X-ENS 2017, Приемен изпит, математика и физика — Задача 2. Modèle à extension fixée

II. A) Statistique d’ouverture d’un canal et ordres de grandeur

1. Pour une valeur $x$ fixée, montrer que la différence d’énergie totale $E(x) = E_O(x) - E_F(x)$ entre l’état ouvert et l’état fermé d’un élément (constitué, on le rappelle, d’un canal et du ressort associé) peut se mettre sous la forme $E(x) = -\phi(x - x_0)$, où $\phi$ et $x_0$ sont des constantes à déterminer en fonction de $k, \epsilon$ et $d$.

2. On suppose que l’état (ouvert ou fermé) d’un élément donné est indépendant de l’état des autres éléments. En considérant un élément unique en équilibre à la température $T$, déterminer la probabilité $p_O(x)$ qu’un canal donné soit ouvert. Montrer que l’on peut écrire

où la constante $\Lambda$ est à déterminer.

3. Représenter la fonction $p_O(x)$. Commenter les variations de cette fonction.

4.a Application numérique. Quelle est l’extension $x_r$ du ressort et la tension associée pour que $p_O = 0{,}5$ ? Calculer numériquement $x_r$ et la tension associée à température ambiante. Pourquoi la cellule ciliée a-t-elle intérêt à imposer une tension au repos (c’est à dire en l’absence de tout stimulus sonore) proche de celle que l’on vient de calculer ?

4.b Application numérique. Sachant que la géométrie du système impose qu’une déflexion $X$ de la touffe ciliaire induit un changement d’extension $x \simeq \gamma X$ dans les liens de bout de cil, donner l’ordre de grandeur des déflexions ciliaires $X_0$ qui induisent un changement de probabilité d’ouverture de l’ordre de 10%. On prendra $\gamma = 0{,}1$.

5. On suppose qu’un canal individuel ouvert laisse passer un courant $i$. On applique à la touffe ciliaire une déflexion dépendant du temps sinusoïdalement, d’amplitude $X_A$ et de moyenne $x_r/\gamma$. Tracer l’allure du courant total $I(t)$ transmis par la touffe ciliaire. On distinguera les régimes $X_A \ll X_0$ et $X_A \gg X_0$. Dans quel régime la perception du signal mécanique est-elle meilleure ?

II. B) Propriétés mécaniques de la touffe ciliaire

6. Justifier que la tension $f$ appliquée à un ressort d’un élément donné est, à $x$ fixé, une variable aléatoire pouvant prendre 2 valeurs. Exprimer la moyenne de $f$ sur l’ensemble des éléments, notée $\langle f \rangle$.

7. En déduire que la force $F$ à imposer à l’ensemble des $N$ éléments pour maintenir une déflexion $x$ donnée est une variable aléatoire. Exprimer sa moyenne $\langle F \rangle = \Phi(x)$. Justifier que pour $N \gg 1$, on peut négliger les fluctuations relatives de $F$ et l’identifier à sa valeur moyenne. On supposera cela vérifié dans la suite.

8. Calculer la raideur de la touffe ciliaire, définie par $K_{HH} = \mathrm{d}\Phi(x)/\mathrm{d}x$, en fonction de $x$. On pourra remarquer que $\mathrm{d}p_O/\mathrm{d}x = Ap_O(1 - p_O)$, où $A$ est une constante à déterminer.

9. Tracer la fonction $K_{HH}(x)$ et montrer qu’elle présente un minimum pour une valeur de l’extension $x_{\mathrm{min}}$ que l’on précisera.

10. Comparer au comportement d’un ressort de raideur constante et justifier le terme de « fenêtre d’amollissement ». Expliquer en quoi une telle fenêtre d’amollissement peut être favorable pour détecter des stimuli de faible amplitude.

11. Montrer que la raideur peut devenir négative pour $d \geq d_{\mathrm{min}}$, où $d_{\mathrm{min}}$ est à déterminer. Tracer $\Phi(x)$ dans ce régime.

12. On suppose $d > d_{\mathrm{min}}$. Si l’on considère maintenant que la force $F$ est fixée, montrer graphiquement que pour certaines valeurs de $F$, le système est bistable. On justifiera graphiquement l’existence des positions d’équilibre et leur stabilité.

13. On impose à la touffe ciliaire une force $F = F_0$ telle que $p_O = 0{,}01$. On augmente ensuite la force de manière quasi statique jusqu’à une valeur $F = F_1$ telle que $p_O = 0{,}99$ ; la force est ensuite réduite de manière quasi statique jusqu’à $F_0$. Tracer le cycle réalisé par le système dans le plan $(x, F)$ dans les cas $d > d_{\mathrm{min}}$ et $d < d_{\mathrm{min}}$. Commenter.

14. On suppose la force $F$ fixée. Justifier que l’ouverture du canal d’un élément donné induit une augmentation de la tension supportée par les éléments restant fermés. Comment varie alors leur probabilité d’ouverture ? Proposer sur cette base un mécanisme physique du phénomène de raideur négative.