiquettes « Touffe ciliaire » et « Stéréocil » avec une flèche, barre d’échelle 5µm. — Figure 1 – a : vue au microscope optique d’une cellule ciliée isolée. b : vue au microscope électronique à balayage d’une touffe ciliaire composée de stéréocils.

L’objet de ce problème est la caractérisation de la réponse mécanique de ce système à un stimulus extérieur.

Schéma de trois stéréocils de hauteurs croissantes reliés par des ressorts : à gauche « stéréocils au repos » avec « lien de bout de cil » et « canal ionique fermé » ; à droite « stéréocils défléchis » inclinés dans la direction de la flèche X, avec « canal ionique ouvert ». — Figure 2 – représentation schématique de la transduction mécano-électrique. Une déflexion de la touffe ciliaire, produite par une force extérieure dans la direction notée X, modifie la probabilité d’ouverture des canaux. Leur ouverture induit un signal nerveux par passage d’ions en solution.

Etat du canal	Energie de conformation du canal	Allongement du ressort
ouvert	$\epsilon_O$	$x - d$
fermé	$\epsilon_F$	$x$

Deux schémas d’un élément fixé à un mur : « canal ouvert » avec un ressort « lien de bout de cil » et un canal incliné de longueur d ; « canal fermé » avec le ressort « lien de bout de cil étiré » allongé de d ; l’élongation totale x est indiquée par une flèche. — Figure 3 – Modèle simplifié d’un élément constitué d’un canal (ouvert ou fermé) et du lien de bout de cil, modélisé par un ressort, qui lui est associé. Sous l’effet d’une déflexion de la touffe ciliaire les liens de bout de cil tirent sur les canaux qui peuvent être alors ouverts ou fermés (voir aussi figure 2). La variation d’allongement (en valeur absolue) d’un lien de bout de cil pour ouvrir un canal est notée $d$ . La variable $x$ paramétrise l’élongation totale d’un élément.

Dans tout le problème, on adopte la modélisation simplifiée suivante. Un canal est modélisé comme un système à 2 états : un état fermé d’énergie $\epsilon_F$ et un état ouvert et d’énergie $\epsilon_O$ . On notera $\epsilon = \epsilon_O - \epsilon_F$ . La valeur absolue de l’extension spatiale selon $\vec{e}_x$ d’un canal dans l’état ouvert sera considérée comme nulle et celle d’un canal dans l’état fermé sera notée $d$ (voir figure 3).

On considère pour simplifier la géométrie du problème que la touffe ciliaire est constituée de $N$ canaux en parallèle, chacun connecté à un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide considérée comme nulle modélisant le lien de bout de cil, et dont la déformation est selon l’axe $\vec{e}_x$ uniquement (voir figure 4). On note $x$ l’élongation algébrique totale d’un élément ressort + canal, appelé ci-après élément.

Dans tout le problème, les paramètres expérimentaux seront les suivants : $\epsilon = 10\ k_BT$ , $k = 0{,}6\ 10^{-3}\ \mathrm{N \cdot m^{-1}}$ , $d = 4\ 10^{-9}\ \mathrm{m}$ , et $k_B \simeq 1{,}4\ 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}$ . On se placera à température ambiante, et il pourra être utile d’utiliser la notation $\beta = 1/(k_BT)$ .

Quatre ressorts en parallèle fixés à un mur et reliés à des canaux (ouverts ou fermés) attachés à un composant rigide commun tiré par la force F = F e_x ; la distance d et l’élongation x sont indiquées. — Figure 4 – Modèle de Howard-Hudspeth (HH), à déplacement $x$ imposé. Un composant rigide, auquel est appliqué une force $\vec{F}$ , impose la même déformation $x$ à tous les éléments. L’extension spatiale d’un canal ouvert est notée $d$ .

0. Donner la variation d’énergie élastique d’un ressort de raideur $k$ (supposé initialement au repos et de longueur à vide nulle) lorsqu’il subit une élongation $d$ . Estimer sa valeur dans le cas du ressort d’un élément d’une cellule ciliée. En déduire que l’on ne peut pas se contenter d’une approche exclusivement mécanique pour décrire une touffe ciliaire, et qu’il faut prendre en compte la température.

Решение

Внимание: Непълно решение

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Оригинал в Архива: MP_2017.pdf