X-ENS 2019, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 3. III. Détection par la méthode des transits

III.1 - Caractéristiques d’un transit sur la courbe de lumière

Q53. Exprimer l’angle apparent maximal $\delta$ entre la planète et l’étoile, vu depuis la Terre, laquelle est située à une distance $D$. Quelle approximation est-il probablement légitime de faire sur les paramètres qui interviennent dans cette expression ? On admettra dans toute la suite que cet angle est suffisamment petit pour que le système planétaire ne soit pas résolu spatialement par le télescope. La seule mesure accessible sur Terre est alors la puissance lumineuse émise par le système entier $\{$étoile+planète$\}$.

Q54. Établir la condition sur l’angle $i$ pour qu’un transit puisse être observé. On se placera d’abord dans un cas général, puis on simplifiera la condition obtenue dans le cas où le rayon de la planète est très petit devant celui de l’étoile, $a \ll R$.

Q55. Si l’on considère un ensemble de tels systèmes planétaires, tous identiques à l’exception de l’angle d’inclinaison de l’orbite $i$, qu’on suppose être aléatoire et distribué uniformément entre $-\pi/2$ et $\pi/2$, quelle est la probabilité d’observer un transit exoplanétaire en observant un de ces systèmes au hasard ?

La Fig. 10 représente la puissance lumineuse spectrale $\mathcal{W}_\lambda$ (voir Q12) reçue en direction de l’étoile HD189733, autour de 1,8748 $\mu$m. Elle est normalisée à celle $\mathcal{W}_{\lambda,0}$ reçue lorsque la planète n’occulte pas l’étoile. Les données, issues du Hubble Space Telescope, sont représentées par les points, et la courbe en trait plein montre un ajustement de ces données. La figure du bas représente les résidus, une fois la courbe d’ajustement soustraite des données. L’axe des abscisses représente la phase orbitale, qui va normalement de $-\pi$ à $\pi$ pour une orbite complète, mais sur cette figure elle a été renormalisée d’une manière qui n’est pas précisée dans l’article d’origine, ce qui la rend inexploitable en l’état.

Q56. Identifier quatre instants particuliers sur cette courbe et représenter sur un schéma montrant le disque stellaire et le disque planétaire les quatre configurations correspondantes, qu’on nomme premier, deuxième, troisième et quatrième contact.

Q57. Montrer que la puissance spectrale $\mathcal{W}_{\lambda,0}$ peut se mettre sous une forme faisant intervenir la surface apparente du disque stellaire $\pi R^2$. On notera $S$ la surface du détecteur utilisé. En déduire de manière géométrique l’expression de la puissance spectrale reçue $\mathcal{W}_\lambda$ lorsque la planète est au milieu de son transit devant l’étoile.

Q58. Montrer que l’on peut déduire le rayon $a$ de l’exoplanète à partir de la mesure de la profondeur du transit, si l’on connaît le rayon $R$ de l’étoile. Quelle serait la chute relative de puissance spectrale mesurée par une civilisation extraterrestre observant le transit de Jupiter devant le Soleil ? Celui de la Terre ? Estimer le rayon de la planète HD189733b, sachant que le rayon de l’étoile est $R = 0{,}8\,R_{\odot}$.

Q59. Pour un angle $i \neq \pm\pi/2$, à quelle condition peut-on supposer que la trajectoire de la planète passant devant son étoile, projetée sur le plan du ciel, est une droite ? On se placera dans ce cas pour la suite.

Q60. Lors du transit de la planète, la distance apparente - c’est-à-dire projetée sur le plan du ciel - entre le centre de l’étoile et le centre de la planète varie au cours du temps. On appelle paramètre d’impact et on note $b$ sa plus petite valeur. On suppose que $b \leqslant R - a$. Montrer que le temps entre le premier et le quatrième contact vaut

et que celui entre le deuxième et le troisième contact vaut quant à lui

où $\mathcal{T}$ est la période orbitale de la planète. On justifiera soigneusement le raisonnement.

Q61. En déduire l’expression du paramètre d’impact $b$ en fonction de $R$, $a$ et de ces deux durées. Simplifier cette expression dans le cas $a \ll R$. Estimer $b/R$ pour le cas de HD189733b.

Q62. Sachant que la période orbitale de HD189733b est $\mathcal{T} = 2{,}2$ jours et que la durée du transit total $\Delta t_{\mathrm{tot}}$ est d’environ $6000\ \mathrm{s}$ (Beaulieu et al., 2009), en tirer une estimation grossière du rayon $r_0$.

Q63. Quelle est la relation entre le paramètre d’impact $b$ et l’angle d’inclinaison $i$ ? En déduire une estimation de $i$ dans le cas de HD189733b. On pourra donner une valeur en radians.

Q64. Comment pourrait-on obtenir une estimation de la masse $M$ de l’étoile HD189733 à l’aide des résultats précédents ? En donner une estimation grossière.

III.2 - Détection de l’antitransit

Jusqu’à présent, nous avons ignoré le fait que la planète est susceptible d’émettre par elle-même, notamment dans le domaine infrarouge. Ceci est lié au fait que la planète est chauffée par le rayonnement reçu de la part de son étoile, et qu’à l’équilibre thermique, la puissance absorbée doit être contrebalancée par une puissance émise. On admet que la planète est ainsi portée à une certaine température $T_p$ uniformément sur toute sa surface, et on fait l’hypothèse que, comme l’étoile, elle se comporte comme un corps noir. Cette modélisation va nous permettre d’interpréter la Fig. 11, qui représente la courbe de lumière observée par la mission spatiale Kepler en direction de l’étoile HAT-P7, sur plus d’une période orbitale. Les données brutes sont représentées par les points noirs fins, les points verts plus épais sont des moyennes lissées permettant de réduire le bruit, et la courbe en trait plein est un ajustement sur ces moyennes. La figure du bas montre la même courbe mais avec une échelle en ordonnées fortement agrandie.

Q65. Comment interpréter la faible chute de la courbe de lumière entre deux transits ? On appelle antitransit cette configuration du système $\{$étoile+planète$\}$. On appellera disjonction les configurations intermédiaires entre le transit et l’antitransit.

Q66. Sachant que $T_p < T_\star$, que peut-on dire de la relation entre les intensités spécifiques issues de l’étoile $B_\lambda(T_\star)$ et de la planète $B_\lambda(T_p)$ ?

Q67. On note $\mathcal{W}_{\lambda,t}$, $\mathcal{W}_{\lambda,a}$, et $\mathcal{W}_{\lambda,d}$ les puissances spectrales lumineuses reçues par l’observateur, dans les trois configurations décrites (transit, antitransit, disjonction). En posant $\alpha = \pi S/D^2$, exprimer ces puissances spectrales en fonction de $\alpha$, $R$, $a$, $B_\lambda(T_\star)$ et $B_\lambda(T_p)$.

Q68. Représenter schématiquement une courbe de lumière complète théorique à partir des expressions trouvées ci-dessus pour $\mathcal{W}_{\lambda,t}$, $\mathcal{W}_{\lambda,a}$, et $\mathcal{W}_{\lambda,d}$.

Q69. Quelle différence constate-t-on entre ce modèle et l’observation de la Fig. 11 ? Quel phénomène a-t-on omis qui pourrait expliquer cette différence ? On justifiera la réponse.

Q70. Dans le cas d’une orbite elliptique, montrer que l’on peut en principe déduire de la courbe de lumière une estimation de l’excentricité $e$ de l’orbite. On pourra se placer dans le cas d’une orbite dont le grand axe est perpendiculaire à la ligne de visée, et on ne cherchera pas à calculer explicitement $e$. L’orbite de HAT-P7b est-elle faiblement ou fortement excentrique ?

Q71. Du fait du bruit inhérent aux mesures, il faut observer un grand nombre d’orbites pour détecter un signal dans la courbe de lumière. Ce signal, $\mathcal{S}$, est bien entendu la chute relative de puissance lumineuse reçue, représentée sur la courbe de la Fig. 11. Le bruit $\mathcal{N}$, quant à lui, correspond à l’amplitude de la dispersion des mesures autour de cette courbe. Si l’on note $N_t$ le nombre d’orbites nécessaires pour atteindre un rapport signal-à-bruit $\mathcal{S}/\mathcal{N}$ donné pour la détection du transit de HAT-P7b, quel serait l’ordre de grandeur du nombre d’orbites $N_a$ nécessaires pour détecter l’antitransit avec le même rapport signal-à-bruit ? Faire l’application numérique.