X-ENS 2021, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика — Задача 3. Nucléation et formation des nuages

ECOLE POLYTECHNIQUE — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2021 — FILIERE MP - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE (XULCR) — Thermodynamique de l’atmosphère

Consignes

MERCREDI 14 AVRIL 2021 — 08h00 - 12h00

Durée : 4 heures

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Thermodynamique de l’atmosphère

Ce sujet aborde la structure de l’atmosphère sous l’angle de la thermodynamique. Il comporte trois parties. Bien que le contexte général soit établi dans la première partie, les trois parties du sujet peuvent être abordées indépendamment. Certaines définitions et relations de thermodynamique sont rappelées en annexe à la fin du texte, ainsi que les valeurs de certaines grandeurs apparaissant dans les applications numériques. Les résultats des applications numériques seront donnés avec un seul chiffre significatif, à l’exception des trois premières questions pour lesquelles on donnera deux chiffres significatifs.

Условие

On s’intéresse à la formation des nuages, et on considère donc un système constitué d’eau liquide et d’un mélange gazeux air-vapeur d’eau. On note $P_v$ la pression partielle de vapeur dans le gaz, et $P_{\mathrm{sat}}(T)$ la pression de vapeur saturante.

34) Donnez la relation entre le potentiel chimique $\mu_l(T)$ de l’eau liquide, supposé ne dépendre que de la température, et le potentiel $\mu_v[T, P_v = P_{\mathrm{sat}}(T)]$ de la vapeur d’eau à la pression de vapeur saturante ?

On considère maintenant une pression de vapeur quelconque, et on s’intéresse à l’évolution d’une gouttelette d’eau liquide dans l’atmosphère. L’existence d’une interface de surface $A$ entre le liquide et le gaz conduit à un terme d’énergie de surface supplémentaire, $\sigma A$, qu’il convient d’ajouter à l’énergie du système (ou au potentiel thermodynamique considéré). Le coefficient $\sigma$ est une constante positive appelée tension de surface. Son unité est le $\mathrm{kg.s^{-2}}$. Le système considéré contient un nombre fixe de molécules d’air, et un nombre total fixe $n_{tot} = n_l + n_v$ de moles d’eau, où $n_l$ est le nombre de moles d’eau liquide et $n_v$ le nombre de moles de vapeur d’eau. Le système est maintenu à pression et température constante.

35) Exprimez la différentielle de l’enthalpie libre du système en fonction de $\sigma$, $A$, $\mu_l$, $\mu_v$, $n_l$ et/ou leurs différentielles.

36) On suppose que la phase liquide consiste à tout instant en une gouttelette d’eau sphérique de rayon $r$ et de masse volumique constante $\rho_0 = 1000\ \mathrm{kg.m^{-3}}$. Exprimez la différentielle de l’enthalpie libre en fonction de $\mu_l$, $\mu_v$, $\rho_0$, $r$, $\sigma$, $M_{\mathrm{H_2O}}$ et $\mathrm{d}r$, où $M_{\mathrm{H_2O}}$ est la masse molaire de l’eau.

37) Intégrez cette relation pour obtenir l’enthalpie libre $G(r)$ (à une constante près, qui ne joue pas de rôle dans ce qui suit). Tracez l’allure de $G(r)$ pour $\mu_l$ et $\mu_v$ fixés. On distinguera les cas $\mu_l < \mu_v$ et $\mu_l > \mu_v$.

38) Discutez l’évolution de la gouttelette suivant son rayon initial, en distinguant à nouveau les cas $\mu_l < \mu_v$ et $\mu_l > \mu_v$. Quand cela est pertinent, on identifiera une valeur remarquable $r_c$ de $r$, dont on donnera l’expression en fonction des mêmes paramètres qu’à la question 36). On définira également une “énergie d’activation” pour l’apparition de la phase liquide, lorsque l’on part uniquement d’un mélange gazeux air-vapeur d’eau, dont on donnera l’expression en fonction de ces mêmes paramètres.

39) On modélise la phase gazeuse comme un mélange de gaz parfaits. A l’aide de l’expression du potentiel chimique donnée en annexe, que l’on appliquera à la vapeur d’eau, exprimez le rayon critique au-delà duquel une gouttelette croît spontanément en fonction de la “sursaturation” $\chi = P_v/P_{\mathrm{sat}}(T) > 1$ et de $M_{\mathrm{H_2O}}$, $\sigma$, $\rho_0$, $R$ et $T$.

40) A partir de vos connaissances sur la loi d’Arrhénius, ou sur le facteur de Boltzmann, proposez une expression pour la dépendance de la vitesse d’apparition des gouttelettes dans l’atmosphère en fonction de la sursaturation $\chi$ (cette expression sera obtenue à une constante multiplicative près). Commentez cette dépendance en $\chi$.

On considère la situation représentée sur la figure 5 : une particule solide en suspension dans l’atmosphère présente une cavité conique ouverte sur l’extérieur, de demi-angle d’ouverture $\theta$. On étudie la possibilité que de l’eau liquide se forme à partir du fond de la cavité, selon la géométrie représentée sur la figure 5. L’eau liquide occupe alors un domaine conique dont la base est un disque de rayon $r$ perpendiculaire à l’axe du cône. Le volume d’un tel cône est $\pi r^2\ell/3$, où $\ell$ est la hauteur du cône.

41) On fait l’hypothèse que seule l’interface liquide-gaz intervient dans le terme de tension de surface, et donc que l’interface solide-liquide n’engendre aucun terme de tension de surface. Exprimez la différentielle de l’enthalpie libre en fonction de $\mu_l$, $\mu_v$, $\rho_0$, $r$, $\sigma$, $M_{\mathrm{H_2O}}$, $\theta$ et $\mathrm{d}r$.

42) Comme à la question 38), identifiez une valeur remarquable de $r$. Exprimez l’énergie d’activation associée en fonction de $\sigma$, $M_{\mathrm{H_2O}}$, $\rho_0$, $\mu_l$, $\mu_v$ et $\theta$.

43) Expliquez alors pourquoi la présence de particules en suspension dans l’atmosphère favorise l’apparition de nuages.

Решение

Quelques rappels

Pour simplifier certaines applications numériques, on donne les racines quatrièmes suivantes : $(220/5{,}67)^{1/4} \simeq 2{,}5$ et $2^{1/4} \simeq 1{,}2$.

Thermodynamique générale

Pour un système formé de $N$ constituants (ou phases) de potentiels chimiques $\mu_i$, avec les quantités de matière $n_i$, la différentielle de l’énergie interne s’écrit :

$$\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V + \Sigma_{i=1}^{N}\mu_i\mathrm{d}n_i\,, \qquad (6)$$

et l’enthalpie libre est définie par $G = U + PV - TS$. Le dernier terme de la différentielle (6) n’apparaît pas lorsque l’on considère une phase pure ou un système sans transformation de phases ($\mathrm{d}n_i = 0$).

Thermodynamique des gaz parfaits

On rappelle la relation de Mayer pour un gaz parfait, $C_p - C_v = R$, où la constante des gaz parfaits vaut $R = 8.314\ \mathrm{J.K^{-1}.mol^{-1}}$. Dans un mélange de gaz parfaits, le potentiel chimique $\mu_i$ d’un constituant $i$ est donné par la relation :

$$\mu_i(P_i,T) = \mu_i^{(0)}(T) + RT\ln\frac{P_i}{P_0}\,, \qquad (7)$$

où $\mu_i^{(0)}$ est une fonction qui ne dépend que de la température, $P_i$ désigne la pression partielle du constituant $i$, et $P_0 = 1$ bar est une pression de référence.

Masses molaires

On rappelle les masses molaires de l’hydrogène, du carbone, de l’azote et de l’oxygène : $M_H = 1{,}0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_C = 12\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_N = 14\ \mathrm{g.mol^{-1}}$, $M_O = 16\ \mathrm{g.mol^{-1}}$.

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Оригинал в Архива: MP_2021.pdf