X-ENS 2022, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика — Задача 2. Instabilité de flambage d’une lame

2.1 Caractérisation du comportement élastique du matériau.

Nous considérons un barreau homogène de longueur $a$, lorsqu’il n’est soumis à aucune force, et de section droite $S$. Sous l’action de deux forces $(-\vec{F},\ +\vec{F})$ appliquées à ses extrémités, selon son axe $(\Delta)$, sa longueur s’accroît (algébriquement) de $u$, comme le représente la figure (5).

Dans l’approximation linéaire, l’élongation $u$ et la composante $F$ de la force $\vec{F} = F\,\vec{e}_\Delta$ sont liées par la relation suivante (il s’agit de la loi de Hooke) :

La constante réelle positive $Y$ représente le module de Young du matériau constituant le barreau.

26. Indiquer à quelle condition l’approximation linéaire associée à la loi de Hooke se justifie.

27. Établir l’expression de l’énergie potentielle d’origine élastique $E_{Y,\mathrm{b}}$ emmagasinée par le barreau au cours de l’évolution de sa longueur de $a$ à $a' = a + u$ (selon les notations de la figure (5)). On exprimera ce résultat en fonction des paramètres $Y$, $S$, $a$ et de l’allongement $u$.

2.2 Étude du flambage.

La lame, de masse volumique uniforme $\rho$, se présente sous la forme d’un parallélépipède occupant le volume $[-b/2,\ +b/2] \times [-e/2,\ +e/2] \times [0,\ L]$, relativement au repère $\mathcal{R}\,(\mathrm{O},\ x,\ y,\ z)$, comme le représente la figure (6) (a) (lame non déformée). Elle n’est soumise qu’au champ de pesanteur $\vec{g} = -g\,\vec{e}_z$ et à l’action de son support qui maintient sa base rigidement encastrée $(z \leq 0)$. Comme dans le cas de la chaîne de billes (sous-section (1.3)), nous considérons que la lame se déforme dans le plan $(\mathrm{O},\ y,\ z)$ et selon un arc de cercle dont nous notons A le centre et $R$ le rayon (se reporter à la figure (7)). La figure (6) (b) représente la lame ainsi fléchie. Le déplacement de son extrémité supérieure $\mathrm{Q}_0$ est défini par le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{Q}_0\mathrm{Q}}$. Le rayon $R$ est une grandeur algébrique de signe opposé à celui de l’ordonnée du point Q (il est donc positif pour la configuration représentée sur la figure (6) (b)).

Cette étude est conduite dans le cadre suivant :

❒ Les déformations sont telles que la relation (9) est applicable. Ce point sera discuté dans la question (29).

❒ Les déformations sont telles que $\|\overrightarrow{\mathrm{Q}_0\mathrm{Q}}\| \ll L$.

❒ Nous ne tenons compte que de la déformation en flexion de la lame (donc, pas celle due à sa compression). Ainsi, nous considérons que les fibres$^{4}$ situées dans le plan $(\mathrm{O},\ z,\ x)$, lorsque la lame n’est pas déformée, conservent leur longueur $L$ lorsque la lame est fléchie. Cet ensemble de fibres définit la “surface neutre” (OQ).

❒ Nous associons l’origine des énergies potentielles à la configuration de référence correspondant à la lame non déformée (situation correspondant à la figure (6) (a)).

$^{4}$ Une fibre est toute ligne reliant les sections extrêmes de la lame et qui est parallèle à la ligne $(\mathrm{OQ}_0)$, lorsque la lame n’est pas déformée.

• La figure (7) représente la lame fléchie (en exagérant son épaisseur $e$), depuis sa situation de référence représentée sur la figure (6) (a) (c’est-à-dire pour $|\theta| \to 0$ et $|R| \to +\infty$). Ce fléchissement peut être la conséquence de l’action de la pesanteur et, éventuellement, celle d’oscillations. La variable $h$ $(h \in [-e/2,\ +e/2])$ situe une fibre (MN) (ou la surface de fibres (MN)) de la lame par rapport à sa surface neutre (OQ). Nous considérons, comme le représente la figure (7), que chaque section droite de la lame reste plane et (localement) orthogonale à la surface neutre (OQ). Nous notons $Y$ le module de Young du matériau constituant la lame.

28. En adaptant le calcul effectué en réponse à la question (27), exprimer l’énergie élastique $E_Y$ emmagasinée par la lame dans l’état caractérisé par le rayon de courbure $R$. On exprimera ce résultat en fonction des paramètres $Y$, $b$, $e$, $L$ et de l’angle $\theta$ (défini sur la figure (7)).

On notera que cette énergie peut s’écrire sous une forme analogue à celle de l’équation (7), la constante positive $\kappa_Y$ (fonction de $Y$, $b$, $e$ et $L$) se substituant ici à $\kappa_B$. Ce résultat n’est pas à établir.

29. Indiquer comment se traduit, dans le cadre de la flexion, la condition de linéarité donnée en réponse à la question (26). On fera porter cette condition sur $e$ et $|R|$.

30. Exprimer, en fonction des paramètres $\rho$, $g$, $b$, $e$, $L$ et de l’angle $\theta$, l’énergie potentielle d’origine gravitationnelle $E_g$ de la lame, dans l’état caractérisé par le rayon de courbure $R$. Rappelons que, dans le cadre des hypothèses que nous nous sommes fixé, $|\theta| \ll 1$.

31. Déduire des calculs qui précèdent que la longueur critique $L_{\mathrm{c}}$ de la lame, au-delà de laquelle sa configuration de référence devient instable, peut s’exprimer sous la forme suivante :

On définira la fonction $F$.

Justifier l’absence de la largeur $b$ dans cette relation.

32. Aurions-nous pu accéder à la fonction $F$ à partir d’une analyse dimensionnelle ? Cette question, en particulier, attend une argumentation claire et rigoureuse.

33. La figure (8) représente une expérience réalisée avec une bande de papier découpée dans une feuille A4 ($21\,\mathrm{cm} \times 29{,}7\,\mathrm{cm}$, épaisseur $e \simeq 0{,}01\,\mathrm{cm}$), selon sa longueur. La longueur de la bande située au dessus de son point de maintien excède très légèrement la longueur critique $L_{\mathrm{c}}$. Après avoir donné une estimation de la masse volumique du papier, déterminer l’ordre de grandeur de la valeur de son module de Young $Y$.

• Nous nous plaçons dans le cas où $L < L_{\mathrm{c}}$. Nous souhaitons exprimer la pulsation des oscillations de la lame autour de sa situation de référence (lame non fléchie et verticale).

Nous considérons que chacun des points de la lame se déplace horizontalement (c’est-à-dire selon l’axe $(\mathrm{O}y)$). Nous notons $\delta(z) = y(\mathrm{P}) - y(\mathrm{P}_0)$ $(z \in [0,\ L])$ le déplacement d’un point $\mathrm{P}_0$ situé à l’altitude $z$ (se reporter aux figures (6) et (7)).

34. Établir, en fonction de $z$, $\theta$ et $L$, l’expression de la fonction $\delta = \delta(z)$. On notera que l’angle $\theta$ est orienté, sur la figure (7).

35. Exprimer, en fonction des paramètres $\rho$, $b$, $e$, $L$ et de la vitesse angulaire $\dot{\theta}$, l’énergie cinétique $E_{\mathrm{ct}}$ de la lame en ne considérant que l’effet de la translation décrite par le déplacement $\delta = \delta(z)$.

36. Comme dans le cas de l’édifice de billes magnétiques (se reporter à la question (9)), le déplacement $\delta = \delta(z)$ de la tranche élémentaire $(b \times e \times \mathrm{d}z)$ de la lame située à l’altitude $z$ s’accompagne d’une rotation. L’énergie cinétique de rotation correspondante s’exprime selon la relation suivante :

Indiquer à quelle condition il se justifie de ne considérer que la composante $E_{\mathrm{ct}}$ de l’énergie cinétique. Dans la suite, nous considérerons que cette condition est satisfaite.

37. Exprimer la pulsation $\omega$ des oscillations de la lame autour de sa situation de référence. On exprimera ce résultat en fonction des paramètres $g$, $L$ et du rapport $q = L/L_{\mathrm{c}}$ où $L_{\mathrm{c}}$ est la longueur critique introduite dans la question (31). Analyser ce résultat.

38. Nous nous plaçons dans le cas où $L > L_{\mathrm{c}}$. Indiquer, sur la base des calculs précédents, comment accéder au temps caractéristique $\tau$ de déstabilisation de la lame. Exprimer $\tau$ en fonction des paramètres $g$, $L$ et du rapport $q = L/L_{\mathrm{c}}$. Analyser ce résultat.