X-ENS 2021, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 5. Radiation

5.1 Spectres

Dans cette partie, nous étudions la forme du spectre d’émission d’un corps noir à la température moyenne actuelle de la surface terrestre, à savoir $T_0 = 288\ \mathrm{K}$, ainsi que le spectre du soleil.

Des indications sur le rayonnement thermique sont données dans la partie 1.4.

Q32 Donner la valeur numérique de la longueur d’onde pour laquelle l’émission de rayonnement terrestre est maximale.

Donner les bornes du domaine de longueurs d’onde où est émis l’essentiel de l’énergie.

Q33 Comparer au spectre solaire en haut de l’atmosphère (figure 8) et commenter.

5.2 Équilibre radiatif

Dans cette partie, nous négligeons tout effet de convection.

Nous ferons aussi des hypothèses simplificatrices sur les spectres d’absorption et d’émission des gaz. Les spectres réels seront étudiés en partie 5.4.

Nous considérons un rayonnement dirigé vers le haut selon $+\overrightarrow{e}_z$, et dont la longueur d’onde vaut $\lambda$. Le flux énergétique est noté $I_\lambda$. Nous admettons que l’énergie absorbée par la tranche d’atmosphère $[z, z + \mathrm{d}z]$ est $I_\lambda k_\lambda \rho \mathrm{d}z$, où $k_\lambda$ ne dépend que de $\lambda$ et où $\rho$ est la masse volumique du gaz à effet de serre considéré.

Nous définissons une autre variable d’espace $\tau_\lambda$ par $\mathrm{d}\tau_\lambda = k_\lambda \rho(-\mathrm{d}z)$. Il s’agit d’un changement de variables : la tranche d’atmosphère $[z, z + \mathrm{d}z]$ peut être notée $[\tau_\lambda, \tau_\lambda + \mathrm{d}\tau_\lambda]$. La variable $\tau_\lambda$ est adimensionnée et augmente vers le bas (voir figure 9). L’origine $\tau_\lambda = 0$ correspond au «haut de l’atmosphère», c’est-à-dire la hauteur au-dessus de laquelle la masse volumique des gaz présents est telle que les phénomènes radiatifs sont négligeables. Cette hauteur dépend du modèle considéré, mais se trouve toujours à moins de 100 km de la surface. Dans ce sujet, nous ne considérons pas l’absorption ou l’émission de rayonnement par l’ozone.

Q34 Dans quel autre contexte rencontre-t-on une expression similaire à $I_\lambda k_\lambda \rho \mathrm{d}z$ pour l’absorption du rayonnement ?

Q35 Nous admettons que la tranche d’atmosphère émet un rayonnement thermique dans toutes les directions. Le rayonnement émis dans la direction $\overrightarrow{e}_z$ vaut $A_\lambda k_\lambda \rho \mathrm{d}z$ (voir partie 1.4).

En effectuant un bilan sur la tranche d’atmosphère $[z, z + \mathrm{d}z]$ qui tient compte de l’émission de rayonnement thermique et de l’absorption, calculer l’expression de :

Nous considérons à partir de maintenant tout le rayonnement émis vers le haut, c’est-à-dire dont le vecteur de propagation $\overrightarrow{a}$ vérifie $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e}_z > 0$. Nous notons $U_\lambda$ le flux énergétique hémisphérique vers le haut, qui est l’intégrale sur les directions $\overrightarrow{a}$ de termes similaires à $I_\lambda$.

Nous admettons :

avec $\tau_\lambda^* = \zeta\tau_\lambda$ avec $\zeta \approx 5/3$. Pour simplifier les notations, l’exposant $^*$ ne sera plus utilisé dans les questions suivantes.

Q36 Expliquer qualitativement pourquoi $\zeta > 1$ en 2 phrases maximum.

Q37 Nous appelons $D_\lambda$ le flux énergétique vers le bas et nous choisissons la convention $D_\lambda > 0$, avec ce flux vers le bas orienté selon $-\overrightarrow{e}_z$ (voir figure 9)

Donner l’équation pour $D_\lambda$, en s’inspirant de l’équation (16).

Q38 Nous considérons le rayonnement infrarouge et nous supposons pour simplifier que $\tau_\lambda$ est indépendant de $\lambda$ (la dépendance en longueur d’onde sera discutée en partie 5.4). Nous notons alors $\tau_\lambda = \tau$. Les valeurs intégrées pour les longueurs d’onde supérieures à $5\ \mu\mathrm{m}$ sont notées avec un indice $L$.

Montrer l’égalité suivante :

et donner l’équation vérifiée par :

Q39 Nous considérons que l’atmosphère est à l’équilibre radiatif local, c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’échauffement ni de refroidissement des tranches d’air liés à l’inhomogénéité du rayonnement infrarouge

Que vaut dans cette hypothèse d’équilibre radiatif local l’expression :

Q40 Nous appelons $U_{Lt} = U_L(\tau = 0)$ la valeur de $U_L$ en haut de l’atmosphère.

Quelle est la valeur de $D_L(\tau = 0)$ ? On pourra utiliser la figure 8.

Q41 Montrer l’égalité suivante, toujours dans l’hypothèse de l’équilibre radiatif local :

En déduire une expression de $D_L$, $U_L$ et $B$ en fonction de $\tau$ et $U_{Lt}$.

Q42 Nous prenons comme forme pour $\tau$ :

avec $H_a = 2\ \mathrm{km}$, $\tau_0 = 5$. Il s’agit de paramètres effectifs, une «moyenne» sur les spectres et les espèces chimiques.

Justifier qualitativement la dépendance exponentielle de $\tau$ avec $z$, et l’ordre de grandeur de $H_a$.

Q43 Montrer que la température $T$ est reliée à $z$ selon l’expression :

La constante solaire, aussi appelée irradiance solaire totale, exprime la quantité d’énergie solaire que recevrait une surface de $1\ \mathrm{m^2}$ située à une distance de 1 au (distance moyenne Terre-Soleil), exposée perpendiculairement aux rayons du Soleil, en l’absence d’atmosphère, pendant 1 seconde. C’est donc la densité de flux énergétique en haut de l’atmosphère.

Pour la Terre elle vaut : $F = 1\,360\ \mathrm{W \cdot m^{-2}}$.

Q44 La fraction du rayonnement solaire réfléchie par les nuages, l’atmosphère et le sol est appelée albédo $\alpha$. Nous prendrons $\alpha = 0{,}3$.

En utilisant la valeur de la constante solaire, déterminer la valeur numérique de $U_{Lt}$ avec deux chiffres significatifs.

Q45 Calculer avec deux chiffres significatifs la température en haut de l’atmosphère $T_t$ pour la valeur de $U_{Lt}$ trouvée à la question précédente.

Q46 Calculer numériquement la température à la surface (remarque : il est normal de trouver une température de surface différente de $T_0 = 288\ \mathrm{K}$ dans cette question). Calculer numériquement le gradient thermique à la surface.

Q47 Tracer le profil de température en vous servant des questions précédentes.

Q48 On définit la température d’émission $T_e$ par $\sigma T_e^4 = U_{Lt}$. Calculer $T_e$ en fonction de la température en haut de l’atmosphère, $T_t$, puis calculer numériquement $T_e$ avec deux chiffres significatifs.

Laquelle de ces températures est la plus grande ? Interpréter.

5.3 Équilibre radiatif-convectif

Dans cette partie, nous continuons à prendre en compte les paramètres effectifs de la partie précédente (partie 5.2) pour les effets radiatifs, et en particulier l’expression de $\tau(z)$ de l’équation (21). Nous continuons également à considérer un albédo constant $\alpha = 0{,}3$.

À la différence de la partie précédente, nous ne négligeons plus la convection.

Q49 Nous considérons que l’atmosphère est saturée en eau. Est-ce que le profil de la question Q47 est stable ?

Q50 Estimer à partir des documents un temps caractéristique lié à la convection.

Q51 Quel est d’après vous l’ordre de grandeur de la baisse typique de la température pendant une nuit claire ?

En comparant cette valeur à la température $T_0$, déduire un temps de relaxation typique lié aux phénomènes radiatifs dans l’atmosphère terrestre.

À partir de cette question, nous considérons que le profil de température correspond à la limite de la stabilité pour une atmosphère saturée, de la surface ($z = 0$) jusqu’à la tropopause ($z = H_t$). Pour simplifier, nous considérerons que le gradient thermique $\Gamma = -\mathrm{d}T/\mathrm{d}z$ est constant et vaut $\Gamma = 6{,}5\ \mathrm{K \cdot km^{-1}}$. La température est constante au-delà de $H_t$ dans ce modèle, ce qui signifie que nous ne modélisons pas l’augmentation de la température due à l’absorption des ultraviolets par l’ozone de la stratosphère.

D’autre part, nous considérons simultanément que l’atmosphère est globalement à l’équilibre radiatif, c’est-à-dire que la puissance associée au rayonnement sortant de l’atmosphère est égale à la puissance reçue du soleil. Dans ce modèle, la hauteur de la tropopause $H_t$ est le degré de liberté qui permet de satisfaire cette contrainte.

Q52 Justifier que nous prenons comme gradient thermique le gradient correspondant à la convection (humide) plutôt que le profil radiatif.

Nous considérons que les équations sur $U_L$, $D_L$, $B$ et $\tau(z)$ vues dans la partie précédente restent valables, à l’exception de l’équation d’équilibre radiatif local (question Q39). Cependant, les calculs numériques montrent que la valeur de $B/U_L$ est proche de celle correspondant à l’équilibre radiatif local, et le tracé de $B/U_L$ montre que cette quantité vaut en première approximation :

Q53 Montrer que l’équation (23) est cohérente avec la valeur de $B/U_L$ en $z = 0$ et en $z = H_t$.

Q54 Calculer en fonction de $z$ et de $H_t$ l’expression suivante :

Q55 En déduire une expression de :

Q56 Montrer l’égalité approchée suivante, en supposant $H_a \ll H_t$ :

Q57 D’autre part, exprimer $U_L(H_t)$ en fonction notamment de $T_t$.

Q58 En utilisant une condition d’équilibre thermique à la surface, montrer l’égalité suivante :

où $\Gamma$ est le gradient thermique, supposé constant ($\Gamma = 6{,}5\ \mathrm{K \cdot km^{-1}}$).

Q59 Déduire des questions précédentes :

avec $C = 2\ln(2) = 1{,}39$

Q60 En déduire la valeur numérique de la hauteur de la tropopause $H_t$ dans ce modèle. Indications : $16 \times 6{,}5 = 104$ et $(2\ln(2))^2 = 1{,}9$. La valeur trouvée est-elle en accord avec les observations dans l’atmosphère ?

Effet d’un changement de la concentration en gaz à effet de serre

Dans cette partie, nous supposons toujours que $\Gamma = 6{,}5\ \mathrm{K \cdot km^{-1}}$ reste constant.

Q61 Les modèles numériques montrent que les émissions de vapeur d’eau d’origine humaine (irrigation, combustion, tours de refroidissement des centrales thermiques, ...) n’affectent pas le climat, au contraire des émissions de CO$_2$.

Justifier brièvement cette propriété.

Q62 Justifier qualitativement que $H_t$ augmente si la concentration en CO$_2$ augmente.

Tracer les profils verticaux de température pour la concentration de CO$_2$ initiale et une concentration plus élevée. On indiquera $H_t$ ainsi que $H_e$, l’altitude qui correspond à la hauteur d’émission $T_e$.

Quelle est la conséquence sur la température au sol ?

5.4 Étude en fonction de la longueur d’onde

Dans les parties précédentes, nous avons considéré que l’absorption était la même dans tout le domaine infrarouge. Nous discutons les écarts (importants) à cette hypothèse dans cette partie.

Q63 À partir notamment de la figure 11, déterminer (approximativement) les valeurs de $\tau_\lambda$ sur toute la hauteur de l’atmosphère, pour $\lambda_1 = 15\ \mu\mathrm{m}$ (soit environ $650\ \mathrm{cm^{-1}}$) et pour $\lambda_2 = 11\ \mu\mathrm{m}$ (soit environ $900\ \mathrm{cm^{-1}}$). Nous prenons comme valeur de concentration en CO$_2$ la valeur 300 ppm, soit une concentration en masse d’environ $450 \times 10^{-6}$ (450 mg de CO$_2$ par kg d’air). Cette concentration est proche de la concentration préindustrielle.

Commenter les valeurs obtenues pour $\tau_\lambda$.

Q64 Estimer l’altitude où est émise le rayonnement pour ces deux longueurs d’onde, à partir notamment de la figure 10. Faire le lien avec la question précédente.

Q65 Nous étudions qualitativement l’effet d’un doublement de la concentration en CO$_2$ dans l’atmosphère, c’est-à-dire le passage de 300 ppm à 600 ppm. Nous considérons dans cette question que la concentration massique en eau est constante lorsque la concentration en CO$_2$ change.

Déterminer 3 types de comportements suivant la longueur d’onde. À quel type de comportement correspond le raisonnement de la question Q62 ?

Commenter le rôle de ces 3 zones de longueurs d’onde dans l’augmentation de la température au sol.

5.5 Modèle numérique

Comme les spectres d’absorption de l’eau et du CO$_2$ ont une forme compliquée, il n’est pas possible d’obtenir de manière analytique la variation du profil de température lorsque la concentration en CO$_2$ change. Il est par contre possible d’obtenir cette variation en utilisant des simulations numériques à une dimension d’espace.

Dans cette partie, nous présentons quelques éléments du modèle numérique de S. Manabe et R. Wetherald (1967) [4]. Ces simulations ont permis d’obtenir la variation du profil de température lorsque la concentration CO$_2$ passe de 300 ppm à 600 ppm. La variation de température au sol, d’environ 2,4 K, est dans la gamme 1,5 − 4,5 K considérée actuellement comme la plus probable à partir des reconstitutions du climat passé et de simulations 3D couplant l’atmosphère et l’océan notamment [11].

Ce modèle de S. Manabe et R. Wetherald prend en compte l’absorption (faible) du rayonnement solaire par l’atmosphère, modélise plusieurs types de nuages, et considère 3 gaz à effet de serre : l’eau, le CO$_2$ et l’ozone. Pour simplifier, nous ne discuterons pas ici cette absorption du rayonnement solaire, les nuages ne sont pris en compte que par leur contribution à l’albédo. L’ozone, qui change peu le profil de température dans la troposphère ne sera pas considéré, et nous ne discuterons pas la gestion de l’existence de gammes de longueurs d’onde où l’eau et le CO$_2$ absorbent tous deux de manière significative.

Nous notons $T_\lambda$ la transmittance monochromatique définie par : $T_\lambda = \exp(-\tau)$.

Q66 En utilisant notamment le résultat de la question Q37, et en multipliant par $\exp(\tau)$, montrer que :

où pour simplifier nous notons $\tau$ la variable notée $\tau_\lambda$ à la question Q37.

Montrer de même que :

où $\tau_0$ est la valeur de $\tau$ en $z = 0$ (cette valeur dépend de $\lambda$, mais comme mentionné plus haut nous omettons cette précision pour simplifier les notations). Nous supposerons que la surface terrestre se comporte comme un corps noir.

Q67 Nous introduisons la coordonnée $u_v$ (pour l’eau) définie par :

où $\rho_v$ est la masse volumique de vapeur d’eau. Nous notons $u_t$ la valeur en haut de l’atmosphère.

Comme à la question Q38, nous notons $D_L$ la valeur de $D_\lambda$ intégrée sur tout le spectre infrarouge. Au contraire de la question Q38, nous prenons maintenant en compte le fait que $\tau$ dépend de $\lambda$.

Montrer que :

où pour simplifier nous notons $u$ au lieu de $u_v$, et où $\lambda^* = 5\ \mu\mathrm{m}$. Remarque sur les notations : ici $T(u)$ désigne la température absolue à la hauteur repérée par $u$ et $T_\lambda$ la transmittance monochromatique.

Calculer de même $U_L$.

Q68 Nous introduisons l’émissivité globale isotherme $\epsilon(u, T)$ par :

Exprimer $U_L$ et $D_L$ en fonction de $\epsilon(u, T)$. Les expressions obtenues ne devront pas faire apparaître $T_\lambda$.

Quel est l’intérêt d’introduire la variable $u$ ?

Q69 L’émissivité pour l’eau est donnée en figure 12. Commenter brièvement cette courbe.

Q70 Exprimer la dérivée particulaire $\mathrm{d}T/\mathrm{d}t$ en fonction de dérivées partielles.

Nous considérons une atmosphère saturée en eau. En effectuant un bilan d’énergie, montrer :

avec $\Gamma = \partial T/\partial z$ et où $w = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$ est la vitesse de la tranche de fluide. Il peut être utile de s’inspirer de la question Q22.

Q71 Que vaut $\partial T/\partial t$ dans les zones où il n’y a pas de convection ?

Dans les zones où se produit de la convection, la méthode consiste à imposer $\Gamma = \Gamma_s$, tout en conservant globalement l’énergie. La zone où se produit la convection est en contact avec la surface. Écrire l’équation de conservation de l’énergie globale.

Q72 La dimension d’espace (selon $z$) est discrétisée en 18 niveaux notés par un exposant $n$ ($n \in [1, 18]$). Le temps discrétisé est noté par un indice $i$. La condition initiale est une température constante selon $z$. Nous considérons que le profil de concentration des gaz à effet de serre est constant en temps dans cette question, mais qu’il dépend de $z$.

Décrire en moins d’une page les principales étapes d’un algorithme en temps qui converge vers le profil de température à l’équilibre.

Q73 En fait, les simulations numériques 3D montrent qu’il est plus réaliste de considérer que c’est l’humidité relative qui est constante, plutôt que la concentration en vapeur d’eau. Justifier qualitativement cette affirmation à partir de la figure 5.

Q74 S. Manabe et R. Wetherald [4] trouvent une augmentation de la température de surface de 1,33 K pour une doublement de la concentration en CO$_2$ en considérant que la concentration massique en vapeur d’eau est constante, et de 2,36 K sous l’hypothèse plus réaliste que l’humidité relative est constante.

Expliquer qualitativement cette différence.