X-ENS 2021, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика — Задача 2. La troposphère vue comme une machine thermique

ECOLE POLYTECHNIQUE — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2021 — FILIERE MP - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE (XULCR) — Thermodynamique de l’atmosphère

Consignes

MERCREDI 14 AVRIL 2021 — 08h00 - 12h00

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Thermodynamique de l’atmosphère

Ce sujet aborde la structure de l’atmosphère sous l’angle de la thermodynamique. Il comporte trois parties. Bien que le contexte général soit établi dans la première partie, les trois parties du sujet peuvent être abordées indépendamment. Certaines définitions et relations de thermodynamique sont rappelées en annexe à la fin du texte, ainsi que les valeurs de certaines grandeurs apparaissant dans les applications numériques. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un seul chiffre significatif, à l’exception des trois premières questions pour lesquelles on donnera deux chiffres significatifs.

Условие

On se propose de modéliser le courant atmosphérique représenté sur la figure 3 par une machine thermique cyclique. La thermodynamique nous permet alors de déterminer une borne supérieure sur la fraction du transfert thermique incident qui est transformée en travail mécanique sous la forme de vents. Dans ce but, on revient dans un premier temps sur le fonctionnement et le rendement des moteurs dithermes cycliques. Pour les applications numériques demandées dans les deux dernières questions de cette partie, on considèrera la Terre comme une sphère dont le rayon vaut approximativement 6400 km.

22) On considère tout d’abord un moteur ditherme cyclique en interaction avec un thermostat chaud de température $T_c$ et un thermostat froid de température $T_f$. Définissez le rendement $\xi$ de ce moteur. Etablissez la valeur théorique maximale $\xi_c$ de ce rendement (le rendement de Carnot), atteinte si les transformations associées au cycle sont réversibles.

Une machine thermique entièrement réversible n’est pas un bon modèle d’une machine réelle : les processus mis en jeu doivent être infiniment lents, en particulier les transferts thermiques. Si le travail fourni par la machine est non nul, ce travail est fourni en un temps infini ! Autrement dit, la puissance engendrée (travail fourni par unité de temps) tend vers zéro dans la limite de transformations parfaitement réversibles. Pour résoudre ce problème on considère la situation représentée sur la figure 4. La machine comprend un fluide, le système $\mathcal{F}$ à l’intérieur du cadre pointillé, qui subit de façon cyclique 4 transformations :

1. Une étape isotherme, à température $T_1$, pendant laquelle le fluide reçoit un transfert thermique algébrique $Q_1$ depuis le thermostat chaud, à température $T_c$. Le thermostat est connecté au système par une résistance thermique $R$. Cette étape est supposée durer un temps $\tau$. On notera que la température au voisinage immédiat du système $\mathcal{F}$ (au bord du domaine pointillé) est bien $T_1$ : c’est la température effective de la source chaude pour le système $\mathcal{F}$.

2. Une détente adiabatique rapide du fluide. Si nécessaire, une telle détente peut être effectuée rapidement tout en restant réversible (il suffit que le temps soit long devant le temps de propagation des ondes sonores dans le fluide). Sa durée est donc négligeable par rapport au temps $\tau$.

3. Une étape isotherme, à température $T_2$, pendant laquelle le fluide reçoit un transfert thermique algébrique $Q_2$, à travers une résistance thermique $R$, depuis un thermostat froid à température $T_f$. Cette étape dure un temps $\tau$ égal à celui de l’étape 1. On notera encore une fois que la température au voisinage immédiat du système $\mathcal{F}$ est $T_2$ : c’est la température effective de la source froide pour le système $\mathcal{F}$.

4. Une compression adiabatique rapide du fluide (qui peut néanmoins être réversible, si nécessaire), dont la durée est négligeable par rapport au temps $\tau$.

On note $W$ le travail algébrique reçu par le système pendant un cycle. Les températures des thermostats $T_c$ et $T_f$ sont fixées, mais on suppose que l’on peut ajuster les températures de fonctionnement $T_1$ et $T_2$ du moteur pour obtenir un fonctionnement optimal.

23) Donnez les signes de $Q_1$, $Q_2$ et $W$ dans ce qui vous semble être le régime de fonctionnement normal du moteur. Ordonnez les températures $T_c$, $T_f$, $T_1$ et $T_2$ dans ce régime de fonctionnement, en justifiant très brièvement. On supposera cet ordre des températures respecté dans la suite.

24) Exprimez les transferts thermiques algébriques $Q_1$ et $Q_2$ reçus par le système $\mathcal{F}$ pendant les étapes 1 et 3, en fonction de $R$, $T_1$, $T_2$, $T_c$, $T_f$ et $\tau$.

25) Définissez la puissance motrice $P$ fournie par le moteur. Exprimez $P$ en fonction de $R$, $T_1$, $T_2$, $T_f$ et $T_c$.

26) A l’aide du second principe de la thermodynamique, établir une inégalité entre $T_1$, $T_2$, $T_f$ et $T_c$. Pour simplifier les calculs, on admet que le rendement maximal est obtenu lorsque les transformations sont réversibles pour le système $\mathcal{F}$. On remplacera alors cette inégalité par une égalité dans ce qui suit.

27) A l’aide des réponses aux deux questions précédentes, éliminez $T_2$ pour exprimer la puissance $P$ sous la forme :

où l’on a introduit les paramètres $X = T_1/T_c$ et $\eta = T_f/T_c$.

28) A l’aide des réponses aux questions précédentes (en particulier la question 23), montrez que $X > 1/2$.

29) En pratique, les moteurs réels fonctionnent dans un régime où $T_1$ (et donc $T_2$) est choisie pour maximiser la puissance motrice délivrée, à $T_c$ et $T_f$ fixées. Calculez la valeur $X_+$ de $X$ associée à ce maximum, en fonction de $\eta$. Donnez la valeur du maximum de puissance en fonction de $R$, $T_c$ et $\eta$.

30) Donnez l’expression du rendement $\xi$ du moteur en fonction de $X$ et $\eta$. Montrez que le rendement du moteur à puissance maximale vaut $\xi(X_+) = 1 - \eta^{1/2}$. Comment cette expression du rendement se compare-t-elle au rendement de Carnot ?

31) La différence de valeur entre ces deux rendements signifie que certains processus apparaissant sur la figure 4 sont irréversibles. Quels sont-ils ? On définit le taux de création d’entropie $\dot{\mathcal{S}}$ comme le rapport de l’entropie créée par ces processus irréversibles pendant un cycle divisée par la durée d’un cycle. En appliquant le second principe de la thermodynamique à un système judicieusement choisi, calculez $\dot{\mathcal{S}}$ en fonction de $R$ et $\eta$ dans le régime de fonctionnement à puissance maximale du moteur.

On souhaite appliquer le modèle précédent aux courants atmosphériques. Le système est la totalité de la troposphère, que l’on considère comme une couche de fluide de hauteur $h = 10$ km à la surface de la Terre, et de densité $\rho = 1\ \mathrm{kg.m^{-3}}$ considérée constante pour ces calculs d’ordre de grandeur. Le transfert thermique $Q_1$ reçu par la troposphère est dû au rayonnement solaire incident qui atteint la surface terrestre. Ce rayonnement a une intensité $I = 220\ \mathrm{W.m^{-2}}$ en moyenne sur une journée et sur toute la surface de la Terre. $Q_2$ correspond alors au transfert thermique sous forme de rayonnement infrarouge émis au niveau du sommet de la troposphère (on néglige la stratosphère), tandis que $|W|$ est l’énergie qui est transformée en travail moteur sous la forme de vents, ou courants atmosphériques. La température moyenne au niveau du sol est $T_f = 290$ K, tandis que la température moyenne au sommet de la troposphère est $T_c = 220$ K.

32) En supposant que le système fonctionne à puissance maximale, calculez approximativement l’énergie cédée aux vents et courants atmosphériques par unité de temps.

33) On admet que les courants atmosphériques ainsi engendrés dissipent leur énergie cinétique à un taux $\mathcal{D}$ (énergie dissipée par unité de temps), de l’ordre de $\mathcal{D} \simeq 0{,}05 \times \mathcal{M}U^3/h$, où $\mathcal{M}$ est la masse totale de la troposphère et $U$ la vitesse typique des courants atmosphériques. En déduire un ordre de grandeur de $U$. Commentez.

Решение

Quelques rappels

Pour simplifier certaines applications numériques, on donne les racines quatrièmes suivantes : $(220/5{,}67)^{1/4} \simeq 2{,}5$ et $2^{1/4} \simeq 1{,}2$.

Thermodynamique générale

Pour un système formé de $N$ constituants (ou phases) de potentiels chimiques $\mu_i$, avec les quantités de matière $n_i$, la différentielle de l’énergie interne s’écrit :

$$\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V + \Sigma_{i=1}^{N}\mu_i\mathrm{d}n_i\,, \qquad (6)$$

et l’enthalpie libre est définie par $G = U + PV - TS$. Le dernier terme de la différentielle (6) n’apparaît pas lorsque l’on considère une phase pure ou un système sans transformation de phases ($\mathrm{d}n_i = 0$).

Thermodynamique des gaz parfaits

On rappelle la relation de Mayer pour un gaz parfait, $C_p - C_v = R$, où la constante des gaz parfaits vaut $R = 8.314\ \mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}}$. Dans un mélange de gaz parfaits, le potentiel chimique $\mu_i$ d’un constituant $i$ est donné par la relation :

$$\mu_i(P_i,T) = \mu_i^{(0)}(T) + RT\ln\frac{P_i}{P_0}\,, \qquad (7)$$

où $\mu_i^{(0)}$ est une fonction qui ne dépend que de la température, $P_i$ désigne la pression partielle du constituant $i$, et $P_0 = 1$ bar est une pression de référence.

Masses molaires

On rappelle les masses molaires de l’hydrogène, du carbone, de l’azote et de l’oxygène : $M_H = 1{,}0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_C = 12\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_N = 14\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_O = 16\ \mathrm{g.mol^{-1}}$.

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Оригинал в Архива: MP_2021.pdf