X-ENS 2022, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика — Задача 1. Chaîne d’aimants en interaction magnétique

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2022 — MERCREDI 27 AVRIL 2022, 08h00 – 12h00 — FILIÈRE MP – Épreuve n°5 — PHYSIQUE (XULSR) · 27 април 2022 г.

Consignes

Durée : 4 heures

L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Flexion et flambage de systèmes mécaniques

Nous nous proposons d’étudier quelques phénomènes mettant en œuvre les propriétés d’élasticité de flexion de systèmes mécaniques particuliers. Dans une première partie, le système mécanique est une chaîne formée par un chapelet d’aimants sphériques. La cohésion de la chaîne est assurée par l’attraction magnétique que les aimants exercent les uns sur les autres. Dans une deuxième partie, la chaîne d’aimants est remplacée par une lame flexible. Dans ces deux situations, il s’agira de relier la hauteur maximale que peuvent atteindre la chaîne et la lame, érigées en édifice vertical, à leurs caractéristiques géométriques et mécaniques. La dernière partie est consacrée à la caractérisation des modes de vibration d’un verre apparaissant lors du passage d’un doigt humide sur son bord. Ces trois parties sont, en grande partie, indépendantes.

➞ Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu’un calcul à la main permet aisément, et sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif.

➞ Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront être systématiquement argumentées.

➞ Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Условие

Nous disposons d’un ensemble de billes sphériques aimantées identiques telles que celles représentées sur la figure (1) (a) (leur moment magnétique est représenté par une flèche). Posées sur une table, si elles sont assez proches les unes des autres, elles s’attirent en alignant chacune leur moment magnétique selon une direction commune et forment ainsi une chaîne flexible illustrée par la figure (1) (b).

Si l’on cherche à placer la chaîne en position verticale, l’aimant inférieur étant maintenu fixe par un support rigide (amagnétique), on constate qu’il existe un nombre maximal NcN_{\mathrm{c}} d’aimants en dessous duquel la chaîne reste rectiligne, verticalement, dans le champ de gravité g⃗=−g e⃗z\vec{g} = -g\,\vec{e}_z. Légèrement perturbée, elle oscille alors autour de cette configuration stable, comme l’illustre la figure (1) (c). Au-delà de cette limite, la situation verticale devient instable et la chaîne fléchit, atteignant une nouvelle situation d’équilibre1^{1}, comme le représente la figure (1) (d).

Quatre schémas. (a) Billes aimantées dispersées sur le plan de la table, chacune avec une flèche de moment magnétique orientée au hasard ; vecteur g entrant (⊗). Flèche « Association spontanée selon une chaîne » vers (b) : six billes alignées, flèches dans le même sens, sur le « Plan de la table ». (c) Colonne verticale de billes sur un support en O, axe z, flèches « Oscillations » ; étiquette « Aimant (0) ». (d) Chaîne partant verticalement du support puis s’incurvant (« Fléchissement spontané »), axes z, y, x (⊙), « Support rigide amagnétique solidaire de l’aimant (0) ».
Figure 1 – (a) Ensemble d’aimants sphériques posés sur un plan horizontal. (b) Sous l’effet des interactions magnétiques, ces aimants s’attirent en formant une chaîne flexible. (c) Édifice vertical formé par une chaîne “courte”. Elle peut alors osciller autour de cette position stable. (d) Lorsque la chaîne est “longue”, la position verticale devient instable, l’édifice fléchit alors sous l’action de la gravité g⃗=−g e⃗z\vec{g} = -g\,\vec{e}_z.

Les billes (ou aimants) sont numérotées de 0 à NN. Nous notons M⃗i=Miu⃗i\vec{\mathcal{M}}_i = \mathcal{M}_i\vec{u}_i (i∈[0, N])(i \in [0,\ N]) le moment magnétique de la bille (i)(i). Nous supposons, d’une part que Mi=M=Cste>0\mathcal{M}_i = \mathcal{M} = \mathrm{Cste} > 0 (∀i∈[0, N])(\forall i \in [0,\ N]), d’autre part que le vecteur unitaire u⃗i\vec{u}_i conserve une direction fixe, relativement à la bille (i)(i). La bille (0) est fixée sur un support rigide amagnétique de telle manière que son moment magnétique M⃗0=M e⃗z\vec{\mathcal{M}}_0 = \mathcal{M}\,\vec{e}_z reste orienté selon l’axe vertical ascendant (Oz)(\mathrm{O}z). Nous considérons que la chaîne se déforme en restant dans le plan (O, y, z)(\mathrm{O},\ y,\ z), comme l’illustrent les figures (1) (c) et (d). Enfin, aucune cause de dissipation de l’énergie mécanique n’est prise en compte.

1^{1} Cette situation fortement fléchie sort du cadre de la réponse linéaire que nous nous fixerons.

La figure (2) représente le système de coordonnées polaire Rθ(O, e⃗r, e⃗θ, e⃗x)\mathcal{R}_\theta(\mathrm{O},\ \vec{e}_r,\ \vec{e}_\theta,\ \vec{e}_x) permettant le repérage d’un point P=P(r, θ)\mathrm{P} = \mathrm{P}(r,\ \theta) du plan (O, y, z)(\mathrm{O},\ y,\ z).

Bille (0) de centre O posée dans un support rigide grisé (« Support rigide solidaire de l’aimant (0) »), moment magnétique M0 vertical vers le haut. Axes y horizontal, z vertical, x sortant (⊙), vecteur g vers le bas. Point P sur une droite issue de O faisant l’angle θ avec l’axe z, vecteurs unitaires e_r (le long de OP) et e_θ (perpendiculaire).
Figure 2 – Repérage d’un point P=P(r, θ)\mathrm{P} = \mathrm{P}(r,\ \theta) du plan (O, y, z)(\mathrm{O},\ y,\ z), dans le système de coordonnées polaire Rθ(O, e⃗r, e⃗θ, e⃗x)\mathcal{R}_\theta(\mathrm{O},\ \vec{e}_r,\ \vec{e}_\theta,\ \vec{e}_x) choisi.

Notations, données et formulaire.

❍ Pour les applications numériques, nous adopterons les valeurs suivantes :

  • Perméabilité magnétique du vide : μ0=4π×10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \mathrm{T \cdot m \cdot A^{-1}}
  • Module de l’accélération de la pesanteur : g=10 m⋅s−2g = 10\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}
  • Diamètre d’une bille : D=13 mmD = 13\ \mathrm{mm}
  • Densité volumique de moment magnétique du matériau (ce matériau est du néodyme) constituant les aimants : Mv=9×105 A⋅m−1M_{\mathrm{v}} = 9 \times 10^{5}\ \mathrm{A \cdot m^{-1}}
  • Masse volumique des billes : ρ=7,5×103 kg⋅m−3\rho = 7{,}5 \times 10^{3}\ \mathrm{kg \cdot m^{-3}}
  • Masse d’une bille : m=10 gm = 10\ \mathrm{g}

❍ Le développement à l’ordre NN, au voisinage de zéro, de la fonction exponentielle s’exprime par la relation suivante :

exp⁡(iθ)=∑k=0N(iθ)kk!(i2=−1)(1)\exp(i\theta) = \sum_{k=0}^{N} \frac{(i\theta)^k}{k!} \quad (i^2 = -1) \qquad (1)

❍ Le moment d’inertie JJ d’une bille homogène de masse mm et de diamètre DD, autour d’un axe passant par son centre, s’exprime selon la relation suivante :

J=mD2/10(2)J = mD^2/10 \qquad (2)

❍ Le champ magnétique créé par une bille sphérique uniformément magnétisée est, dans tout l’espace extérieur à la bille, celui d’un dipôle magnétique ponctuel placé en son centre. En particulier, pour la bille (0) représentée sur la figure (2), portant le moment magnétique M⃗0=M e⃗z\vec{\mathcal{M}}_0 = \mathcal{M}\,\vec{e}_z, il s’exprime selon la relation suivante :

B⃗0(P)=μ0M4πr3 (2cos⁡θ e⃗r(θ)+sin⁡θ e⃗θ(θ))ouˋr=∥OP→∥≥D/2(3)\vec{B}_0(\mathrm{P}) = \frac{\mu_0\mathcal{M}}{4\pi r^3}\,\left(2\cos\theta\,\vec{e}_r(\theta) + \sin\theta\,\vec{e}_\theta(\theta)\right) \quad \text{où} \quad r = \|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\| \geq D/2 \qquad (3)

Nous considérerons toutefois que cette expression reste valable pour toute distance rr (non nulle). Ce qui revient à considérer que, d’un point de vue magnétique, le rayon des billes tend vers zéro.

1.1 Caractérisation du champ magnétique créé par un aimant.

1. Représenter l’allure des lignes de champ (orientées) de l’aimant (0).

2. Exprimer, dans le repère R (O, x, y, z)\mathcal{R}\,(\mathrm{O},\ x,\ y,\ z), le champ B⃗0(P(r, θ))\vec{B}_0(\mathrm{P}(r,\ \theta)) correspondant à chacun des points suivants : P1=P(D, 0)\mathrm{P}_1 = \mathrm{P}(D,\ 0), P2=P(D, π/2)\mathrm{P}_2 = \mathrm{P}(D,\ \pi/2), P3=P(D, π)\mathrm{P}_3 = \mathrm{P}(D,\ \pi) et P4=P(D, 3π/2)\mathrm{P}_4 = \mathrm{P}(D,\ 3\pi/2).

3. Exprimer la composante B⃗0(P1)⋅e⃗z\vec{B}_0(\mathrm{P}_1) \cdot \vec{e}_z en fonction de μ0\mu_0 et MvM_{\mathrm{v}}. Estimer sa valeur et la commenter brièvement.

1.2 Maillon formé de deux billes.

Nous plaçons la bille (1) sur la bille fixe (0), comme le représente la figure (3) (a). Par interaction magnétique, l’aimant (0) exerce alors sur l’aimant (1) une force ainsi qu’un moment. Ce dernier tend à aligner M⃗1\vec{\mathcal{M}}_1 selon M⃗0\vec{\mathcal{M}}_0. La force d’attraction entre les aimants est suffisamment forte pour que nous puissions considérer, d’une part que les aimants restent toujours en contact (∀θ∈[−π, +π])(\forall\theta \in [-\pi,\ +\pi]), d’autre part que le roulement de l’aimant (1) sur l’aimant (0), lorsqu’il se produit, s’effectue sans glissement. L’angle θ\theta suffit alors à caractériser la situation de la bille (1) (se reporter la figure (3) (b)).

❒ Nous associons l’origine des énergies potentielles à la configuration représentée sur la figure (3) (a), choisie comme référence.

(a) Bille (1) de centre O1 posée verticalement sur la bille (0) de centre O fixée dans un support grisé ; point de contact I ; moments M1 et M0 verticaux vers le haut ; axes z et y. (b) Bille (1) ayant roulé sur la bille (0) : son centre O1 repéré par l’angle θ depuis l’axe z, son moment M1 tourné de l’angle θ1 ; points I, I0, I1 ; vecteurs e_r, e_θ ; vecteur g vers le bas ; axes z, y et x (⊙).
Figure 3 – (a) La bille (1) est posée sur la bille (0) fixe. (b) La situation de la bille (1) est caractérisée par les angles θ\theta et θ1=θ1(θ)\theta_1 = \theta_1(\theta).

4. En remarquant que les points I0\mathrm{I}_0 et I1\mathrm{I}_1, représentés sur la figure (3) (b), étaient initialement confondus (c’est-à-dire pour θ=0\theta = 0), justifier que θ1=2θ\theta_1 = 2\theta.

5. Établir l’inventaire des actions mécaniques qui s’exercent sur l’aimant (1). Il ne s’agit que d’un inventaire, on ne cherchera donc pas à expliciter chacune de ces actions mécaniques.

6. Justifier que l’énergie mécanique du système {(0), (1)}\{(0),\ (1)\} (en interaction gravitationnelle avec la Terre) est conservée.

7. Exprimer, en fonction de M\mathcal{M} et de l’angle θ\theta, le moment magnétique M⃗1\vec{\mathcal{M}}_1, dans la base polaire (e⃗r, e⃗θ, e⃗x)(\vec{e}_r,\ \vec{e}_\theta,\ \vec{e}_x).

8. Exprimer l’énergie potentielle magnétique EBE_B de couplage entre les dipôles M⃗0\vec{\mathcal{M}}_0 et M⃗1\vec{\mathcal{M}}_1. Nous l’écrirons sous la forme suivante :

EB=12K (sin⁡θ)2(4)E_B = \frac{1}{2}K\,(\sin\theta)^2 \qquad (4)

Le paramètre KK est une constante positive que l’on exprimera en fonction de μ0\mu_0, MvM_{\mathrm{v}} et DD.

9. Lors du roulement de la bille (1) sur la bille (0) (fixe), le centre de masse O1\mathrm{O}_1 de la bille (1) décrit un arc de cercle de rayon DD et d’angle au centre égal à θ\theta (se reporter à la figure (3) (b)). Ce mouvement s’accompagne, parallèlement, de la rotation de l’angle θ1\theta_1 de la bille (1), déterminé en réponse à la question (4).

Exprimer l’énergie cinétique Ec1E_{\mathrm{c}1} de la bille (1), somme des énergies cinétiques associées à chacune des composantes de mouvement que nous venons de présenter. On exprimera ce résultat en fonction de mm, DD, JJ, θ˙\dot{\theta} et θ˙1\dot{\theta}_1.

10. Nous écrivons l’énergie Ec1E_{\mathrm{c}1} sous la forme suivante :

Ec1=12J′θ˙2(5)E_{\mathrm{c}1} = \frac{1}{2}J'\dot{\theta}^2 \qquad (5)

Exprimer J′J' en fonction de la masse mm et du diamètre DD.

11. Exprimer, en fonction des paramètres mm, gg, DD et de l’angle θ\theta, l’énergie potentielle gravitationnelle Eg1E_{g1} de la bille (1) dans la situation représentée sur la figure (3) (b).

12. Représenter, sur un graphe commun, l’allure graphique de la dépendance (qualitativement), vis-à-vis de l’angle θ\theta, de chacune des énergies potentielles EBE_B et Eg1E_{g1}, pour θ∈[−π, +π]\theta \in [-\pi,\ +\pi] (c’est-à-dire sans tenir compte de la présence du support maintenant la bille (0)). Analyser ces résultats.

13. Établir l’équation différentielle vérifiée par l’angle θ\theta. On conservera les paramètres KK, mm, gg, DD et J′J'.

14. Déterminer à quelle condition la configuration correspondant à θ=0\theta = 0 est stable (ou métastable2^{2}). On fera porter cette condition sur le paramètre SS défini par le rapport suivant :

S=KmgD(6)S = \frac{K}{mgD} \qquad (6)

On proposera une interprétation physique de ce rapport.

2^{2} C’est-à-dire stable que sur un certain intervalle autour de θ=0\theta = 0.

15. Pour les valeurs des paramètres adoptées nous obtenons S∼100S \sim 100. Conclure quant à l’état de stabilité de la configuration correspondant à θ=0\theta = 0.

16. Exprimer, en tenant compte de la valeur du paramètre SS, la pulsation ω1\omega_1 des oscillations de la bille (1) autour de la configuration correspondant à θ=0\theta = 0, dans l’approximation linéaire. On exprimera cette pulsation en fonction de SS, gg et DD.

Estimer la valeur de la fréquence f1f_1 correspondante.

1.3 Édifice formé de N billes.

Nous considérons un édifice, constitué de NN aimants, reposant sur l’aimant fixe (0), comme le représente la figure (1) (c) pour N=3N = 3. Il s’agit d’étudier la stabilité de cet édifice dans la configuration rectiligne verticale.

Cette étude est conduite dans le cadre suivant :

❒ Nous nous plaçons dans des situations nous permettant de considérer que l’angle formé par les deux segments successifs reliant le centre Oi\mathrm{O}_i de l’aimant (i)(i) aux centres de ses voisins (i−1)(i-1) et (i+1)(i+1) ne dépend pas de ii (hypothèse référencée Hα\mathrm{H}_\alpha). Cet angle, défini sur la figure (4), est noté α\alpha. Les centres Oi\mathrm{O}_i des billes se situent alors sur un arc de cercle de centre A et de rayon noté RR (RR est une grandeur algébrique, du signe de α\alpha). Sous l’hypothèse Hα\mathrm{H}_\alpha, le problème à NN solides est réduit à un problème à un seul degré de liberté que l’on peut choisir comme étant l’angle α\alpha. Naturellement, cet angle et, corrélativement, le rayon RR, dépendent du temps tt lorsque l’édifice oscille ou fléchit.

❒ Nous considérons que l’interaction magnétique se limite aux deux plus proches voisins de chaque aimant (hypothèse référencée Hppv\mathrm{H}_{\mathrm{ppv}}).

❒ Comme dans la sous-section (1.2), nous supposons que le roulement de chaque bille (i)(i) sur la bille (i−1)(i-1) n’est accompagné d’aucun glissement.

❒ Nous supposons que ∣Nα∣≪1|N\alpha| \ll 1 (hypothèse référencée HDL\mathrm{H}_{\mathrm{DL}}). Tous les résultats seront alors donnés à l’ordre le plus bas non nul, vis-à-vis de l’angle α\alpha.

❒ Nous associons l’origine des énergies potentielles à la configuration de référence correspondant à un édifice rectiligne vertical.

Édifice de billes (0) à (4) de centres O, O1, O2, O3, O4, la bille (0) dans un support grisé ; les centres sont sur un arc de cercle de centre A (sur l’axe horizontal y) et de rayon R (tiret-point de A à O4). Les segments successifs forment entre eux l’angle α, le premier segment fait l’angle α avec l’axe z. Vecteur g vers le bas, axe x sortant (⊙).
Figure 4 – Paramétrage géométrique du fléchissement de l’édifice, sous l’hypothèse (Hα)(\mathrm{H}_\alpha) qu’il se déforme selon un arc de cercle de rayon RR.

17. Préciser quelle restriction à la généralité de cette étude introduit l’hypothèse Hα\mathrm{H}_\alpha. On réfléchira, en particulier, à la situation où l’édifice oscille autour de la verticale. La réponse attendue est brève, il s’agit simplement d’indiquer quelle situation ne peut être décrite, sous cette hypothèse.

18. Indiquer l’argument qui justifie l’hypothèse Hppv\mathrm{H}_{\mathrm{ppv}}.

19. Exprimer l’énergie potentielle magnétique EBNE_{BN} de l’édifice en fonction de NN, KK et α\alpha.

On notera que cette énergie peut également s’écrire sous la forme suivante :

EBN=12κB(1R)2ouˋκB=κB(N, K, D)≥0(7)E_{BN} = \frac{1}{2}\kappa_B\left(\frac{1}{R}\right)^2 \quad \textit{où} \quad \kappa_B = \kappa_B(N,\ K,\ D) \geq 0 \qquad (7)

Ce résultat n’est pas à établir.

20. Exprimer, en fonction de DD et α\alpha, la variation d’altitude Δz1\Delta z_1 de la bille (1), depuis sa situation de référence. Rappelons que l’on se place systématiquement sous l’hypothèse HDL\mathrm{H}_{\mathrm{DL}}.

21. Exprimer, en fonction de DD et α\alpha, la variation d’altitude Δz2\Delta z_2 de la bille (2), depuis sa situation de référence.

22. En généralisant les deux résultats précédents, exprimer, en fonction de DD, α\alpha et nn, la variation d’altitude Δzn\Delta z_n de la bille (n)(n), depuis sa situation de référence.

23. En déduire l’expression, en fonction de mm, gg, DD, NN et α\alpha, de l’énergie potentielle de pesanteur EgNE_{gN} de l’ensemble de l’édifice formé de NN billes reposant sur la bille (0). On utilisera l’approximation3^{3} (grossière) suivante :

∑i=1Iiβ∼∫0Ixβdx(8)\sum_{i=1}^{I} i^{\beta} \sim \int_0^I x^{\beta}\mathrm{d}x \qquad (8)

3^{3} Cette approximation ne deviendrait justifiable que dans la limite I≫1I \gg 1.

24. Établir la condition de stabilité de l’édifice dans sa configuration de référence, rectiligne verticale. On fera porter cette condition sur NN et le paramètre SS introduit dans la question (14) et défini par la relation (6). Commenter brièvement ce résultat vis-à-vis de l’approximation adoptée, définie par la relation (8).

25. Estimer la valeur du nombre critique d’aimants, NcN_{\mathrm{c}}, correspondant à la hauteur maximale d’un édifice vertical stable.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: MP_2022.pdf