X-ENS 2019, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 1. I. Préambule : quelques éléments de physique du rayonnement

ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2019 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — COMPOSITION DE PHYSIQUE C (U) · 24 април 2019 г.

Détection et caractérisation des exoplanètes

Le sujet comprend 18 pages numérotées de 1 à 18

Il y a trente ans, en 1989, était annoncée la première détection d’une exoplanète, c’est-à-dire une planète en orbite autour d’une étoile autre que le Soleil, en l’occurrence l’étoile $\gamma$CepA, sous-géante orange et membre principal d’un système binaire situé à quelques 45 années-lumière de la Terre, dans la constellation de Céphée. Si l’existence de cette exoplanète ne fut confirmée définitivement qu’en 2002, on considère généralement que cette découverte fut la première du genre. À ce titre, cette planète fut choisie en 2014 pour recevoir un nom au terme du concours NameExoWorlds$^{1}$ organisé par l’Union Astronomique Internationale. En décembre 2015, elle fut baptisée Tadmor, autre nom de la cité de Palmyre (Syrie).

Cette découverte ouvrit la voie à une moisson toujours plus importante d’objets exoplanétaires, jalonnée par plusieurs détections notables :

– 1992 : première détection confirmée d’exoplanètes, autour du pulsar B1257+12 (Wolszczan et al.)
– 1995 : première planète confirmée autour d’une étoile de la séquence principale, c’est-à-dire semblable au Soleil, 51Peg b, ultérieurement nommée Dimidium (Mayor & Queloz)
– 1999 : détection d’un système composé de plusieurs planètes, en l’occurrence quatre, autour d’une étoile de la séquence principale, $\upsilon$And.
– 1999 : détection d’une exoplanète par la méthode des transits en sus de la méthode des vitesses radiales, HD209458 b, surnommée Osiris. Cet objet a également fourni la première détection d’une atmosphère exoplanétaire, en 2001.
– 2004 : observation d’une exoplanète par imagerie directe infrarouge, 2M1207 b, en orbite autour d’une naine brune (Chauvin et al.).
– 2006 : détection d’une exoplanète par effet de microlentille gravitationnelle, OGLE-2005-BLG-390L b.
– 2007 : découverte d’exoplanètes dans la zone d’habitabilité, c’est-à-dire potentiellement susceptibles de receler de l’eau sous forme liquide, dans le système Gliese581 (von Bloh et al.).
– 2008 : détection d’une signature de molécule organique, en l’occurrence du méthane, dans une atmosphère exoplanétaire, celle de HD189733 b.
– 2008 : mesure du mouvement orbital de plusieurs planètes du système HR8799 par imagerie directe.
– 2014 : détection de 715 exoplanètes, autour de 305 étoiles, par la mission spatiale Kepler.
– 2016 : découverte d’une exoplanète de masse comparable à la Terre, dans la zone d’habitabilité de Proxima Centauri, plus proche voisine du Soleil.
– 2017 : détection d’un système, TRAPPIST-1, composé de sept planètes de masses comparables à la Terre et situées dans la zone d’habitabilité de leur étoile.

Au 1$^{\text{er}}$ janvier 2019, on compte 2946 systèmes exoplanétaires confirmés, dont 650 multiples, pour un total de 3947 exoplanètes.

$^{1}$ http://nameexoworlds.iau.org

Nous allons nous intéresser dans ce problème à quelques uns des aspects de la physique mise en jeu pour la détection et la caractérisation des exoplanètes. L’information permettant de mettre en évidence ces exoplanètes étant de nature électromagnétique, la première partie introduit les grandeurs physiques utiles dans le traitement des questions de rayonnement. La deuxième partie traite de la méthode des vitesses radiales, qui a permis les premières découvertes. La troisième partie traite de la méthode des transits, mise à l’honneur par la mission spatiale Kepler. Si la problématique est commune aux différentes parties du problème, celles-ci sont néanmoins très largement indépendantes. On précise que dans tout le problème, les notations en gras représentent des vecteurs. En particulier, la notation $\mathbf{rot}\,\boldsymbol{a}$ désigne le vecteur rotationnel du vecteur $\boldsymbol{a}$, la notation $\mathrm{div}\,\boldsymbol{a}$ en désignant la divergence. La notation $\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}$ désigne le produit vectoriel des deux vecteurs $\boldsymbol{a}$ et $\boldsymbol{b}$, et la notation $\boldsymbol{a}.\boldsymbol{b}$ leur produit scalaire. La calculatrice n’étant pas autorisée, on fera les applications numériques à la main, en utilisant les valeurs indiquées dans le formulaire ci-après. Pour certaines de ces applications, on pourra donner une estimation grossière. Les candidats sont invités à ne pas négliger ces questions.

Formulaire

Vitesse de la lumière dans le vide	$c$	$=$	$3{,}0 \times 10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$
Constante de Planck	$h$	$=$	$6{,}6 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$
Constante de Boltzmann	$k$	$=$	$1{,}4 \times 10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$
Constante de la gravitation	$G$	$=$	$6{,}7 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}$
Charge élémentaire	$e$	$=$	$1{,}6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$
Nombre d’Avogadro	$\mathcal{N}_A$	$=$	$6{,}0 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$
Masse de l’électron	$m_e$	$=$	$9{,}1 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$
Masse du proton	$m_p$	$=$	$1{,}7 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$
Permittivité du vide	$\epsilon_0$	$=$	$8{,}8 \times 10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}$
Perméabilité du vide	$\mu_0$	$=$	$1{,}3 \times 10^{-6}\ \mathrm{H\,m^{-1}}$
Masse du Soleil	$M_{\odot}$	$=$	$2{,}0 \times 10^{30}\ \mathrm{kg}$
Rayon du Soleil	$R_{\odot}$	$=$	$7{,}0 \times 10^{8}\ \mathrm{m}$
Température de surface du Soleil	$T_{\odot}$	$=$	$5800\ \mathrm{K}$
Rayon de la Terre	$R_T$	$=$	$6{,}4 \times 10^{6}\ \mathrm{m}$
Masse de la Terre	$M_T$	$=$	$6{,}0 \times 10^{24}\ \mathrm{kg}$
Distance moyenne Soleil-Terre	$D_T$	$=$	$1{,}5 \times 10^{11}\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{UA}$ [unité astronomique]
Rayon de Jupiter	$R_J$	$=$	$7{,}0 \times 10^{7}\ \mathrm{m}$
Masse de Jupiter	$M_J$	$=$	$1{,}9 \times 10^{27}\ \mathrm{kg}$
Distance moyenne Soleil-Jupiter	$D_J$	$=$	$7{,}8 \times 10^{11}\ \mathrm{m}$

$$\mathrm{div}\,(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}) = \boldsymbol{b}.\mathbf{rot}\,\boldsymbol{a} - \boldsymbol{a}.\mathbf{rot}\,\boldsymbol{b} \qquad\qquad \int_0^{+\infty} \frac{x^3}{e^x - 1}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}$$

Условие

Au cours de ce problème, on considère des grandeurs physiques liées à l’observation du rayonnement des étoiles et des planètes. Ce préambule permet de poser les notations et les relations fondamentales de ce domaine, en partant des lois de l’électromagnétisme dans le vide. On rappelle que celles-ci sont fondées classiquement sur l’ensemble des quatre équations de Maxwell :

Les objets qu’on sera amené à considérer étant très lointains, on pourra supposer que les ondes électromagnétiques qui nous en parviennent sont planes et progressives. On considère dans cette partie une telle onde se propageant dans une direction repérée par un vecteur unitaire $\boldsymbol{n}$, et on rappelle que le champ électrique et le champ magnétique de cette onde sont reliés par

où $c$ est la célérité de la lumière dans le vide. Dans les questions Q1 à Q4, l’onde plane progressive est de plus supposée monochromatique.

Q1. Représenter schématiquement les vecteurs $\boldsymbol{n}$, $\boldsymbol{E}$ et $\boldsymbol{B}$ en un point de l’espace et à un instant donné.

Q2. Montrer, à partir des équations de Maxwell dans le vide, qu’on peut établir une équation de conservation de l’énergie du champ électromagnétique sous la forme

Dans cette équation, appelée identité de Poynting, $u$ est la densité volumique d’énergie électromagnétique et $\boldsymbol{\Pi}$ est le vecteur de Poynting. On a noté $E = ||\boldsymbol{E}||$ le module du vecteur champ électrique et $B = ||\boldsymbol{B}||$ celui du vecteur champ magnétique.

Q3. Montrer que le vecteur de Poynting s’écrit $\boldsymbol{\Pi} = \Pi\boldsymbol{n}$ et expliciter son module $\Pi$.

La formule de Green-Ostrogradsky permet d’écrire l’identité de Poynting sous une forme intégrale, en considérant un volume $\mathcal{V}$ fixe, dont on note la surface frontière fermée $\Sigma$. En posant $\mathrm{d}\boldsymbol{S} = \mathrm{d}S\boldsymbol{e}$ avec $\boldsymbol{e}$ le vecteur normal à la surface dirigé vers l’extérieur de $\mathcal{V}$, et $\mathrm{d}\tau$ l’élément de volume, on montre alors que

Cette expression permet d’interpréter le flux du vecteur de Poynting apparaissant dans le membre de droite comme la puissance électromagnétique traversant la surface $\Sigma$.

Q4. On considère une petite surface $\mathrm{d}S$ perpendiculaire à la direction de propagation $\boldsymbol{n}$. À l’aide d’un schéma, justifier que l’énergie électromagnétique traversant cette surface pendant un petit temps $\mathrm{d}t$ s’écrit $\mathrm{d}\mathcal{E} = cu\,\mathrm{d}S\mathrm{d}t$. Justifier à l’aide d’un second schéma que si la petite surface $\mathrm{d}S$ est inclinée d’un angle $\theta$ par rapport à la direction de propagation, cette expression devient $\mathrm{d}\mathcal{E} = cu\,\mathrm{d}S\cos\theta\,\mathrm{d}t$.

On considère maintenant un rayonnement constitué d’un ensemble d’ondes planes progressives, avec une répartition spectrale continue en fonction de la longueur d’onde $\lambda$, se propageant toutes dans la même direction. On considère que ces différentes ondes n’interfèrent pas entre elles et on peut donc traiter le rayonnement de longueur d’onde $\lambda$ à $\mathrm{d}\lambda$ près comme une onde plane progressive monochromatique.

Q5. Dans une approche corpusculaire du rayonnement, l’énergie électromagnétique est donc portée par des photons de différentes longueurs d’onde $\lambda$, et l’on rappelle que l’énergie $\varepsilon$ d’un photon est liée à sa longueur d’onde par $\varepsilon = hc/\lambda$. On note $n_\lambda\mathrm{d}\lambda$ le nombre de photons par unité de volume dont la longueur d’onde est comprise entre $\lambda$ et $\lambda+\mathrm{d}\lambda$, et $u_\lambda\mathrm{d}\lambda$ la densité volumique d’énergie du champ électromagnétique dans cet intervalle de longueur d’onde. Exprimer $u_\lambda$, puis $u$, en fonction de $n_\lambda$.

Q6. En déduire que si l’on ne s’intéresse qu’à l’énergie électromagnétique $\mathrm{d}\mathcal{E}_\lambda$ traversant la surface $\mathrm{d}S$ pendant $\mathrm{d}t$ et portée par des photons de longueur d’onde comprise entre $\lambda$ et $\lambda + \mathrm{d}\lambda$, on peut l’écrire

Jusqu’à présent, nous avons considéré que la direction $\boldsymbol{n}$ de propagation des photons était parfaitement déterminée. En réalité, il convient de tenir compte du fait que cette direction de propagation n’est pas à valeurs discrètes, mais peut varier continûment. Il faut donc exhiber un “élément d’intégration” sur les directions, semblable à ce que peut être $\mathrm{d}t$ pour le temps ou $\mathrm{d}\lambda$ pour la longueur d’onde. Comme on repère la direction de propagation par le couple d’angles$^{2}$ $(\theta, \phi)$ indiqué sur la Fig. 1, avec $\theta \in [0, \pi]$ et $\phi \in [0, 2\pi]$, cet élément d’intégration sur les directions doit faire intervenir les variations infinitésimales $\mathrm{d}\theta$ et $\mathrm{d}\phi$. On admettra qu’il s’agit de l’angle solide élémentaire $\mathrm{d}\Omega = \sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$.

On sera amené dans la suite à considérer des éléments $\mathrm{d}S$ à la surface d’astres (planètes et étoiles). La Fig. 1 indique comment orienter la normale $\boldsymbol{e}$ à $\mathrm{d}S$, à savoir de l’intérieur de l’astre vers son extérieur.

Q7. Montrer que l’angle solide correspondant à l’ensemble des directions de l’espace est $\Omega_0 = 4\pi$.

On introduit la quantité $N_\lambda(\theta, \phi)$ de telle sorte que le nombre de photons par unité de volume dont la longueur d’onde est comprise entre $\lambda$ et $\lambda + \mathrm{d}\lambda$ et dont la direction de propagation est $\boldsymbol{n}$ à $\mathrm{d}\Omega$ près soit $N_\lambda(\theta, \phi)\mathrm{d}\lambda\,\mathrm{d}\Omega$. L’énergie $\mathrm{d}\mathcal{E}_\lambda$ portée par ces photons et traversant la surface $\mathrm{d}S$ pendant $\mathrm{d}t$ s’écrit alors

ce qui définit la quantité $I_\lambda$, appelée intensité spécifique ou encore brillance. La propriété fondamentale de l’intensité spécifique est qu’elle se conserve lors de la propagation de la lumière dans le vide. Ainsi, si l’on suit le parcours d’un rayon lumineux de la surface d’une source jusqu’au détecteur utilisé par un astronome, elle est identique au niveau de la source et au niveau du détecteur.

Q8. Exprimer $I_\lambda$ en fonction de $N_\lambda$.

$^{2}$ Ces deux angles sont associés au système de coordonnées sphériques. On fait remarquer que $\theta$ est le même angle que celui qui nous a servi à la question Q4 .

Q9. La densité spectrale de flux, notée $F_\lambda$, est la puissance électromagnétique, par intervalle de longueur d’onde et par unité de surface, intégrée sur toutes les directions, à savoir

Exprimer $F_\lambda$ comme une intégrale sur $\theta$ et $\phi$ faisant intervenir l’intensité spécifique $I_\lambda(\theta, \phi)$.

Le rayonnement émis par les corps que nous considérerons dans ce problème peut être modélisé par celui dit d’un corps noir à la température $T$, cette température étant celle de la surface de l’étoile ou de la planète. Avec les notations de la Fig. 1, on supposera que l’intensité spécifique entrante dans l’astre est nulle, soit $I_\lambda(\theta, \phi) = 0$ pour $\theta \in [\pi/2, \pi]$, et que l’intensité spécifique sortante de l’astre ($\theta \in [0, \pi/2]$) est indépendante de $\theta$ et $\phi$ et prend la forme

qu’on appelle fonction de Planck.

Q10. Montrer que la densité spectrale de flux sortant d’un élément de surface du corps est $F_\lambda^{+} = \pi B_\lambda(T)$, puis que le flux sortant total, c’est-à-dire la densité spectrale de flux sortant intégrée sur toutes les longueurs d’onde, est donné par la loi de Stefan-Boltzmann, $F = \sigma T^4$, où $\sigma = 5{,}7 \times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ est la constante de Stefan, qu’on exprimera en fonction de constantes physiques fondamentales.

Q11. La luminosité bolométrique $\mathcal{L}$ d’un astre est la puissance lumineuse totale qu’il émet. Pour un corps noir sphérique, exprimer cette luminosité $\mathcal{L}$ en fonction du rayon $R$ et de la température $T$ du corps. Exprimer également la luminosité spectrale $\mathcal{L}_\lambda$, qui est la puissance émise par intervalle de longueur d’onde, de sorte que

Q12. On sera amené, dans la partie III, à considérer la puissance $\mathcal{W}$ reçue par un détecteur de surface $S$, situé à une distance $D$ du corps noir et placé perpendiculairement à la ligne de visée, laquelle est la droite joignant le centre du système observé à l’observateur (Fig. 2). Calculer $\mathcal{W}$, en raisonnant sur la puissance lumineuse par unité de surface à la distance $D$. Que vaut la puissance spectrale $\mathcal{W}_\lambda$ reçue par intervalle de longueur d’onde au niveau du détecteur ?

Решение

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Оригинал в Архива: PC_2019_ulm.pdf