X-ENS 2021, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика — Задача 1. Structure verticale de l’atmosphère

ECOLE POLYTECHNIQUE — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2021 — FILIERE MP - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE (XULCR) — Thermodynamique de l’atmosphère

Consignes

MERCREDI 14 AVRIL 2021 — 08h00 - 12h00

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Thermodynamique de l’atmosphère

Ce sujet aborde la structure de l’atmosphère sous l’angle de la thermodynamique. Il comporte trois parties. Bien que le contexte général soit établi dans la première partie, les trois parties du sujet peuvent être abordées indépendamment. Certaines définitions et relations de thermodynamique sont rappelées en annexe à la fin du texte, ainsi que les valeurs de certaines grandeurs apparaissant dans les applications numériques. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un seul chiffre significatif, à l’exception des trois premières questions pour lesquelles on donnera deux chiffres significatifs.

Условие

On considère dans cette section des modèles d’atmosphères de complexité croissante, afin d’isoler les processus physiques qui gouvernent le profil de température vertical de l’atmosphère. On considère tout d’abord les processus radiatifs : on admet qu’un système plan infini à température $T$ émet par rayonnement un flux surfacique d’énergie $\phi = sT^4$ (en watts par mètre carré), le flux étant dirigé vers l’extérieur. Dans les situations considérées ci-après, ce flux correspond à du rayonnement infrarouge. Le coefficient $s = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}$ est appelé constante de Stefan. On néglige la courbure de la Terre dans cette première partie, et on considère donc la surface de la Terre comme localement plate.

1) Dans un premier modèle, on considère que la surface terrestre absorbe un flux solaire incident $I = 220\ \mathrm{W.m^{-2}}$, considéré uniforme et indépendant du temps. A l’équilibre, la Terre ré-émet l’intégralité de l’énergie reçue par rayonnement vers le haut. En déduire la température d’équilibre de surface $T_0$ de la Terre dans ce modèle. Faites une application numérique en vous aidant de l’annexe. Commentez le résultat.

2) Un raffinement du modèle consiste à inclure une atmosphère infiniment fine située à une hauteur $h$ au-dessus de la surface de la Terre. Cette atmosphère est transparente au rayonnement solaire incident, mais elle est entièrement absorbante pour le rayonnement infrarouge émis par la Terre. Elle atteint une température d’équilibre $T_a$, si bien qu’elle rayonne elle aussi un flux d’énergie $sT_a^4$ vers le haut, mais aussi un flux $sT_a^4$ vers le bas. Calculez la température $T_a$ d’équilibre de l’atmosphère, ainsi que la nouvelle température d’équilibre $T_0$ de surface de la Terre. Faites une application numérique en vous aidant de l’annexe. Commentez le résultat obtenu. Comment s’appelle l’effet mis en évidence par ce modèle simple ?

On oublie un instant les modèles radiatifs précédents, pour se concentrer sur la thermodynamique du fluide atmosphérique. On suppose que l’atmosphère est un gaz parfait diatomique.

3) Rappelez quels sont les deux constituants principaux de l’atmosphère ainsi que leurs proportions. En déduire une valeur approchée de la masse molaire moyenne $M$ de l’air.

On donne la différentielle de l’entropie du gaz parfait:

où $S$, $T$, et $P$ désignent l’entropie, la température et la pression du gaz. On désigne de plus par $n$ la quantité de matière (nombre de moles), et on définit $\gamma = C_p/C_v$, où $C_p$ est la capacité calorifique molaire à pression constante du gaz, et $C_v$ est sa capacité calorifique molaire à volume constant. Ces deux grandeurs sont également reliées par la relation de Mayer, rappelée en annexe.

4) On s’intéresse au modèle isentropique, pour lequel l’entropie du gaz est supposée indépendante de la coordonnée verticale $z$. Ecrire tout d’abord l’équilibre hydrostatique d’une parcelle d’atmosphère, puis calculer le profil de température $T(z)$ associé à ce modèle, en fonction de la température $T_0$ à la surface $z = 0$ de la Terre, de l’accélération $g$ de la pesanteur (supposée constante), de la capacité calorifique molaire $C_p$ de l’air (supposée constante également), et de la masse molaire moyenne $M$ de l’air.

5) Faites une application numérique pour le gradient de température $\Gamma = \mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ dans ce modèle. On pourra considérer l’air comme un gaz parfait diatomique.

On souhaite justifier la pertinence de ce modèle d’atmosphère isentropique. Dans ce but, on considère une atmosphère ayant un profil de température initial $T(z)$ quelconque (les profils de densité $\rho(z)$ et de pression $P(z)$ se déduisent de ce profil de température par l’équilibre hydrostatique et la loi des gaz parfaits). On isole une parcelle de fluide à l’altitude initiale $z_i$ qui constitue le système fermé étudié. Ce système est initialement à la température $T_i = T(z_i)$, et à la pression $P_i = P(z_i)$. On suppose qu’une perturbation externe déplace la parcelle considérée à l’altitude $z_i + \mathrm{d}z$, de façon adiabatique et quasi-statique (réversible), où $\mathrm{d}z$ représente un déplacement infinitésimal. Le système s’équilibre donc rapidement à la pression $P_f = P(z_i+\mathrm{d}z)$.

6) Calculez la température $T_f$ du système à l’issue de cette transformation, en fonction de $P_i$, $P_f$, $T_i$, $R$ et $C_p$.

7) Discutez le mouvement vertical ultérieur de la parcelle d’atmosphère, selon que $T_f < T(z_i + \mathrm{d}z)$ ou $T_f > T(z_i+\mathrm{d}z)$. Quelle situation correspond à une atmosphère stable ? à une atmosphère instable ? On appelle ce phénomène l’instabilité convective.

8) Le cas où $T_f = T(z_i + \mathrm{d}z)$ s’appelle le cas “marginalement stable”. Quel est le gradient de température vertical $\Gamma = \mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ de l’atmosphère dans cette situation marginalement stable ? Commentez, en lien avec les questions 4) et 5).

On revient à un modèle purement radiatif, que l’on complexifie en prenant en compte l’absorption et la ré-émission de rayonnement par chaque tranche élémentaire d’atmosphère. Pour un profil donné du coefficient d’absorption de rayonnement infrarouge par l’atmosphère, ce modèle conduit au “profil radiatif” de température représenté en figure 1.

9) Après avoir estimé le gradient de température dans les hautes et basses couches de ce modèle d’atmosphère, indiquez approximativement quelle partie de l’atmosphère est stable, et laquelle est instable, suivant ce modèle.

Le phénomène d’instabilité convective fait que le modèle purement radiatif de la figure 1 n’est pas satisfaisant. A terme, l’instabilité convective conduit à des mouvements erratiques de l’air qui affectent fortement le profil de température mesuré dans l’atmosphère réelle. On prend en compte ce phénomène en admettant qu’à toute altitude $z$ où le profil de température est instable, ces mouvements erratiques se produisent jusqu’à ce que le profil de température retrouve localement un gradient de température proche (mais légèrement plus faible, comme nous l’expliquerons dans les questions suivantes) du gradient marginalement stable déterminé à la question 8). Cette région de l’atmosphère où l’instabilité convective joue un rôle prépondérant s’appelle la troposphère. La couche d’atmosphère qui n’est pas affectée par cette instabilité s’appelle la stratosphère.

10) Commentez alors l’allure qualitative du profil de température du modèle simplifié d’atmosphère standard utilisé en aéronautique et fourni en figure 2, en lien avec le profil du modèle purement radiatif de la figure 1. Identifiez en particulier la troposphère et la stratosphère.

Le gradient de température mesuré dans la troposphère est moins raide aux latitudes équatoriales. La présence d’humidité dans l’atmosphère permet d’expliquer ce phénomène. On considère alors un système fermé constitué d’une parcelle d’atmosphère contenant un mélange air-vapeur d’eau. On note $n_v$ la quantité de matière (nombre de moles) de vapeur et $n_a$ le nombre de moles d’air dans le système. Le rapport $x_v = n_v/(n_a + n_v)$ désigne la fraction molaire de vapeur d’eau dans la phase gazeuse. Cette fraction est supposée très faible devant 1, $x_v \ll 1$. On admet que lorsqu’il y a condensation, l’eau liquide apparaît sous la forme de fines gouttelettes qui restent en suspension dans la parcelle d’atmosphère, et qui ne tombent pas sous l’effet de la gravité.

11) On considère cette parcelle d’atmosphère à une altitude donnée dans le profil de température marginalement stable calculé à la question 8). On suppose de plus que cette parcelle est initialement à la pression de vapeur saturante en vapeur d’eau. On imagine que cette parcelle subit un léger déplacement vers le haut, de façon quasi-statique et adiabatique (réversible). Expliquez qualitativement pourquoi, sous certaines conditions, la parcelle peut néanmoins continuer son mouvement ascendant alors même que l’atmosphère environnante n’est pas instable vis-à-vis du critère déterminé à la question 7). Que voit-on alors apparaitre dans le ciel ?

12) Proposez une expression approchée pour $\mathrm{d}x_v$ en fonction de $\mathrm{d}n_v$ et $n_a$ uniquement, lorsque la quantité de vapeur en phase gazeuse varie. On utilisera cette expression approchée dans ce qui suit.

13) On étudie l’évolution de la parcelle au cours de son mouvement ascendant, toujours supposé quasi-statique et sans transfert thermique avec l’atmosphère environnante, dont le profil de température est maintenant considéré arbitraire. On considère toujours $n_v \ll n_a$, si bien que l’on peut continuer à décrire la phase gazeuse par la relation (1), dans laquelle on remplacera $n$ par $n_a$ (on néglige donc la vapeur dans l’évaluation de la densité, de la quantité de matière et de la masse molaire de la parcelle). Dans cette relation, la variation d’entropie est donnée par $\mathrm{d}S = \mathrm{d}H_{\mathrm{cond}}/T$, où $\mathrm{d}H_{\mathrm{cond}} > 0$ est l’enthalpie libérée par la condensation. En combinant cette relation avec l’équilibre hydrostatique, montrez alors que :

où $T$ et $x_v$ sont respectivement la température et la fraction molaire de vapeur dans la phase gazeuse, lorsque la parcelle passe à l’altitude $z$. $\Delta_{\mathrm{vap}}H$ est l’enthalpie molaire de vaporisation de l’eau. Elle est considérée constante dans ce qui suit, de même que $C_p$ et $g$.

Au voisinage immédiat de l’océan équatorial, l’air se charge en vapeur d’eau jusqu’à saturation. La fraction molaire en vapeur d’eau initiale, $x_v^{(i)}$, est alors de 4%, et la température de l’ordre de 30 $^{o}$C. Cette atmosphère humide consiste en de nombreuses parcelles isolées d’atmosphère, identiques au système précédent, qui ont un mouvement ascendant depuis le niveau de la mer $z = 0$ jusqu’au sommet de la troposphère, à une altitude $h = 10$ km. On suppose que toute la vapeur est condensée lorsqu’une telle parcelle atteint l’altitude $h$.

14) Calculez alors le gradient de température moyen $\Gamma_h = (T(h) - T(0))/h$ en fonction de $M$, $g$, $C_p$, $h$, $\Delta_{\mathrm{vap}}H$, et $x_v^{(i)}$. $\Gamma_h$ est appelé le “gradient de température de l’atmosphère humide”.

15) Donnez la valeur numérique du gradient de température de l’atmosphère humide $\Gamma_h$, en considérant l’atmosphère comme un gaz parfait diatomique. On donne l’enthalpie de vaporisation de l’eau : $\Delta_{\mathrm{vap}}H = 4{,}1 \times 10^4\ \mathrm{J.mol^{-1}}$. Commentez le résultat, en lien avec le profil du modèle international d’atmosphère standard fourni en figure 2.

16) On représente sur la figure 3 la circulation de Hadley, qui est le principal courant méridional de l’atmosphère au voisinage de l’équateur. Pourquoi la température de surface est-elle supérieure au voisinage de l’équateur ($T_1$), par rapport aux latitudes subtropicales ($T_0 < T_1$)? Commentez alors la structure de cette circulation : direction des mouvements d’air, présence de précipitations équatoriales, etc.

On souhaite établir la dépendance de la pression de vapeur saturante de vapeur d’eau $P_{\mathrm{sat}}(T)$ avec la température. Pour cela, on considère un système fermé, formé uniquement d’eau liquide et de vapeur d’eau en co-existence (sans air). On note $G_{l,m}(T,P)$ l’enthalpie libre molaire de la phase liquide et $G_{v,m}(T,P)$ celle de la phase vapeur. De même, on note $V_{l,m}(T,P)$ et $V_{v,m}(T,P)$ les volumes molaires de ces deux phases, et $S_{l,m}(T,P)$ et $S_{v,m}(T,P)$ leurs entropies molaires.

17) Exprimez la différentielle de $G_{l,m}(T,P)$ en fonction de $V_{l,m}(T,P)$, $S_{l,m}(T,P)$, et des différentielles de $T$ et $P$. Exprimez de même la différentielle de $G_{v,m}(T,P)$ en fonction de $V_{v,m}(T,P)$, $S_{v,m}(T,P)$, et des différentielles de $T$ et $P$. En utilisant l’extensivité de l’enthalpie libre $G$ du système complet, donnez son expression en fonction de $G_{l,m}(T,P)$, $G_{v,m}(T,P)$, de la quantité de matière en phase vapeur $n_v$ et de la quantité de matière totale $n$.

18) On considère la situation où $T$ et $P$ sont imposées par un thermostat et un réservoir de pression. On admet que $G$ est un potentiel thermodynamique dans cette situation. Exprimez alors la condition d’équilibre liquide-vapeur en fonction de $G_{v,m}$ et $G_{l,m}$.

19) On considère deux points sur la courbe de coexistence liquide-vapeur, de coordonnées $(T, P_{\mathrm{sat}}(T))$ et $(T + \mathrm{d}T, P_{\mathrm{sat}}(T + \mathrm{d}T))$. Ecrire la condition d’équilibre liquide-vapeur aux deux points considérés en fonctions des enthalpies libres molaires des deux phases. Soustraire ces deux conditions d’équilibre pour obtenir la relation de Clapeyron :

En déduire le sens de variation de la pression de vapeur saturante avec la température.

20) On néglige le volume molaire de la phase liquide devant celui de la phase gazeuse, et on assimile la vapeur à un gaz parfait à la pression $P_{\mathrm{sat}}$. On considère de plus que $\Delta_{\mathrm{vap}}H$ est indépendante de la température. Montrez alors que la pression de vapeur saturante s’exprime sous la forme :

où $T_0$ est une température de référence arbitraire, et où vous donnerez l’expression de $\mathcal{C}$.

21) On considère que l’eau existe dans l’océan et l’atmosphère sous deux formes, $\mathrm{H_2O^{16}}$ et $\mathrm{H_2O^{18}}$, formées respectivement avec les isotopes 16 et 18 de l’oxygène. Ces deux isotopes sont stables du point de vue de la radioactivité. Les deux types de molécules d’eau se caractérisent par des enthalpies molaires de vaporisation différentes, et donc des pressions de vapeur saturante différentes. Expliquez comment la fraction de $\mathrm{H_2O^{18}}$ dans les calottes glaciaires fournit un historique de la température de l’atmosphère terrestre.

Решение

Quelques rappels

Pour simplifier certaines applications numériques, on donne les racines quatrièmes suivantes : $(220/5{,}67)^{1/4} \simeq 2{,}5$ et $2^{1/4} \simeq 1{,}2$.

Thermodynamique générale

Pour un système formé de $N$ constituants (ou phases) de potentiels chimiques $\mu_i$, avec les quantités de matière $n_i$, la différentielle de l’énergie interne s’écrit :

$$\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V + \Sigma_{i=1}^{N}\mu_i\mathrm{d}n_i\,, \qquad (6)$$

et l’enthalpie libre est définie par $G = U + PV - TS$. Le dernier terme de la différentielle (6) n’apparaît pas lorsque l’on considère une phase pure ou un système sans transformation de phases ($\mathrm{d}n_i = 0$).

Thermodynamique des gaz parfaits

On rappelle la relation de Mayer pour un gaz parfait, $C_p - C_v = R$, où la constante des gaz parfaits vaut $R = 8.314\ \mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}}$. Dans un mélange de gaz parfaits, le potentiel chimique $\mu_i$ d’un constituant $i$ est donné par la relation :

$$\mu_i(P_i,T) = \mu_i^{(0)}(T) + RT\ln\frac{P_i}{P_0}\,, \qquad (7)$$

où $\mu_i^{(0)}$ est une fonction qui ne dépend que de la température, $P_i$ désigne la pression partielle du constituant $i$, et $P_0 = 1$ bar est une pression de référence.

Masses molaires

On rappelle les masses molaires de l’hydrogène, du carbone, de l’azote et de l’oxygène : $M_H = 1{,}0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_C = 12\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_N = 14\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_O = 16\ \mathrm{g.mol^{-1}}$.

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Оригинал в Архива: MP_2021.pdf