X-ENS 2022, Приемен изпит, математика и физика, математика и физика — Задача 3. Le chant d’une flûte à champagne

ÉCOLE POLYTECHNIQUE – ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2022 — MERCREDI 27 AVRIL 2022, 08h00 – 12h00 — FILIÈRE MP – Épreuve n°5 — PHYSIQUE (XULSR) · 27 април 2022 г.

Consignes

Durée : 4 heures

L’utilisation de calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Flexion et flambage de systèmes mécaniques

Nous nous proposons d’étudier quelques phénomènes mettant en œuvre les propriétés d’élasticité de flexion de systèmes mécaniques particuliers. Dans une première partie, le système mécanique est une chaîne formée par un chapelet d’aimants sphériques. La cohésion de la chaîne est assurée par l’attraction magnétique que les aimants exercent les uns sur les autres. Dans une deuxième partie, la chaîne d’aimants est remplacée par une lame flexible. Dans ces deux situations, il s’agira de relier la hauteur maximale que peuvent atteindre la chaîne et la lame, érigées en édifice vertical, à leurs caractéristiques géométriques et mécaniques. La dernière partie est consacrée à la caractérisation des modes de vibration d’un verre apparaissant lors du passage d’un doigt humide sur son bord. Ces trois parties sont, en grande partie, indépendantes.

➞ Les applications numériques seront effectuées avec la précision qu’un calcul à la main permet aisément, et sans excéder deux chiffres significatifs. Les ordres de grandeur seront donnés avec un seul chiffre significatif.

➞ Les réponses aux questions relevant de considérations qualitatives devront être systématiquement argumentées.

➞ Les références des questions abordées devront être indiquées de façon claire.

Условие

En faisant glisser un doigt humide sur le bord d’un verre il est possible d’exciter des modes de vibration qui se manifestent par l’émission d’un son très nettement audible. Cette dernière section est consacrée à l’étude de ce phénomène.

Le verre est modélisé géométriquement par une coque cylindrique d’axe $(\mathrm{O}z)$, de hauteur $b$, d’épaisseur $e$ et de rayon moyen $a_0$. La figure (9) représente cette coque dans sa situation de référence, c’est-à-dire non déformée (ainsi $a = a_0$). Nous notons $Y$ le module de Young du verre et $\rho$ sa masse volumique. L’effet de la pesanteur, non déterminant dans cette étude, n’est pas pris en compte.

Un point $\mathrm{M}_0$ appartenant au cylindre de rayon $a_0$ est repéré par rapport à l’axe $(\mathrm{O}x)$, choisi arbitrairement, par l’angle $\theta$ et, par rapport au plan $(\mathrm{O},\ x,\ y)$, par son altitude $z$ (se reporter à la figure (9)). Les vibrations de la coque considérées sont décrites par le champ de déplacement radial $\overrightarrow{\mathrm{M}_0\mathrm{M}} = (a(\theta,\ t) - a_0)\,\vec{u}_r(\theta)$ tel que :

Le paramètre $k$ $(k \in \mathbb{R}_+^{\star})$ caractérise angulairement le mode de vibration du verre considéré. La fonction $\varepsilon = \varepsilon(t)$ décrit l’évolution temporelle de son amplitude.

39. Définir l’ensemble des valeurs que peut prendre le paramètre $k$ pour décrire effectivement des modes vibratoires de flexion de la coque cylindrique. Préciser la nature, propagative ou stationnaire, de l’onde décrite par l’équation (12). Représenter, en superposition de la situation de référence (représentée sur la figure (9) (b)), l’aspect de la déformation du verre pour le mode $k = 2$, dans le cas où $\varepsilon(t) > 0$ puis dans celui où $\varepsilon(t) < 0$.

• Il apparut, dans les questions (19) et (28), que l’énergie élastique emmagasinée par une structure fléchie est liée à son rayon de courbure $R$. En adaptant à la situation qui nous intéresse le résultat établi en réponse à la question (28), l’énergie élastique emmagasinée par une portion de verre délimitée par le secteur angulaire élémentaire $\mathrm{d}\theta$ s’exprime par la relation suivante :

40. Nous associons l’origine de l’énergie élastique à la configuration du verre non déformé. Indiquer alors, sur la base d’une argumentation, quelle est la forme de la fonction $F$ à retenir parmi les deux propositions (a) et (b) suivantes :

41. Le rayon de courbure local $\mathcal{R} = \mathcal{R}(\theta)$ d’une courbe plane, décrite en coordonnées polaires par l’équation $r = r(\theta)$, s’exprime par la relation suivante :

Déterminer, au premier ordre par rapport à l’amplitude $\varepsilon$, la fonction rayon de courbure $R = R(\theta,\ \varepsilon(t))$ correspondant à l’équation polaire (12).

42. Exprimer, en fonction des paramètres $Y$, $b$, $e$, $a_0$ et $k$, l’énergie potentielle élastique $E_Y$ emmagasinée par le verre, au second ordre par rapport à l’amplitude $\varepsilon$.

43. Exprimer, en fonction des paramètres $\rho$, $b$, $e$, $a_0$ et de la dérivée temporelle $\dot{\varepsilon}$, l’énergie cinétique $E_{\mathrm{c}}$ de l’ensemble de la coque vibrante.

44. Déduire des résultats qui précèdent l’expression de la pulsation $\omega_k$ des oscillations associée au mode $k$.

45. La figure (10) représente le signal temporel électrique $s = s(t)$ délivré par un microphone soumis au son émis par un verre de forme générale cylindrique présentant les caractéristiques suivantes : $b \sim 6\ \mathrm{cm}$, $e = 1{,}4\ \mathrm{mm}$, $a_0 = 26\ \mathrm{mm}$ et $\rho = 3000\ \mathrm{kg \cdot m^{-3}}$.

Estimer le module de Young $Y$ du verre en considérant que le mode (majoritairement) excité est celui de plus basse fréquence.

Indiquer, sur la base d’une argumentation, si le modèle géométrique simple du verre qui a été choisi conduit à une sous-estimation ou une surestimation de la valeur du module de Young.

Решение

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Оригинал в Архива: MP_2022.pdf