X-ENS 2019, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 2. II. Détection par la méthode des vitesses radiales

II.1 - Réduction du problème de Kepler à deux corps

On considère le problème suivant, dit de Kepler : un système constitué d’une étoile $E$, de masse $M$, et d’une planète $P$, de masse $m$, toutes deux assimilées à des objets ponctuels, en interaction gravitationnelle. On fait l’hypothèse que ce système est isolé, et on se place dans un référentiel $(\mathcal{R})$, supposé Galiléen, attaché à un observateur terrestre $O$. On note $\boldsymbol{R_E} = \boldsymbol{OE}$ le rayon vecteur liant cet observateur à l’étoile, $\boldsymbol{R_P} = \boldsymbol{OP}$ celui le liant à la planète, et $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{R_P} - \boldsymbol{R_E}$ le rayon vecteur liant l’étoile à la planète.

Q13. Écrire les équations du mouvement de chacun des deux corps dans $(\mathcal{R})$.

Q14. On note $C$ le centre de masse du système. Déterminer son rayon vecteur $\boldsymbol{R_C} = \boldsymbol{OC}$ en fonction des paramètres du problème.

Q15. Montrer que le mouvement du centre de masse est rectiligne uniforme. Dans toute la suite du problème, on supposera, sans perte de généralité, que $C$ est fixe par rapport à $O$, soit $\boldsymbol{R_C} = \mathbf{C^{te}}$. Le référentiel barycentrique $(\mathcal{R}_C)$ est alors confondu avec $(\mathcal{R})$.

Q16. Exprimer les vecteurs $\boldsymbol{R_E}$ et $\boldsymbol{R_P}$ en fonction de $\boldsymbol{R_C}$, $\boldsymbol{r}$, et des masses $m$ et $M$, puis les vecteurs position $\boldsymbol{r_E}$ et $\boldsymbol{r_P}$ des deux astres par rapport au centre de masse $C$.

Q17. Montrer que le mouvement relatif de $P$ par rapport à $E$ obéit à l’équation

où $\mu = mM/(M+m)$ est la masse réduite, et où l’on explicitera l’expression de la force $\boldsymbol{F}$. On pourra poser $M_{\mathrm{t}} = M + m$ pour désigner la masse totale du système. Une fois qu’on aura résolu le mouvement relatif décrit par l’équation (10), ce qu’on fera dans la partie II.2, comment s’en déduiront les trajectoires de $E$ et $P$ dans le référentiel $(\mathcal{R})$ ? Pourquoi dit-on que l’on a ainsi réduit le problème de Kepler ?

II.2 - Résolution du mouvement relatif

On considère donc le mouvement $\boldsymbol{r}(t)$, décrit par l’équation (10), d’une particule ponctuelle fictive $X$ de masse $\mu$, soumise à la force centrale $\boldsymbol{F} = F(r)\boldsymbol{e}_r$, dans le référentiel $(\mathcal{R})$. Le vecteur $\boldsymbol{e}_r$ est le vecteur unitaire radial dirigé vers l’extérieur du centre de force, et $r = ||\boldsymbol{r}||$. On note $\boldsymbol{v}$ le vecteur vitesse de $X$.

Q18. Montrer que la force $\boldsymbol{F}$ dérive d’une énergie potentielle

Q19. Montrer que le moment cinétique $\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r}\wedge\mu\boldsymbol{v}$ de $X$ par rapport au centre de force $C$ se conserve. Quelle conséquence peut-on en tirer quant à la trajectoire de $X$ ?

Q20. On prend comme coordonnées un système cylindrique $(r, \theta, z)$ dans lequel l’axe $Cz$ est celui portant le moment cinétique, $\boldsymbol{L} = L\boldsymbol{e}_z$. Exprimer $L$ en fonction de ces coordonnées.

Q21. Montrer que l’énergie mécanique $\mathcal{E}$ de $X$, qui se conserve, peut se mettre sous la forme

où $\mathcal{E}_{p,\mathrm{eff}}(r)$ est une énergie potentielle effective qu’on exprimera en fonction de $\mathcal{E}_p(r)$, $L$, $\mu$, et $r$.

Q22. Représenter graphiquement l’énergie potentielle effective $\mathcal{E}_{p,\mathrm{eff}}(r)$. Discuter la nature des trajectoires en fonction de la valeur de $\mathcal{E}$. En particulier, quelle est la condition sur $\mathcal{E}$ pour que la trajectoire de la particule $X$ soit bornée ? On se place dans ce cas de figure pour le reste du problème.

Q23. En posant $u = 1/r$, montrer que les distances minimale $r_{\min}$ (périastre) et maximale $r_{\max}$ (apoastre) entre le centre de force $C$ et la particule fictive $X$ peuvent se mettre sous la forme

On exprimera les paramètres $p$ et $e$ en fonction de $G$, $\mu$, $M_{\mathrm{t}}$, $L$ et $\mathcal{E}$. Quelles sont les bornes des valeurs possibles de $e$ ?

Q24. Montrer, à partir de l’équation énergétique (12), que si l’on considère la trajectoire de $X$ par le biais de $u(\theta)$ plutôt que par celui du couple $\{r(t), \theta(t)\}$, on aboutit à une équation de la forme

On précisera les constantes $A_0$, $A_1$ et $A_2$ en fonction de $L$, $\mu$, $M_{\mathrm{t}}$ et $G$. En déduire que $u$ obéit à une équation d’oscillateur harmonique. En posant comme condition “initiale” que $X$ passe au périastre lorsque $\theta = 0$, en déduire que la trajectoire a pour équation

qui est celle d’une ellipse. Les coefficients $p$ et $e$ sont respectivement le paramètre et l’excentricité de cette ellipse.

Q25. On se place désormais dans le cas d’un mouvement circulaire. Que vaut l’excentricité dans ce cas ? Calculer le rayon $r_0$ de cette trajectoire, en fonction de $G$, $\mu$, $M_{\mathrm{t}}$ et $L$. Que peut-on dire du module de la vitesse de la particule fictive $X$ ? Calculer sa valeur $v_0$, en fonction des mêmes paramètres que $r_0$. Montrer que l’angle $\theta$ évolue avec le temps selon $\theta(t) = \theta_0 + \omega_0 t$, en explicitant la pulsation $\omega_0$.

Q26. À partir du système de coordonnées cylindriques $(r, \theta, z)$ de la question Q20, on peut aussi définir un système de coordonnées cartésiennes $(x, y, z)$, tel que $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$. Exprimer le mouvement $\{x(t), y(t)\}$ de la particule fictive en prenant comme origine des temps un instant où $y(0) = 0$ et $x(0) > 0$, afin de fixer $\theta_0$. Montrer que $\omega_0^2 r_0^3 = GM_{\mathrm{t}}$. Comment s’appelle cette relation ?

II.3 - Cinématique de l’étoile en présence d’une planète

Q27. Maintenant que nous avons déterminé le mouvement de la particule fictive $X$, on revient à la situation considérée initialement, pour laquelle une étoile $E$ de masse $M$ et une planète $P$ de masse $m$ sont en interaction gravitationnelle. On rappelle qu’on se place dans le cas d’un mouvement circulaire. En utilisant les résultats de Q16 et Q26, exprimer les lois du mouvement $x_P(t)$, $y_P(t)$, $x_E(t)$ et $y_E(t)$ des deux astres par rapport au centre de masse $C$ supposé fixe. On posera $\beta = m/M < 1$.

Q28. Reproduire le schéma de gauche de la Fig. 3 et y tracer les trajectoires de la particule fictive $X$ et des deux astres $E$ et $P$, dans le cas $r_0 = 1\ \mathrm{UA}$ et $\beta = 1/3$. On représentera également les positions de $X$, $E$ et $P$ à un instant donné.

Q29. Le plan $Cxy$ des trajectoires de $E$ et $P$ forme un angle $i$, compris entre $-\pi/2$ et $\pi/2$, avec le plan du ciel (c’est-à-dire le plan perpendiculaire à la ligne de visée $OC$), comme indiqué sur le schéma de droite de la Fig. 3. Calculer la composante $v_{\parallel} = \boldsymbol{v}_E.\boldsymbol{n}$ de la vitesse de l’étoile le long de la ligne de visée. Cette composante est appelée vitesse radiale.

Q30. Tracer l’allure de la vitesse radiale $v_{\parallel}(t)$ en fonction du temps. C’est ce signal que l’on détecte par spectroscopie Doppler, comme on le verra dans la suite. Montrer que la mesure de l’amplitude $K$ et de la période $\mathcal{T}$ de la variation de cette vitesse radiale en fonction du temps permet de contraindre la masse $m$ de la planète en orbite autour de l’étoile, si l’on connaît la masse $M$ de cette dernière et l’angle $i$ de l’orbite planétaire. On fera apparaître la fonction de masse du système, définie par

Q31. Simplifier le résultat obtenu dans le cas où la masse de la planète est très petite devant celle de l’étoile. Donner alors une estimation de la masse minimale $m_{>}$ de la planète. Pour quelle inclinaison de l’orbite est-il plus facile de détecter la présence d’une planète en orbite autour de l’étoile ? Vaut-il mieux que l’étoile soit de faible masse ou de grande masse ?

Q32. La Fig. 4, tirée de Anglada-Escudé et al. (2016) représente les mesures de la vitesse radiale de l’étoile Proxima Centauri effectuées à l’aide de deux instruments, HARPS et UVES, de l’Observatoire Européen Austral (ESO), au Chili. Estimer la période $\mathcal{T}$ et l’amplitude $K$ du signal, et en déduire une estimation (grossière) de la masse minimale de la planète Proxima Centauri b. La masse de l’étoile Proxima Centauri est de $2{,}4 \times 10^{29}\ \mathrm{kg}$, soit 0,12 masse solaire.

II.4 - Principe de la spectroscopie Doppler

Le principe de la mesure des vitesses radiales des étoiles, et de leurs variations au cours du temps qui signalent la présence d’une planète, repose sur l’effet Doppler-Fizeau. Celui-ci stipule que la longueur d’onde $\lambda_o$ d’un signal en provenance d’une source $E$, telle que mesurée par un observateur $O$, diffère de la longueur d’onde $\lambda$ du signal dans le référentiel de la source si celle-ci est en mouvement par rapport à $O$. En notant $v_{\parallel}$ la projection de la vitesse de la source sur la ligne de visée, on a

où $c$ est la célérité de l’onde (électromagnétique dans notre cas). La convention utilisée est que $v_{\parallel} > 0$ si la source s’éloigne de l’observateur. On précise que la mesure des vitesses radiales $v_{\parallel}$ se fait en mesurant le décalage au cours du temps de raies spectrales en absorption dans le spectre de l’étoile.

Q33. Montrer que si la vitesse est faible ($v_{\parallel} \ll c$), alors le décalage en longueur d’onde $\delta\lambda = \lambda_o - \lambda$ vérifie

On se placera dans cette approximation classique, c’est-à-dire non-relativiste, pour le reste du problème.

Q34. Citer un exemple de cet effet dans un autre domaine de la physique que l’électromagnétisme.

Les spectromètres sont de manière générale des instruments permettant de disperser, c’est-à-dire de séparer spatialement des vibrations lumineuses de différentes longueurs d’onde présentes dans un faisceau. Leur caractéristique fondamentale est le pouvoir de résolution

où $\Delta\lambda$ est le plus petit écart entre longueurs d’onde qui puisse être distingué au voisinage de $\lambda$.

Q35. Étant donné un spectromètre dont le pouvoir de résolution est $\mathcal{R}$, quelle doit être l’amplitude $K$ de la vitesse radiale de l’étoile pour détecter la présence d’une exoplanète ? Montrer que le pouvoir de résolution du spectromètre utilisé pour détecter la planète Proxima Centauri b (Fig. 4) doit satisfaire

L’instrument en question, HARPS (High Accuracy Radial velocity Planet Searcher), est un spectromètre à réseau de type échelle installé au foyer du télescope de 3,6 m de diamètre de l’ESO, à l’Observatoire de La Silla, au Chili. On discute dans la suite de cette partie du principe de cet instrument.

II.5 - Étude d’un réseau en réflexion

L’élément de base de l’instrument est un réseau de diffraction fonctionnant en réflexion, constitué de $N$ éléments répartis uniformément sur une longueur $L$, comme indiqué sur la Fig. 5. On peut se les représenter comme des bandes réfléchissantes de largeur $\epsilon$, et on note $a$ le pas du réseau, avec $a > \epsilon$. Il est éclairé sous une incidence $\theta_i$ par une onde lumineuse plane, et on considère les rayons réfléchis avec un angle $\theta_r$. On commence par supposer que chaque élément du réseau est infiniment étroit ($\epsilon \to 0$), et que l’onde plane incidente est monochromatique, de pulsation $\omega$. Le champ électrique qui la caractérise peut alors être représenté en notation complexe par

On notera la convention utilisée ici pour la phase de l’onde, à savoir $\boldsymbol{k}_i.\boldsymbol{r} - \omega t$ et non $\omega t - \boldsymbol{k}_i.\boldsymbol{r}$. On notera aussi que cette écriture (21) nous place dans l’approximation scalaire et on ignore donc tout effet lié à la polarisation. Le vecteur d’onde incident est $\boldsymbol{k}_i = k\boldsymbol{n}_i$, avec $k = (2\pi)/\lambda$ le nombre d’onde. Les différents éléments du réseau sont repérés par les vecteurs $\boldsymbol{r}_p = pa\boldsymbol{e}_z$ avec $p$ un entier variant de 0 à $N - 1$.

Q36. Montrer que le champ électrique incident sur l’élément $p$ s’écrit

en exprimant le déphasage $\varphi_i$ en fonction de $a$, $k$ et $\theta_i$.

Q37. Chaque élément $p$ est la source d’une onde plane dans la direction $\boldsymbol{n}_r$, dont le champ électrique est

où le coefficient de réflexion complexe $\rho$ est supposé de module unité, $|\rho| = 1$. Le vecteur d’onde réfléchi est $\boldsymbol{k}_r = k\boldsymbol{n}_r$, ce qui suppose que la réflexion se fait sans changement de la longueur d’onde. Montrer que cette onde peut se mettre sous la forme

en précisant l’expression du déphasage $\varphi_r$ en fonction de $a$, $k$ et $\theta_r$. Pour la suite on posera $\varphi = \varphi_i + \varphi_r$.

Q38. En déduire que l’onde réfléchie totale dans la direction $\theta_r$ est aussi une onde plane progressive monochromatique, dont le champ électrique est représenté par

en explicitant l’amplitude complexe $E_r$ en fonction de $E_i$, $\rho$, $\varphi$ et $N$.

Q39. Montrer que l’interférence des ondes réfléchies par deux éléments adjacents $p$ et $p+1$ est constructive si et seulement si $\theta_i$ et $\theta_r$ vérifient la relation

où $q \in \mathbb{Z}$ est un entier relatif quelconque appelé ordre de diffraction. Cette relation constitue la formule des réseaux en réflexion. Dans ce cas, les interférences entre les $N$ ondes réfléchies sont bien évidemment toutes constructives.

Q40. Montrer que l’intensité lumineuse dans la direction $\theta_r$ peut se mettre sous la forme

où $I_0$ est une constante qu’on ne cherchera pas à calculer.

Q41. La fonction réseau $\mathsf{R}(\kappa)$ est représentée sur la Fig. 6 mais sans l’indication des valeurs des abscisses. Que valent l’écart $\Delta\kappa$ entre deux pics consécutifs (où $\mathsf{R}(\kappa) = 1$) et la largeur caractéristique $\delta\kappa$ de chacun de ces pics (calculée comme étant l’intervalle entre les premières annulations de part et d’autre du pic) ? On exprimera ces grandeurs en fonction de $N$ et $a$.

Q42. On considère une lumière dont le spectre couvre l’intervalle $[\lambda_b, \lambda_r]$, où les deux longueurs d’onde extrêmes correspondent au bleu et au rouge. Par exemple, la couverture spectrale de HARPS va de $\lambda_b = 378\ \mathrm{nm}$ à $\lambda_r = 691\ \mathrm{nm}$. On suppose pour simplifier, dans toute la suite, que ce spectre est plat, c’est-à-dire que l’intensité est indépendante de $\lambda$. La lumière est-elle dispersée dans l’ordre $q = 0$ ?

Q43. On pose $y_q(\lambda) = \sin\theta_r(q, \lambda)$ où $\theta_r(q, \lambda)$ est l’angle de réflexion de la composante de longueur d’onde $\lambda$ dans l’ordre $q$. Représenter graphiquement $y_q(\lambda)$ pour quelques ordres successifs ($q = 0$, $q = 1$, $q = 2$) et en déduire qu’on a un recouvrement des ordres $q$ et $q + 1$ (en expliquant ce que cela signifie) si

On pourra faire un schéma. À partir de quel ordre observe-t-on un recouvrement dans le cas de HARPS ?

Q44. En considérant que deux longueurs d’ondes proches $\lambda$ et $\lambda + \Delta\lambda$ (avec $\Delta\lambda \ll \lambda$) sont distinguables dans l’ordre $q$ dès lors que le pic de diffraction de l’une correspond au premier zéro de l’autre, montrer que le pouvoir de résolution du réseau dans l’ordre $q$ est $\mathcal{R} = qN$. Comment doit-on alors choisir l’ordre $q$ dans lequel travailler ?

Q45. On tient maintenant compte de la largeur finie $\epsilon$ de chacun des éléments. Justifier par analogie que le champ électrique associé à l’onde réfléchie par l’élément $p$ s’écrit maintenant sous la forme

Q46. En déduire que l’intensité lumineuse dans la direction $\theta_r$ est alors donnée par

La fonction $\mathsf{F}$ correspond à la figure de diffraction d’un élément unique. Représenter la nouvelle distribution de l’intensité lumineuse en fonction de $\kappa$, en supposant, pour cet exemple, que $\epsilon = a/5$. Pour quel ordre de diffraction $q$ a-t-on une intensité maximale ? Quelle relation classique de l’optique géométrique retrouve-t-on alors ?

Q47. À quelle difficulté se heurte-t-on pour travailler à fort pouvoir de résolution ?

II.6 - Un réseau échelle “blazé”

Pour remédier à ce problème, les réseaux sont en pratique blazés pour présenter un maximum de luminosité dans un ordre $q \neq 0$. Pour ces réseaux, la forme du motif est celle représentée sur la Fig. 7. On appelle $\gamma$ l’angle de blaze. On ne cherchera pas à calculer la forme de la nouvelle figure de diffraction $\mathsf{F}_\gamma(\kappa)$ associée à ce motif individuel, et on admettra que son maximum correspond à la direction déterminée par la relation de l’optique géométrique retrouvée à la question Q46. On suppose également que l’angle d’incidence est grand, avec $\theta_i \geqslant \gamma$.

Q48. Déterminer l’angle $\theta_{r,\max}$ correspondant au maximum de luminosité de $\mathsf{F}_\gamma$, en fonction de $\theta_i$ et $\gamma$.

Q49. Le réseau échelle de HARPS fonctionne dans la configuration de Littrow, pour laquelle l’incidence est normale sur les facettes courtes du motif du réseau. Que devient alors $\theta_{r,\max}$ ? En déduire l’expression de l’ordre $q_{\max}(\lambda)$ de diffraction dans lequel se concentre le maximum d’émission, en fonction de $a$, $\lambda$ et $\gamma$. Inverser cette relation pour obtenir $\lambda_{\max}(q)$, longueur d’onde de la composante la plus intense dans un ordre $q$ donné.

Q50. HARPS présente un angle de blaze $\gamma = 75^{\circ}$, et contient 31,6 éléments individuels par millimètre. En déduire une estimation (grossière) des ordres $q_r = q_{\max}(\lambda_r)$ et $q_b = q_{\max}(\lambda_b)$ dans lesquels les longueurs d’ondes extrêmes présentent le maximum de luminosité.

Q51. En sortie du réseau, on place une lentille, de focale $f$, comme indiqué sur la Fig. 8, et une barrette CCD qui sert de détecteur dans le plan focal de cette lentille. On précise qu’une barrette CCD est un ensemble de détecteurs ponctuels placés les uns à côté des autres sur une ligne, et repérés par une coordonnée $X$. On place cette barrette de telle sorte que $X = 0$ corresponde à $\theta_r = \theta_{r,\max}$. On pose $\theta_r = \theta_{r,\max} + \delta\theta$ et on suppose que $\delta\theta \ll 1$. Quelle est la relation entre $X$ et $\delta\theta$ ?

Q52. Montrer que pour un ordre de diffraction $q$ donné, la position de la radiation de longueur d’onde $\lambda$ sur le détecteur est donnée par

Représenter graphiquement $X(\lambda, q)$ en fonction de $\lambda$, pour quelques ordres $q$.

À une position $X = X_0$ donnée sur le détecteur, ou - ce qui revient au même - dans une direction $\delta\theta_0$ donnée, on a donc une superposition d’un ensemble discret de composantes de longueurs d’onde $\lambda_q$, solutions de l’équation $X(\lambda_q, q) = X_0$. Pour les séparer, on dispose un second élément disperseur entre le réseau échelle et le détecteur. Ce second élément est typiquement un grism, c’est-à-dire un prisme auquel on accole un réseau de diffraction en transmission. Pour parvenir à séparer les ordres qui se recouvrent, on place ce grism de telle sorte qu’il disperse la lumière perpendiculairement à la direction $X$. C’est ce qu’on appelle une dispersion croisée. On ne la traitera pas ici.