Съдържание

Условие 1.1 Déformations de l’espace-temps 1.2 Sources d’ondes gravitationnelles 1.3 Rayonnement gravitationnel d’un système binaire 1.4 GW150914 Решение 1 Éléments statistiques 2 Généralités 3 Remarques particulières

X-ENS 2018, Приемен изпит · Улм, физика и химия — Задача 1. 1 Quelques propriétés des ondes gravitationnelles

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ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE — CONCOURS D’ADMISSION 2018 — FILIÈRE PC — COMPOSITION DE PHYSIQUE – C – (U) — Détection interférométrique d’ondes gravitationnelles

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Le dossier d’archive ne fournit pas de corrigé complet ni de barème détaillé. Le rapport du jury de Physique C est conservé intégralement et identifié comme commentaire, avec ses indications partielles et ses exemples explicitement présentés comme erreurs de candidats. Aucun résultat manquant n’a été inventé. La notation des matrices et des vecteurs ainsi que les valeurs numériques imprimées sont conservées.

Consignes de l’épreuve

L’usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d’accompagnement, est autorisé. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n’est autorisé entre les candidats.

Le sujet comprend 14 pages numérotées de 1 à 14.

Lorsque des applications numériques sont demandées, il convient de donner un résultat numérique avec trois chiffres significatifs.

Détection interférométrique d’ondes gravitationnelles — Introduction commune

L’existence d’ondes gravitationnelles a été prédite par la théorie de la relativité générale, formulée par Einstein au début du XXᵉ siècle. Ces oscillations de l’espace-temps ont été directement observées pour la première fois le 14 septembre 2015 par la collaboration scientifique LIGO, “Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory”. Au-delà d’un test positif de la théorie de la relativité générale, leur détection a marqué le début d’une nouvelle ère en astronomie, nous permettant d’observer l’Univers à l’aide de rayonnements physiquement différents des rayonnements électromagnétiques (lumière visible, ultraviolette ou infrarouge, rayons X ou gamma, radiofréquences) ou des rayons cosmiques (noyaux atomiques et particules de haute énergie).

Ce sujet présente quelques propriétés des ondes gravitationnelles et des instruments qui ont permis de les détecter. Il est constitué de trois parties indépendantes. La première partie s’intéresse à la physique des ondes gravitationnelles et aux effets observables qu’elles produisent sur Terre. La deuxième partie consiste en une modélisation simplifiée des interféromètres optiques qui ont permis de détecter les premières ondes gravitationnelles. La troisième partie permet de déterminer une limite à la sensibilité de ces détecteurs liée aux fluctuations du nombre de photons qui y circulent.

Table des matières originale

Partie native	Page imprimée
1 Quelques propriétés des ondes gravitationnelles	3
1.1 Déformations de l’espace-temps	3
1.2 Sources d’ondes gravitationnelles	4
1.3 Rayonnement gravitationnel d’un système binaire	5
1.4 GW150914	6
2 Détection interférométrique d’ondes gravitationnelles	7
2.1 Miroirs suspendus	7
2.2 Résonateurs optiques	8
2.3 Interféromètre de Michelson	10
3 Limites quantiques à la sensibilité des détecteurs	11
3.1 Bruit de grenaille	11
3.2 Fluctuations de la pression de radiation	13
3.3 Limite quantique standard	13

Constantes et formules utiles

Constante	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse de la lumière	$c$	$3{,}00\times10^8$	$\mathrm m.\mathrm s^{-1}$
Constante universelle de la gravitation	$G$	$6{,}67\times10^{-11}$	$\mathrm m^3.\mathrm{kg}^{-1}.\mathrm s^{-2}$
Masse du Soleil	$M_\odot$	$1{,}99\times10^{30}$	$\mathrm{kg}$
Megaparsec	$\mathrm{Mpc}$	$3{,}09\times10^{22}$	$\mathrm m$
Accélération de la pesanteur terrestre	$g$	$9{,}81$	$\mathrm m.\mathrm s^{-2}$
Constante de Planck	$h=2\pi\hbar$	$6{,}63\times10^{-34}$	$\mathrm m^2.\mathrm{kg}.\mathrm s^{-1}$
Constante de Boltzmann	$k_B$	$1{,}38\times10^{-23}$	$\mathrm m^2.\mathrm{kg}.\mathrm s^{-2}.\mathrm K^{-1}$
Périmètre terrestre	$L_t$	$40\,000$	$\mathrm{km}$

\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)

2\cos(x)\sin(x)=\sin(2x)

(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+O(x^3)

La valeur moyenne d’une variable aléatoire $X$ est notée $\langle X\rangle$ .

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est noté $\vec u.\vec v$ .

Условие

1.1 Déformations de l’espace-temps

Q1 Un marcheur part du pôle Nord. Il parcourt 10000 km en ligne droite, tourne de 90° à gauche et parcourt encore 10000 km en ligne droite. Dessiner sa trajectoire et déterminer la distance minimale qu’il devrait parcourir pour revenir au pôle Nord. Qu’en aurait-il été si la surface terrestre était plane ?

Q2 Une sphère de rayon $r=1$ est décrite en coordonnées sphériques habituelles $(\theta,\phi)$ où $\theta$ est la colatitude et $\phi$ est la longitude. Montrer que la longueur $L$ d’une courbe $\mathcal C$ dessinée sur cette surface est donnée par

L=\int_\mathcal C\sqrt{(\mathrm d\vec v).(\mathbf g\,\mathrm d\vec v)},\quad\text{avec }\mathbf g=\begin{pmatrix}1&0\\0&\sin^2\theta\end{pmatrix}\quad\text{et }\mathrm d\vec v=\begin{pmatrix}\mathrm d\theta\\\mathrm d\phi\end{pmatrix}.\qquad(1)

On appelle la matrice $\mathbf g$ le tenseur métrique d’une sphère décrite en coordonnées sphériques. Associé à un système de coordonnées (ici les coordonnées sphériques $(\theta,\phi)$ ), le tenseur métrique permet de mesurer des distances, des aires ou des angles dans un espace courbe. Si on déforme cet espace, les coordonnées des objets restent les mêmes mais le tenseur métrique, donc les distances entre ces objets, varient (voir Figure 1).

Grilles de coordonnées avant et après déformation de l’espace, points A et B fixes dans les coordonnées, flèche de déformation. — Figure 1 – Effet de la déformation d’un espace : les positions des objets A et B sur la grille des coordonnées restent fixes, mais la distance qui les sépare varie.

La relativité générale prédit que l’espace-temps est déformé par des objets massifs. En mouvement, ces objets peuvent créer des ondes gravitationnelles qui se propagent à travers l’espace-temps en faisant osciller son tenseur métrique. On peut montrer que ces ondes n’influencent pas les mesures du temps ni celles des distances le long de leur direction de propagation. En revanche elles modifient les distances entre les objets situés dans le plan transverse à cette direction.

Q3 Citer un autre exemple d’ondes transverses à leur direction de propagation.

Dans la suite du problème on se placera en coordonnées cartésiennes dans un repère $Oxyz$ . En absence de perturbation gravitationnelle, le tenseur métrique dans le plan $Oxy$ s’écrit simplement

\mathbf g^{(0)}=\mathbf1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\qquad(2)

On considère que des ondes gravitationnelles émises par une source lointaine se propagent suivant l’axe $Oz$ , ajoutant une petite perturbation $\mathbf h$ à ce tenseur métrique qui devient

\mathbf g=\mathbf1+\mathbf h=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}h_{xx}&h_{xy}\\h_{yx}&h_{yy}\end{pmatrix},\qquad(3)

où toutes les composantes de $\mathbf h$ , supposées du même ordre de grandeur, sont très petites devant 1. La longueur d’un déplacement élémentaire

\mathrm d\vec r=\begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\end{pmatrix}

dans ce plan s’écrit, comme précédemment, $\mathrm dl=\sqrt{(\mathrm d\vec r).(\mathbf g\,\mathrm d\vec r)}$ .

Q4 Vérifier qu’à l’ordre 1 en $\mathbf h$

\mathrm dl=\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}+\frac{(\mathrm d\vec r).(\mathbf h\,\mathrm d\vec r)}{2\sqrt{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}}+O(\mathbf h^2)\qquad(4)

Dans la suite du problème, on se placera toujours dans cette approximation.

Q5 On suppose $\mathbf h$ indépendant de $x$ et $y$ . Si on se déplace sur l’axe $Ox$ , que vaut la distance $L$ entre les points d’abscisses $x$ et $x+L_0$ , à l’ordre 1 en $\mathbf h$ ?

Q6 Dans le vide, dans un référentiel convenablement choisi, la perturbation $\mathbf h$ du tenseur métrique obéit à l’équation d’onde

\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}-\frac1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\mathbf h(\vec r,t)=0\qquad(5)

où $c$ est la vitesse de la lumière. Pour des solutions en ondes planes, donner la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Déterminer la longueur d’onde $\lambda$ pour une onde gravitationnelle sinusoïdale de pulsation $\Omega$ .

Puisqu’elles font varier le tenseur métrique, pour détecter des ondes gravitationnelles il “suffit” de voir la distance entre deux systèmes isolés osciller au cours du temps. Pour estimer l’amplitude et la fréquence de ces oscillations on doit relier $\mathbf h$ à une source, c’est-à-dire à un ensemble d’objets massifs en mouvement.

1.2 Sources d’ondes gravitationnelles

On considère une source d’ondes gravitationnelles constituée de $N$ objets ponctuels de masses $m_1,\ldots,m_N$ constantes et de positions $\vec r_1,\ldots,\vec r_N$ dépendantes du temps. On suppose que ce système est isolé. On suppose également que la source est située près de l’origine $O$ des coordonnées alors que l’observateur, situé au point $\vec R=R\vec e_z$ où $\vec e_z$ est le vecteur directeur unitaire de l’axe $Oz$ , en est très éloigné : $\forall i\in[1,N],R\gg r_i$ où on note $r_i=\|\vec r_i\|$ . Il est alors raisonnable de s’intéresser non pas aux positions exactes des $N$ objets mais aux propriétés globales de cette distribution de masses, que l’on caractérisera par trois moments définis ainsi :

\text{moment monopolaire }M=\sum_{n=1}^N m_n,\qquad(6)

\text{moment dipolaire }\vec D=\begin{pmatrix}D_x\\D_y\\D_z\end{pmatrix}=\sum_{n=1}^N m_n\vec r_n=\sum_{n=1}^N m_n\begin{pmatrix}x_n\\y_n\\z_n\end{pmatrix},\qquad(7)

\text{moment quadrupolaire }\mathbf Q=\begin{pmatrix}Q_{xx}&Q_{xy}&Q_{xz}\\Q_{yx}&Q_{yy}&Q_{yz}\\Q_{zx}&Q_{zy}&Q_{zz}\end{pmatrix}=\sum_{n=1}^N\frac{m_n}{3}\left[3(\vec r_n)(\vec r_n)^T-r_n^2\mathbf1\right]\qquad(8)

=\sum_{n=1}^N\frac{m_n}{3}\begin{pmatrix}2x_n^2-y_n^2-z_n^2&3x_ny_n&3x_nz_n\\3x_ny_n&2y_n^2-x_n^2-z_n^2&3y_nz_n\\3x_nz_n&3y_nz_n&2z_n^2-x_n^2-y_n^2\end{pmatrix}.\qquad(9)

Q7 Quel est le sens physique de $M$ et $\vec D/M$ ? À quelle grandeur physique $\mathbf Q$ est-il homogène ?

Q8 Donner, sans approximation, le champ gravitationnel newtonien statique $\vec g$ créé par la source au point $\vec R$ , en fonction de $G$ , $\vec R$ , des masses $m_n$ et des positions $\vec r_n$ . Développer cette expression à l’ordre deux par rapport aux petits paramètres $r_n/R$ , en regroupant les termes du même ordre. On rappelle que $|\vec R-\vec r|=R\left(1-2\vec R.\vec r/R^2+r^2/R^2\right)^{1/2}$ .

Q9 Vérifier qu’à cet ordre d’approximation on peut réécrire les trois composantes de $\vec g$ sous la forme

g_x=\frac{GD_x}{R^3}+\frac{3GQ_{xz}}{R^4}\qquad(10)

g_y=\frac{GD_y}{R^3}+\frac{3GQ_{yz}}{R^4}\qquad(11)

g_z=-\frac{GM}{R^2}-\frac{2GD_z}{R^3}-\frac{9GQ_{zz}}{2R^4}\qquad(12)

Q10 Pourquoi, pour ce champ statique, peut-on souvent négliger les contributions des termes dipolaire et quadrupolaire lorsque la distance $R$ est grande devant la taille caractéristique $r$ de la source ?

On suppose maintenant qu’une onde gravitationnelle sinusoïdale de pulsation $\Omega$ est émise par cette source. Les équations liant le rayonnement gravitationnel aux sources sont, dans le régime que l’on considère ici, similaires à celles de l’électromagnétisme. On peut donc déduire certaines de ses propriétés par analogie.

Q11 On admet que le rayonnement électromagnétique d’une source (une lampe, une antenne...) dépend des trajectoires $\vec r_n(t)$ des charges $q_n$ qui y circulent. On suppose cette source globalement neutre $(\sum_n q_n=0)$ et on introduit le moment dipolaire électrique $\vec D_q(t)=\sum_n q_n\vec r_n(t)$ pour décrire cette distribution de charges de manière globale, comme nous l’avions fait précédemment pour la distribution de masses. Pourquoi, outre $\vec D_q(t)$ , la description du rayonnement doit-elle faire intervenir la vitesse de la lumière $c$ et la permittivité diélectrique du vide $\epsilon_0$ ? Montrer que la quantité

\frac1{\epsilon_0c^3}\left(\frac{\mathrm d^2D_q}{\mathrm dt^2}\right)^2\qquad(13)

est homogène à une puissance. On admet qu’à un facteur numérique près elle correspond à la puissance rayonnée.

Q12 Très loin de la source, le rayonnement a localement une structure d’onde plane. Vérifier que le champ électrique doit se comporter comme

\mathcal E\sim\frac1{\epsilon_0c^2R}\frac{\mathrm d^2D_q}{\mathrm dt^2}\qquad(14)

Q13 Grâce à la similarité des équations fondamentales, le raisonnement ci-dessus se transpose à une onde gravitationnelle, dont l’amplitude doit dépendre des masses et des accélérations des objets qui constituent la source, donc des dérivées secondes par rapport au temps des moments $M$ , $\vec D$ et $\mathbf Q$ . Justifier pourquoi $\mathrm d^2M/\mathrm dt^2=0$ et $\mathrm d^2\vec D/\mathrm dt^2=\vec0$ . Nous verrons plus loin que $\mathrm d^2\mathbf Q/\mathrm dt^2=\ddot{\mathbf Q}$ peut en revanche être non nulle.

Q14 Compte tenu du résultat précédent et du fait que ce problème associe gravitation et relativité, pourquoi peut-on supposer que l’expression de l’amplitude du rayonnement gravitationnel $\mathbf h$ détecté au point $\vec R$ fait intervenir $G$ , $R$ , $c$ , et $\ddot{\mathbf Q}$ ?

Q15 Par analyse dimensionnelle, construire une grandeur proportionnelle à $\ddot{\mathbf Q}$ faisant intervenir également $G$ , $R$ et $c$ et ayant la même dimension que $\mathbf h$ .

1.3 Rayonnement gravitationnel d’un système binaire

On suppose que la source ci-dessus est constituée de $N=2$ objets ponctuels de masses identiques $m_1=m_2=m$ en interaction gravitationnelle, évoluant dans le plan $Oxy$ sur une orbite circulaire de rayon $r_1=r_2=r$ autour de leur centre de masse choisi comme origine des coordonnées $O$ (voir Fig.2). On suppose que leurs vitesses sont très inférieures à celle de la lumière, ce qui permet de traiter leur mouvement dans le cadre de la mécanique non-relativiste classique. Les positions des objets sont notées $x_1=-x_2=r\cos(\Omega t)$ et $y_1=-y_2=r\sin(\Omega t)$ .

Q16 Déterminer le rayon de l’orbite $r$ en fonction de la pulsation $\Omega$ , de la masse $m$ de chaque objet et de constante(s) fondamentale(s). Exprimer la norme de la vitesse de chaque objet en fonction des mêmes grandeurs. À quelle condition l’hypothèse de mouvement non-relativiste reste-t-elle vérifiée ?

Q17 Exprimer l’énergie cinétique totale $E_c$ du système et l’énergie potentielle d’interaction $E_p$ entre les deux masses, en fonction de $G$ , $m$ et $r$ , en supposant $\lim_{r\to+\infty}(E_p)=0$ . Pour un mouvement non relativiste, comment ces énergies se comparent-elles à l’énergie de masse au repos $E_m=2mc^2$ du système ?

Q18 Déterminer les expressions matricielles de $\mathbf Q$ et $\ddot{\mathbf Q}$ pour ce système, en simplifiant les expressions à l’aide des formules trigonométriques données en préambule.

Un calcul fait à partir des équations d’Einstein de la relativité générale exprimées dans un référentiel approprié donne dans ce cas

\mathbf h=\frac{2G}{Rc^4}\ddot{\mathbf Q}_\perp(t-R/c)\qquad(15)

Deux masses identiques m en orbite circulaire opposées, axes x,y,z, vecteurs r et −r, v et −v, distance R et perturbation h chez l’observateur. — Figure 2 – Rayonnement gravitationnel d’un système constitué de deux objets ponctuels en rotation.

où

\mathbf Q_\perp=\begin{pmatrix}Q_{xx}&Q_{xy}\\Q_{yx}&Q_{yy}\end{pmatrix},\qquad(16)

est la partie de $Q$ correspondant au seul plan $Oxy$ . Cette relation peut se réécrire

\begin{pmatrix}h_{xx}&h_{xy}\\h_{yx}&h_{yy}\end{pmatrix}=\frac{2G}{Rc^4}\begin{pmatrix}\ddot Q_{xx}(t-R/c)&\ddot Q_{xy}(t-R/c)\\\ddot Q_{yx}(t-R/c)&\ddot Q_{yy}(t-R/c)\end{pmatrix}.\qquad(17)

Q19 Montrer qu’on peut écrire $\mathbf h$ sous la forme de deux polarisations

\mathbf h=h_+\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}+h_\times\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad(18)

et déterminer les expressions des fonctions $h_+$ et $h_\times$ .

Q20 Quelle est la fréquence $\nu$ de l’onde gravitationnelle ?

Q21 Comparer les amplitudes $\bar h_+$ et $\bar h_\times$ des fonctions $h_+$ et $h_\times$ . Dans quelle mesure ce résultat était-il prévisible sans calcul ?

Q22 Dans l’hypothèse d’un mouvement non relativiste, comparer la longueur d’onde $\lambda$ du rayonnement gravitationnel à $r$ . Doit-on alors tenir compte du temps de propagation du champ gravitationnel à travers la source pour calculer les trajectoires de ses constituants ? Quel est le nom de l’approximation équivalente dans le domaine de l’électrocinétique ?

1.4 GW150914

Le signal GW150914 détecté par LIGO le 14 septembre 2015 et représenté sur la figure 3 était produit par deux trous noirs de masse $m\approx30M_\odot$ , situés à une distance $R\approx440\,\mathrm{Mpc}$ de la Terre (ces unités sont définies dans le préambule). Au début de la détection la fréquence $\nu$ de l’onde gravitationnelle valait $\nu_{\min}=35\,\mathrm{Hz}$ , puis elle a augmenté durant $0{,}2$ secondes pour atteindre $\nu_{\max}=150\,\mathrm{Hz}$ . Pendant ce temps l’amplitude du signal a augmenté. Le signal s’est ensuite rapidement atténué et a disparu.

Q23 D’après le modèle que nous avons développé, notamment les questions 16 à 20, l’augmentation de la fréquence de l’onde est-elle cohérente avec celle de son amplitude ? Que traduit-elle sur la pulsation de rotation $\Omega$ de la source, sur le rayon de l’orbite $r$ , et sur la somme $E_c+E_p$ des énergies cinétique et potentielle du système ? Qu’est-ce qui a pu causer l’interruption du signal ?

Deux courbes de LIGO, L1 observed et H1 observed (shifted, inverted), déformation h×10²¹ de −1 à1, temps en secondes de0,30 à0,45. — Figure 3 – Déformation h mesurée par deux antennes gravitationnelles de LIGO le 14 septembre 2015. Figure adaptée de B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), “Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger”, Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016).

Q24 En utilisant les données fournies dans le préambule, évaluer numériquement les amplitudes maximales $\bar h_{+,\max}$ et $\bar h_{\times,\max}$ des ondes gravitationnelles détectées.

Pour détecter ces ondes gravitationnelles, l’observateur situé au point de coordonnées $(0,0,R)$ mesure les distances $L_x(t)$ et $L_y(t)$ entre sa position et celles de deux objets situés respectivement aux points de coordonnées $(L_0,0,R)$ et $(0,L_0,R)$ dans le repère $Oxyz$ .

Q25 En utilisant le résultat de la question 5, exprimer les variations $\delta L_x(t)=L_x(t)-L_0$ et $\delta L_y(t)=L_y(t)-L_0$ en fonction de $L_0$ et des fonctions $h_+(t)$ et $h_\times(t)$ . Déterminer la dilatation maximale $\delta L_x$ pour $L_0=4000\,\mathrm m$ . Comparer, en ordre de grandeur, avec la taille caractéristique d’un noyau atomique.

Решение

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Rapport du jury PC 2018 — Épreuve Physique C

Membres du jury : M. Berhanu, A. Bres, F. Levrier

1 Éléments statistiques

– 401 copies rendues

– Note minimale : 2,5

– Note maximale : 20

– Moyenne : 9,41

– Écart-type : 3,78

Les 50 meilleures copies (typiquement celles des candidats admissibles à Ulm) vont de 13,9 à 20, pour une moyenne de 16,37 et un écart-type de 1,89.

2 Généralités

Le sujet de cette session portait sur la physique des ondes gravitationnelles.

La première partie questionnait d’abord leur influence sur la matière (dilatation et contraction des longueurs). Considérant une distribution quelconque de masse, et usant d’une analogie électromagnétique, on arrivait à la formule du quadrupôle d’Einstein. On se focalisait ensuite sur un système binaire (analogue aux mesures faites par VIRGO) pour déterminer les caractéristiques du signal émis, avant de finalement revenir aux données réelles du système GW150914.

La seconde partie s’intéressait à la détection des ondes gravitationnelles par des dispositifs interférentiels. On commençait par s’interroger sur le filtrage mécanique du bruit auquel sont soumis les miroirs. Une étude simplifiée du résonateur optique (de type Fabry-Pérot) était ensuite proposée, permettant d’établir les ordres de grandeurs de la puissance récoltée ainsi que la forme des signaux de sortie. Enfin, un retour à l’interféromètre de Michelson permettait de traiter la question de la sensibilité du dispositif, et de son lien avec sa longueur et la qualité des miroirs.

Enfin, la dernière partie se penchait sur le problème du bruit de mesure. L’étude du bruit de grenaille, lié à la statistique Poissonienne de la distribution de photons, était d’abord menée. On présentait ensuite le bruit lié à la pression de radiation. Enfin, les deux effets étaient combinés afin d’encadrer la sensibilité du détecteur.

Cette année, le jury a été particulièrement peiné de constater le peu d’intérêt qu’accordaient les candidats à l’homogénéité de leurs résultats. Ainsi, il n’a pas été rare de croiser des $1/R^2\ll1$ , des $v_g=\sqrt{v_\phi}=c$ , ou même un $\omega^{5/3}\ll c$ . Ces erreurs sont systématiquement pénalisées.

À l’inverse, le jury se félicite d’avoir trouvé dans les meilleures copies une bonne maîtrise du cours de base, des expressions homogènes et pertinentes, et un sens physique certain. Le recul sur les notions acquises en classes préparatoires est indispensable pour aborder cette épreuve qui, bien qu’originale dans son contenu, n’exige rien qu’un élève ne sache après deux ans en CPGE.

Il est attendu d’élèves présentant les concours des grandes écoles (et pas que ceux des Écoles Normales Supérieures) d’être au fait des règles fondamentales de présentation. Les copies raturées, recorrigées plusieurs fois, sans espace entre les questions, sans mise en avant des résultats, où les raisonnements doivent être suivis à l’aide de flèches (!), toutes ces raisons, ensemble ou individuellement, sont autant de motifs de ne pas accorder de points. Une copie n’est pas un brouillon de réflexion mais un moyen de communication avec le correcteur.

3 Remarques particulières

Q1 : Alors que le formulaire donnait le périmètre terrestre (40 000 km), une fraction non-négligeable des candidats n’a apparemment pas remarqué qu’un trajet de 10 000 km amenait nécessairement le voyageur du pôle Nord à l’Équateur.

Q3 : Le jury a apprécié la grande quantité d’exemples d’ondes transverses fournis par les candidats, prouvant une culture physique riche. Cependant, il souhaiterait préciser que les exemples suivants n’en sont pas : les ondes sonores, les ondes de marées, les ondes sismiques (en général).

Q4 : Il n’est pas acceptable à ce niveau de faire un développement limité sur une quantité matricielle, du moins pas sans justification. Les démonstrations acceptées sont celles qui passent aux coefficients pour faire le développement, avant de revenir à la notation matricielle à la fin.

Q5 : Le sujet imposant la notation $h_{xx}$ , $h_{yy}$ , ... toute réponse impliquant $\mathbf h$ (seul) a été systématiquement refusée. Un candidat doit être à même de distinguer dans sa copie les quantités scalaires, vectorielles et matricielles.

Q6 : Trop souvent pour cette question, les candidats se sont lancés dans des démonstrations à rallonge pour arriver à la conclusion (triviale ?) qu’une onde obéissant à l’équation de D’Alembert devait avoir $v_\phi=v_g=c$ . Les candidats arrivés rapidement à cette conclusion sont peu nombreux.

Q7 : Lorsque le sujet demande «À quelle grandeur physique $\mathbf Q$ est-il homogène », la mention de grandeur physique est essentielle. À ce titre, répondre $[Q]=ML^2$ est non-pertinent, quand le terme de moment d’inertie était attendu.

Q8 : Cette question, certes calculatoire, a été très peu traitée correctement. Le jury s’étonne que des élèves de CPGE ne soient pas capables de mener correctement un développement limité à l’ordre 2. Dans trop de cas, les candidats se sont arrêtés un ordre trop tôt, ou n’ont pas suffisamment développé leur réponse.

Q11 : Certains candidats ont pensé berner le jury en calculant a posteriori la bonne dimension de $\epsilon_0$ qui leur permettrait d’obtenir une puissance. Malheureusement pour eux, le jury n’est pas dupe, et les points n’ont pas été accordés. De manière générale, les candidats gagneraient à être plus honnêtes dans leurs copies, et devraient prendre conscience que le jury, plus expérimenté, détecte presque toujours les tentatives malhonnêtes. Celles-ci ne le mettent par ailleurs pas dans de bonnes dispositions pour le reste de la correction.

Q13 : Le jury souhaite rappeler que l’hypothèse de système isolé conduit directement au fait que le barycentre du système est en translation rectiligne uniforme (ou immobile, naturellement). Énoncer que cette hypothèse veut dire que chacune des masses possède une accélération nulle est une erreur de mécanique élémentaire. Par ailleurs, la masse totale est conservée car chaque masse est constante comme l’annonce le sujet, pas parce que le système est isolé.

Q16 : Si le jury est souvent bienveillant sur la question des facteurs numériques (quand ceux-ci sont proches de l’unité), il a été particulièrement vigilant à ceux-ci dans cette question. La distance entre les deux masses était de $2r$ , il fallait bien entendu le prendre en compte. Tout résultat non-homogène (bien trop fréquent) a été sanctionné.

Q17 : Savoir que l’énergie potentielle de gravitation est négative (lorsque son origine est prise nulle à l’infini, ce qui était précisé par le sujet) paraît faire partie des connaissances de base en mécanique du point. Malheureusement, une partie significative des candidats semblait l’ignorer.

Q22 : L’étude du rayonnement dipolaire ayant disparu des programmes, démontrer que la taille typique de la distribution est faible devant la longueur d’onde n’est pas véritablement du cours. Cependant, montrer que le rapport de ces deux quantités se ramène à celui de la vitesse typique de la distribution sur la vitesse de la lumière demandait une ligne de calcul. Toute démonstration passant ce point et ne parvenant à démontrer ce qui était demandé qu’au prix d’une application numérique (souvent fausse, dimensionnellement et numériquement) a été ignorée.

Q23 : Lorsqu’une quantité, ici $h$ , est proportionnelle à $r^2\Omega^2$ , et si $r$ dépend de $\Omega$ , il est rigoureusement faux de prétendre que h croit avec $\Omega$ . Peu de candidats se sont inquiétés du comportement de $r(\Omega)$ avant de répondre à cette question. En utilisant la question 16, on savait que $r\propto\Omega^{-2/3}$ , et par conséquent $h\propto\Omega^{2/3}\propto\nu^{2/3}$ .

Q24 : La valeur typique de $h$ $(\approx10^{-21})$ étant donnée quelques lignes plus loin (début de la partie 2), il convenait de s’interroger sur des résultats fantaisistes. Le jury a ainsi pu se voir proposer une grande quantité d’exposants, allant de -90 à +60. Un tel manque de clairvoyance est préjudiciable.

Q26 : Environ un quart des candidats seulement parvient à trouver l’équation du pendule simple forcé. Que ce pourcentage soit si faible est inquiétant pour des élèves de Mathématiques Spéciales composant pour le concours des Écoles Normales Supérieures.

Q27 : Les candidats ayant abordé cette question ont trop souvent pensé qu’il suffisait de se placer dans le référentiel du point d’attache, non-galiléen, et de considérer que la force supplémentaire était la pseudo-force d’inertie d’entraînement. Ce faisant, il fallait cependant transformer $x$ en $x-x_f$ (repère relatif), et le terme d’accélération venait annuler cette pseudo-force, le nouveau terme venant de la projection du poids qui se traduisait finalement par une force supplémentaire $Mgx_f/l$ . Un autre choix consistait à rester dans le référentiel du laboratoire, galiléen, où l’accélération s’écrivait toujours $\ddot x$ , mais l’angle était devenu $\frac{x-x_f}{l}$ , et donnait le même résultat.

Q29 : Trop peu de candidats ont reconnu ici la condition dictant que l’onde étudiée était en fait monochromatique.

Q31 : Les bilans fantaisistes d’énergie électromagnétique ont systématiquement été dépréciés. Les candidats ont souvent essayé dans cette question de plaquer un raisonnement de cours (où 3 ondes sont présentes) sur le cas d’étude (où 4 ondes sont présentes).

Q32 : Les justifications pour cette question sont souvent fantaisistes. Le facteur -1 n’est certainement pas dû au fait que « l’onde se propage vers les x décroissants ». Le facteur de phase est souvent très mal justifié, de même que le signe de son argument. Une rigueur minimale et l’application des notions de bases sur les ondes progressives auraient pourtant dû permettre aux candidats de donner une démonstration propre de cette formule.

Q46 : Le verbe « Vérifier » devait inciter les candidats à présenter une démonstration mathématique de la valeur de la moyenne et de l’écart-type d’une distribution Poissonienne. Une partie des candidats se sont fendu d’un simple « On sait que ... » et n’ont par conséquent pas reçu de points sur cette question.

Q47 : Cette question est l’occasion de rappeler que toute notation supplémentaire doit être définie par le candidat dans sa copie. Ainsi, la réponse $\Phi_R=R\Phi_0$ n’a été acceptée que lorsque le candidat expliquait que $R=1-T$ .

Q55 : On peut regretter que sur cette question classique de cinétique des gaz, les candidats qui l’ont abordée aient parfois oublié le facteur 2 dans l’expression du transfert de quantité de mouvement.

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Механика · Вълни и звук · Гравитация · Разпространение на вълни

Предпоставки: Начална университетска подготовка

Оригинал в Архива: PC_2018_ulm.pdf · допълнителни данни: PC_2018_ulm_rapport.pdf