X-ENS 2020, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 3. Troisième partie — Cosmologie et énergie noire

1 Univers de Friedmann-Lemaître

Utilisant la relativité générale pour décrire la gravitation, il est possible sous certaines hypothèses d’avoir des modèles simples décrivant la structure et la dynamique de l’Univers aux grandes échelles. Les principales hypothèses sont que l’Univers est homogène et isotrope aux échelles étudiées, et qu’il ne possède donc pas de position ou de direction privilégiées. Ce modèle, dit d’espace-temps de Friedmann-Lemaître (voire de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker) décrit l’Univers par un paramètre d’échelle dépendant du temps $a(t)$, ainsi qu’un paramètre de courbure. Le paramètre de courbure décrit la possibilité d’avoir un Univers à géométrie sphérique, hyperbolique, ou plane. Dans la suite, on supposera que l’Univers est plat dans une très bonne approximation (ce qui est vérifié observationnellement), et on ne considérera donc pas de paramètre de courbure. L’évolution temporelle de l’Univers est donc intégralement décrite par son facteur d’échelle $a(t)$ tel que la distance physique $\mathrm{d}\vec{r}(t)$ entre deux objets comobiles, à savoir qui n’ont pas d’autres mouvements l’un par rapport à l’autre que celui lié à l’expansion ou à la contraction de l’Univers, vérifie

avec $t_1$ et $t_2$ deux instants quelconques. On note conventionnellement $t_0$ le temps actuel, et $a_0 = a(t_0)$ le facteur d’échelle associé.

49 La relativité générale est la théorie qui décrit la gravitation au-delà du formalisme newtonien. Préciser à quelle époque et par qui cette théorie a été élaborée, ainsi que les limites de validité de la physique newtonienne.

50 Comment est modifié un volume délimité par des observateurs comobiles lorsque le facteur d’échelle passe d’une valeur $a_1$ à une valeur $a_2$ ?

51 Une étude dynamique donne parfois que $a(t) \to 0$ dans le passé en un temps fini. À quelle événement bien connu cela correspond-t-il ?

Ce point particulier permet de donner une référence aux temps cosmologiques, et donc de définir un âge de l’Univers : fixant par convention $t = 0$ lorsque $a = 0$, le temps actuel $t_0$ est aussi l’âge de l’Univers.

52 On définit le paramètre de Hubble

Les mesures actuelle donnent pour les temps présents $H(t_0) = H_0 = 67{,}74\ \mathrm{km \cdot s^{-1} \cdot Mpc^{-1}}$. On définit aussi le temps de Hubble $t_H = 1/H_0$, qui vaut $4{,}55{\times}10^{17}$ s. Dans un modèle simple d’expansion linéaire $a(t) = \alpha t$, où $\alpha$ est une constante positive, quel est l’âge de l’Univers ? Exprimer cet âge en années.

2 Équations de Friedmann et dynamique de l’Univers

On prend comme hypothèse que l’Univers est rempli d’un seul fluide homogène et isotrope. Ce fluide peut décrire aussi bien un gaz de poussière interstellaire que du rayonnement électromagnétique, mais on se restreindra dans cette partie au cas du gaz interstellaire. Celui-ci est décrit par sa densité d’énergie $u(t)$, ainsi que sa pression $P$. Dans ce cadre, la relativité générale permet d’obtenir la $1^{\text{ère}}$ équation de Friedmann :

53 Vérifier que cette équation est bien homogène.

54 On suppose que l’évolution de l’Univers est adiabatique réversible, et que le seul travail est celui des forces de pression. En raisonnant sur l’évolution temporelle d’un volume d’Univers délimité par des observateurs comobiles, obtenir une équation d’évolution temporelle pour $u$ faisant intervenir les grandeurs $u$, $H$, et $P$.

55 En déduire la $2^{\text{ème}}$ équation de Friedmann :

qui décrit la dynamique de l’Univers. Sous quelle condition l’expansion de l’Univers est-elle accélérée ou ralentie ?

56 On suppose par la suite que le fluide remplissant l’Univers est décrit par une équation d’état $P = wu$, où $w$, qui est une constante décrivant le fluide en question, est nommé paramètre d’état. Montrer alors que l’évolution temporelle de la densité d’énergie vérifie $u \propto a^\gamma$, où on précisera la valeur de l’exposant $\gamma$.

57 On considère le cas où le fluide est un gaz de poussière non collisionnel, et où la seule énergie des particules est leur énergie de masse $E = mc^2$. En utilisant le résultat de la question précédente et en considérant la dilatation d’un volume d’Univers, en déduire la valeur de $w$. Ce résultat est-il compatible avec les hypothèses d’absence de collision dans le gaz de poussière ?

58 Montrer que l’on peut obtenir pour un Univers rempli par un fluide de paramètre d’état $w$ l’équation

avec $a_0$ le facteur d’échelle aux temps actuels.

59 Reformuler cette équation de la façon la plus simple possible en introduisant les grandeurs adimensionnées $x = a/a_0$ et $\tau = H_0 t$.

3 Expansion accélérée de l’Univers et énergie noire

60 On commence par considérer un Univers de matière, décrit par un gaz de poussière non collisionnel, dont le paramètre d’état a été déterminé dans les questions précédentes. Déterminer la loi d’évolution $x_{\mathrm{mat}}(\tau)$ puis $a_{\mathrm{mat}}(t)$ en prenant comme origine des temps $a_{\mathrm{mat}}(0) = 0$. Tracer $a_{\mathrm{mat}}(t)$.

61 La durée de vie de l’Univers est-elle finie ou infinie ? Déterminer et calculer numériquement l’âge de l’Univers dans un tel modèle.

62 Les observations cosmologiques récentes indiquent que l’expansion de l’Univers est actuellement accélérée. Est-ce compatible avec un Univers dominé par de la matière, pour lequel on supposera que $w = 0$ est une très bonne approximation ?

Pour expliquer l’accélération de l’expansion de l’Univers, il a été postulé que ce dernier était dominé par une forme d’énergie dite noire, visible uniquement par son effet sur l’expansion de l’Univers. Cette énergie noire aurait un paramètre d’état $w = -1$.

63 À partir de l’évolution temporelle de la densité d’énergie par unité de volume d’un fluide vérifiant $w = -1$, expliquer pourquoi l’énergie noire est fréquemment qualifiée d’énergie du vide.

64 Déterminer la loi d’évolution de $a_\Lambda(t)$ pour un Univers dominé par l’énergie noire, en prenant comme condition initiale $a_\Lambda(t_0) = a_0$. Tracer $a_\Lambda(t)$. Est-ce compatible avec une expansion accélérée de l’Univers ?

65 Les observations astrophysiques et cosmologiques actuelles accréditent fortement l’hypothèse d’un Big-Bang. Est-ce compatible avec un modèle d’Univers dominé uniquement par de l’énergie noire ?

66 Proposer un modèle d’Univers rassemblant les ingrédients précédents et qui pourrait être naturellement compatible avec un Big-Bang dans le passé et une phase présente d’expansion accélérée.