X-ENS 2021, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 4. Profils verticaux

4.1 Atmosphère isotherme sèche

Nous considérons tout d’abord une atmosphère isotherme à $T_0 = 288\ \mathrm{K}$. Nous considérons également qu’il s’agit d’une atmosphère sèche, c’est-à-dire sans vapeur d’eau ni eau liquide. Cette atmosphère est supposée à l’équilibre hydrostatique.

Nous considérons que les différents constituants de l’atmosphère sont des gaz parfaits, et qu’ils n’interagissent pas entre eux.

Q7 Justifier simplement que la gravité $g$ peut être considérée indépendante de $z$, où $z$ est la verticale dirigée vers le haut.

Q8 Écrire l’équation qui traduit que le diazote est à l’équilibre hydrostatique.

Q9 En déduire la pression partielle de diazote $p_{\mathrm{N2}}$ en fonction de $z$. Calculer numériquement la longueur caractéristique qui apparaît dans le résultat.

Q10 Exprimer de même la pression partielle dioxyde de carbone $p_{\mathrm{CO2}}$, et calculer numériquement la longueur caractéristique associée.

4.2 Profils de concentration

Dans les questions suivantes, nous discutons les résultats du modèle de la partie 4.1, en les comparant au cas de l’atmosphère terrestre.

Q11 Montrer que le profil de masse volumique de l’atmosphère standard (figure 4c) est raisonnablement en accord avec le profil du modèle de la partie 4.1.

Q12 En quoi le profil de la figure 6 est-il incompatible avec le résultat de la question Q10 ? La réponse doit être basée sur des arguments numériques quantitatifs.

Quelle hypothèse du modèle utilisé dans la question Q10 explique cette différence ? Quel est le phénomène physique qui est responsable de cette différence ?

Q13 Pourquoi la composition relative en eau n’est-elle pas indépendante de la hauteur ? Même question pour l’ozone.

Q14 Justifier simplement que la masse volumique de l’air sec (c’est-à-dire sans vapeur d’eau ni eau liquide) peut être considérée comme indépendante de $z$ dans la troposphère et la stratosphère.

Dans la suite, nous noterons $M_d = 29\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}$ cette masse volumique de l’air sec.

4.3 Atmosphère isentropique sèche

Nous considérons une atmosphère isentropique, c’est-à-dire que l’entropie massique ne dépend pas de l’altitude. Nous supposons également qu’il s’agit d’une atmosphère sèche, à l’équilibre hydrostatique, et que la température de surface est $T_0 = 288\ \mathrm{K}$.

Q15 Montrer que l’enthalpie généralisée $h_* = h + gz$ est constante.

Q16 En déduire une expression du gradient thermique $\Gamma_d$ défini par :

où l’indice d permet de préciser qu’il s’agit de la valeur pour une atmosphère isentropique sèche.

Calculer numériquement la valeur de ce gradient. Comment se compare t-elle à la valeur de l’atmosphère standard (figure 4a) ?

4.4 Stabilité d’une atmosphère sèche

Nous considérons une atmosphère sèche, avec une température de surface $T_0 = 288\ \mathrm{K}$. Le profil de température $T(z)$ est a priori quelconque. Le but de cette partie est de déterminer sous quelle condition ce profil est stable mécaniquement.

Nous considérons une parcelle de fluide, de dimension typique $10\ \mathrm{m}$, initialement à la position $z_i$ et à la température $T_i = T(z_i)$. Nous supposons que cette parcelle de fluide monte de $\mathrm{d}z > 0$ (fixer le signe permet uniquement de simplifier la discussion).

Q17 Proposer une estimation du temps nécessaire pour que la pression de la parcelle de fluide soit égale à celle de l’atmosphère environnante à l’altitude $z_i + \mathrm{d}z$. Estimer le temps nécessaire pour que la température de la parcelle de fluide soit égale à celle de l’atmosphère environnante.

En déduire qu’il est pertinent dans le cas de l’atmosphère de considérer que la parcelle de fluide est à la même pression que le fluide environnant, mais que les transferts thermiques sont négligeables.

Q18 Justifier que la transformation subie par la parcelle de fluide est isentropique.

Calculer la masse volumique $\rho_p(z_i + \mathrm{d}z)$ de la parcelle de fluide à l’altitude $z_i + \mathrm{d}z$, en fonction de sa masse volumique $\rho_p(z_i)$ lorsqu’elle se trouvait à l’altitude $z_i$, de sa température $T_p(z_i)$ à l’altitude $z_i$ et de sa température $T_p(z_i + \mathrm{d}z)$ à l’altitude $z_i + \mathrm{d}z$.

Q19 Effectuer un bilan des forces sur cette parcelle de fluide, et en déduire que l’atmosphère sèche est stable si le gradient thermique $-\mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ est inférieur à $\Gamma_d$.

Q20 Est-ce que l’atmosphère standard est stable selon ce critère ?

4.5 Atmosphère isentropique saturée

Nous considérons de nouveau une atmosphère isentropique, avec une température de surface $T_0 = 288\ \mathrm{K}$, à l’équilibre hydrostatique. Contrairement aux parties précédentes, nous supposons que l’atmosphère est saturée en eau, c’est-à-dire que la pression partielle de vapeur d’eau égale à la pression de vapeur saturante $e_s(T)$. Comme dans tout ce problème, nous considérons pour simplifier que l’eau est uniquement présente sous forme liquide et vapeur, c’est-à-dire que nous négligeons la présence d’eau sous forme solide.

Nous notons $m_t = m_d + m_v + m_l$ la masse totale d’une parcelle d’air, avec $m_d$ la masse d’air sec de cette parcelle, $m_v$ la masse de vapeur d’eau et $m_l$ la masse d’eau liquide. Nous notons $q_v = m_v/m_t$, $q_l = m_l/m_t$ et $q_e = q_v + q_l$. L’enthalpie massique de l’air sec est notée $h_d$.

Q21 Exprimer l’enthalpie massique $h$ de la parcelle de fluide, en fonction notamment de $h_d$, $h_v$ et $h_l$.

Q22 Montrer que l’enthalpie généralisée, notée $h_{*,m}$ (voir question Q15), vérifie en première approximation :

où $c_p$ est la capacité thermique massique à pression constante de l’air sec. Les approximations effectuées doivent être justifiées, notamment par des applications numériques. Dans cette question, nous considérons que la température maximale est de $40\ {}^{\circ}\mathrm{C}$.

Q23 En déduire une expression du gradient thermique en fonction notamment de $L$ et $g$.

Q24 Le gradient thermique pour une atmosphère saturée est noté :

où l’indice $s$ note le caractère saturé de l’atmosphère.

Déduire des résultats précédents que l’on a toujours :

Expliquer qualitativement l’origine physique de cette inégalité (2 phrases maximum).

Q25 Pour insister sur le caractère saturé de l’atmosphère, nous notons $q_s$ la quantité $q_v$ à saturation.

Exprimer $\mathrm{d}q_s/\mathrm{d}z$ en fonction de $\mathrm{d}T/\mathrm{d}z$, $\mathrm{d}p/\mathrm{d}z$ et de dérivées partielles que l’on précisera.

Q26 Montrer l’égalité suivante :

avec $R_d = R/M_d = 287\ \mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$ et $R_v = R/M_e = 462\ \mathrm{J \cdot kg^{-1} \cdot K^{-1}}$.

Q27 Montrer que le gradient thermique pour une atmosphère isentropique saturée vaut :

Les valeurs numériques correspondant à cette équation sont présentées en figure 7.

Q28 Calculer numériquement $R_v c_p T/(R_d L)$ pour $T = 288\ \mathrm{K}$. En déduire quel terme de l’équation (14) est responsable de la variation de $\Gamma_s$ avec la température.

Q29 Expliquer à partir de l’équation (14) le sens de variation de $\Gamma_s$ avec $T$ de la figure 7. Retrouver la valeur de $\Gamma_s$ pour les basses températures.

Q30 Par analogie avec la partie 4.4, donner le critère de stabilité d’une atmosphère saturée.

Q31 Comparer la valeur de $\Gamma_s$ à la valeur du gradient thermique de l’atmosphère standard. Commenter.