X-ENS 2021, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 1. Données

ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2021 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — PHYSIQUE C (U) · 15 април 2021 г.

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JEUDI 15 AVRIL 2021, 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

L’eau dans l’atmosphère

Ce sujet comprend 22 pages numérotées de 1 à 22.

La présence d’eau dans l’atmosphère joue un rôle majeur dans le climat terrestre. L’eau est en effet le principal gaz à effet de serre de l’atmosphère terrestre. D’autre part, des effets thermiques importants sont associés aux changements de phase de l’eau. Enfin, les nuages modifient significativement l’albédo de l’atmosphère. Dans ce problème, nous étudierons uniquement des conséquences des deux premiers effets, et nous n’étudierons pas explicitement les nuages.

Le but de ce problème est de comprendre le profil vertical de température dans l’atmosphère, ainsi que son évolution avec la modification de la concentration en dioxyde de carbone dans l’atmosphère. Nous utiliserons des modèles très simplifiés, mais qui permettent de comprendre les mécanismes physiques en jeu, ainsi que de déterminer des valeurs numériques approchées.

Nous considérons pour simplifier tout au long de ce sujet que l’eau dans l’atmosphère est uniquement présente sous forme de vapeur et sous forme liquide : la présence de cristaux de glace est négligée.

Consignes :

Toutes les réponses doivent être justifiées de manière précise et concise. Il faut citer les lois physiques utilisées. Les réponses aux questions doivent être autant que possible appuyées sur les documents et des applications numériques

Lorsqu’un document est utilisé, il faut citer le numéro du document et expliquer comment l’information est extraite de celui-ci. Pour les textes, il faut mentionner les lignes où se trouvent les informations. Pour les courbes, il faut donner les valeurs lues sur les courbes avant d’utiliser ces valeurs dans les raisonnements.

Il faut définir les notations et les abréviations qui ne le sont pas dans l’énoncé.

Les calculatrices sont strictement interdites. Sauf mention contraire, les applications numériques doivent être effectuées avec 1 chiffre significatif.

Plan :

Des données sont fournies en partie 1. Il s’agit de représentations de fonctions utiles (partie 1.1), de données numériques (partie 1.2), et d’indications concernant l’identité thermodynamique (partie 1.3) et le rayonnement thermique (partie 1.4).

La courbe de saturation de l’eau est calculée en partie 2. Des documents utiles pour la suite sont présentés en partie 3. Les profils verticaux de température, pression, concentration sont étudiés en partie 4, en négligeant tout effet radiatif. La partie 5 discute des effets radiatifs, d’abord en négligeant la convection puis en étudiant le couplage entre les effets radiatifs et de convection.

Ces différentes parties ne sont pas indépendantes et il est vivement conseillé de traiter les questions dans l’ordre proposé. Cependant, le début de chacune des parties 4.1, 4.4, 5.1 et 5.2 est indépendant des questions précédentes.

Условие

Cette partie ne comporte pas de questions.

1.1 Représentations graphiques de fonctions

Voir la figure 1.

Cinq graphiques de fonctions : (a) x ↦ √x pour x de 10^0 à 10^2 en échelle logarithmique, y de 1 à 10 ; (b) x ↦ (x/5,67)^(1/4) pour x de 100 à 300, y de 2,0 à 2,7 ; (c) x ↦ exp(x) pour x de −5 à 5, y de 10^−2 à 10^2 en échelle logarithmique ; (d) x ↦ exp(x) pour x de −1,0 à 1,0, y de 4 × 10^−1 à 3 × 10^0 en échelle logarithmique ; (e) x ↦ x^(−3/4) pour x de 1 à 10, y de 0,2 à 1,0.
Figure 1 – Représentations graphiques de fonctions. Note : le point sert de séparateur décimal dans les figures du problème.

1.2 Données numériques :

  • cpc_p : capacité thermique massique à pression constante de l’air sec. cp=1,006×103 J⋅K−1⋅kg−1c_p = 1{,}006 \times 10^{3}\ \mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot kg^{-1}}.
  • γ\gamma : rapport des capacités thermiques massiques à pression et à volume constant pour l’air sec. γ=1,4\gamma = 1{,}4
  • cp,lc_{p,l} : capacité thermique massique à pression constante de l’eau liquide. cp,l=4,185×103 J⋅K−1⋅kg−1c_{p,l} = 4{,}185 \times 10^{3}\ \mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot kg^{-1}}.
  • cp,vc_{p,v} : capacité thermique massique à pression constante de la vapeur d’eau. cp,v=1,859×103 J⋅K−1⋅kg−1c_{p,v} = 1{,}859 \times 10^{3}\ \mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot kg^{-1}}.
  • LL : enthalpie massique de vaporisation de l’eau, aussi appelée chaleur latente massique de vaporisation. L(T=273 K)=2,44×106 J⋅kg−1L(T = 273\ \mathrm{K}) = 2{,}44 \times 10^{6}\ \mathrm{J \cdot kg^{-1}}.
  • MCO2M_{CO2} : masse molaire du dioxyde de carbone. MCO2=44 g⋅mol−1M_{CO2} = 44\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}.
  • MeM_e : masse molaire de l’eau. Me=18 g⋅mol−1M_e = 18\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}.
  • MN2M_{N2} : masse molaire du diazote. MN2=28 g⋅mol−1M_{N2} = 28\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}.
  • RR : constante des gaz parfaits. R=8,31 J⋅K−1⋅mol−1R = 8{,}31\ \mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}.
  • κ\kappa : diffusivité thermique de l’air. κ(283 K)=2×10−5 m2⋅s−1\kappa(283\ \mathrm{K}) = 2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^{2} \cdot s^{-1}}.
  • csonc_{\mathrm{son}} : vitesse du son dans l’air sec. cson(283 K)=336 m⋅s−1c_{\mathrm{son}}(283\ \mathrm{K}) = 336\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}

1.3 Identité thermodynamique

Nous considérons un système fermé, monophasique, dont l’état peut être défini de manière univoque par son entropie SS et son volume VV. Alors l’énergie interne UU vérifie l’identité thermodynamique :

dU=TdS−PdV,(1)\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V, \qquad (1)

où TT est la température et PP la pression du système.

1.4 Rayonnement thermique

Nous considérons un élément de surface situé au point O dans le plan x,yx, y (voir figure 2a) et qui se comporte comme un corps noir. Le flux hémisphérique surfacique émis vers le haut, c’est-à-dire intégré dans toutes les directions telles que θ∈[0,π/2]\theta \in [0, \pi/2], est noté BB (unité : W⋅m−2\mathrm{W \cdot m^{-2}}). Ce flux hémisphérique surfacique BB ne dépend que de la température thermodynamique TT :

B=σT4.(2)B = \sigma T^4. \qquad (2)

Cette loi est appelée loi de Stefan. La constante σ\sigma vaut :

σ=5,67×10−8 W⋅m−2⋅K−4.(3)\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}\ \mathrm{W \cdot m^{-2} \cdot K^{-4}}. \qquad (3)

Le flux hémisphérique surfacique émis entre les longueurs d’onde λ\lambda et λ+dλ\lambda + \mathrm{d}\lambda vaut BλdλB_\lambda \mathrm{d}\lambda. Le flux hémisphérique surfacique BB est l’intégrale sur les longueurs d’ondes de BλB_\lambda :

B=∫0+∞Bλdλ.(4)B = \int_0^{+\infty} B_\lambda \mathrm{d}\lambda. \qquad (4)

L’allure de la fonction BλB_\lambda est donnée en figure 2b. Cette fonction BλB_\lambda présente un maximum pour λm\lambda_m qui vérifie :

λmT=2,898×10−3 K⋅m.(5)\lambda_m T = 2{,}898 \times 10^{-3}\ \mathrm{K \cdot m}. \qquad (5)

Cette relation est appelée loi de déplacement de Wien. 98% du flux est rayonné entre 0,5λm0{,}5\lambda_m et 8λm8\lambda_m, avec 1% en deçà et 1% au-delà.

Pour un corps noir, l’émission du rayonnement autour d’une direction donnée vaut Aλcos⁡(θ)dΩA_\lambda \cos(\theta)\mathrm{d}\Omega, où dΩ=sin⁡(θ)dθdφ\mathrm{d}\Omega = \sin(\theta)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi est l’angle solide infinitésimal. La valeur de AλA_\lambda est reliée à celle de BλB_\lambda par l’équation Aλ=Bλ/πA_\lambda = B_\lambda/\pi.

(a) Demi-sphère avec axes x, y, z, élément de surface au point O, point M repéré par r, l’angle θ depuis l’axe z et l’angle φ dans le plan x, y. (b) Allure de la courbe B_λ en fonction de λ : nulle en 0, pic étroit puis décroissance lente.
Figure 2 – 2a : système de coordonnées sphériques. 2b : allure de la courbe BλB_\lambda, appelée loi de Planck.

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Références

[1] K. N. Liou, An Introduction to Atmospheric Radiation, Academic Press (2002)

[2] Geoffrey K. Vallis, Atmospheric and Oceanic Fluid Dynamics, Cambridge University Press (2017)

[3] Bernard Diu, Claudine Guthmann, Bernard Roulet et Danielle Lederer, Thermodynamique, Hermann (2007)

[4] Syukuro Manabe and Richard T. Wetherald, Thermal Equilibrium of the Atmosphere with a Given Distribution of Relative Humidity, Journal of the Atmospheric Sciences, volume 24, no. 3, pages 241–259 (1967)

[5] Jean-Louis Dufresne et Jacques Treiner, L’effet de serre atmosphérique : plus subtil qu’on ne le croit !, Bulletin de l’Union des Physiciens, volume 105, pages 821–840 (2011)

[6] Wenyi Zhong and Joanna D. Haigh, The greenhouse effect and carbon dioxide, Weather, volume 68, no. 4, pages 100–105 (2013)

[7] Stephen E. Schwartz, Ressource Letter GECC-1 : The Greenhouse Effect and Climate Change : Earth’s Natural Greenhouse Effect, American Journal of Physics, volume 86(8), pages 565–576 (2018)

[8] Stephen E. Schwartz, Ressource Letter GECC-2 : The Greenhouse Effect and Climate Change : The intensified Greenhouse Effect, American Journal of Physics, volume 86(9), pages 645–656 (2018)

[9] David Archer, Global Warming : Understanding the Forecast, John Wiley & Sons

[10] M. Diallo, B. Legras, E. Ray, A. Engel, and J. A. Añel, Global distribution of CO2_2 in the upper troposphere and stratosphere, Atmosopheric Chemistry and Physics, volume 17, pages 3861–3878 (2017)

[11] Changements climatiques 2014 : Rapport de synthèse. Contribution des Groupes de travail I, II et III au cinquième Rapport d’évaluation du Groupe d’experts intergouvernemental sur l’évolution du climat [Sous la direction de l’équipe de rédaction principale, R.K. Pachauri et L.A. Meyer]. GIEC, Genève, Suisse https://www.ipcc.ch/site/assets/uploads/2018/02/SYR_AR5_FINAL_full_fr.pdf

Fin du sujet

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