X-ENS 2022, Приемен изпит, физика и химия — Задача 2. États métastables de l’hélium liquide

CONCOURS D’ADMISSION 2022 — FILIERE PC — Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) · 27 април 2022 г.

Условие

L’hélium liquide à basse température, outre ses propriétés superfluides, a la caractéristique de pouvoir être obtenu avec une remarquable pureté. En effet, à quelques degrés Kelvin, toute impureté éventuellement présente dans le liquide est gelée sur les parois ou sédimente au fond du contenant. On peut ainsi, par filtrage, obtenir un liquide extrêmement pur. Cela offre la possibilité d’étudier les états “métastables” de l’hélium liquide. C’est ce que nous allons étudier dans cette partie.

2.1 Métastabilité et cavitation

On prend de l’hélium liquide à la température $T$ et à la pression $p = p_{\mathrm{sat}}$. Lorsque $p \lt p_{\mathrm{sat}}$, l’état thermodynamique le plus stable est la phase gazeuse. Cependant, il peut y avoir un retard au changement d’état, et l’hélium peut rester liquide bien que $p$ soit inférieure à $p_{\mathrm{sat}}$. Dans un tel cas, l’hélium est alors dit “métastable”. La rupture de l’état métastable, c’est-à-dire la transition liquide-gaz, s’appelle “cavitation”.

Pour comprendre la métastabilité, on peut considérer la situation suivante. Supposons que de l’hélium liquide soit à une pression $p$ inférieure à $p_{\mathrm{sat}}$ (hélium métastable). L’énergie que l’on doit apporter au système pour créer la première bulle de gaz, de rayon $r$, est donnée par

Le premier terme, négatif, correspond au fait qu’il est énergétiquement favorable de créer une bulle de gaz dans le milieu. Le second terme fait intervenir le coefficient de tension superficielle $\gamma$ à l’interface liquide-gaz.

5. Quelle est l’interprétation physique du second terme qui apparaît dans l’expression de $\Delta E$ ? Tracer l’allure de $\Delta E$ en fonction de $r$ à $p$ fixée. Mettre en évidence une valeur de $r$, notée $r_c$, qui rend $\Delta E$ maximale (on note $\Delta E^*$ le maximum de $\Delta E$). On donnera les expressions de $r_c$ et de $\Delta E^*$. Quelle énergie faut-il fournir pour qu’il y ait rupture de l’état métastable (i.e. cavitation) ?

6. Soit $\Gamma$ la probabilité de cavitation par unité de volume et par unité de temps à $T$. Proposer une expression de $\Gamma$ en fonction de $\Delta E^*$, de $k_BT$ et d’une constante $\Gamma_0$ de même dimension que $\Gamma$.

7. La présence d’impureté a pour effet de diminuer $\Delta E^*$. Pourquoi l’hélium liquide à basse température est-il intéressant pour l’étude des états métastables de la matière condensée ?

8. On crée un état métastable de volume $V$. On note $\Sigma(t)$ la probabilité que la cavitation ait eu lieu entre les instants 0 et $t$. $\Sigma(t + \mathrm{d}t) - \Sigma(t)$ correspond ainsi à la probabilité qu’il y ait cavitation entre un temps $t$ et un temps $t + \mathrm{d}t$. Exprimer $\Sigma(t + \mathrm{d}t) - \Sigma(t)$ en fonction de $\Gamma$, $V$ et $\Sigma(t)$ et en déduire une équation différentielle sur $\Sigma(t)$. En déduire l’expression de $\Sigma(t)$.

9. On définit la pression de cavitation $p_c$ telle que la probabilité de cavitation $\Sigma(\tau)$ définie au bout d’un temps $\tau$ est égale à $\frac{1}{2}$ : donner son expression en fonction de $\gamma$, $k_B$, $T$, $\Gamma_0$, $V$ et $\tau$. Que se passe-t-il quand $T \to 0$ ? Commenter le signe de $p_c$ à basse température. Comment doit-on choisir $V$ et $\tau$ pour maximiser $|p_c|$ (avec $p_c \lt 0$) ?

2.2 Pression négative

Il est possible d’étudier l’hélium liquide à des pressions $p$ inférieures à sa pression de vapeur saturante $p_{\mathrm{sat}}$. Les états métastables de l’hélium sont si robustes que l’on peut même atteindre des pressions négatives (des valeurs de $-p$ de l’ordre de plusieurs bars peuvent être obtenues !).

10. Quelle est l’interprétation microscopique de la pression pour un gaz parfait ? Peut-elle être négative pour un gaz parfait ?

Une pression négative ne peut être atteinte que dans des systèmes où il y a des interactions attractives entre les particules. Beaucoup de fluides peuvent être décrits par l’équation d’état de van der Waals :

où $a$ et $b$ sont deux constantes positives qui dépendent de la nature du fluide, $N$ est le nombre de particules considéré et $V$ le volume du fluide.

11. Pourquoi peut-on avoir $p \lt 0$ à basse température ? Donner en fonction de $a$, $b$ et $k_B$ la température $T^*$ en-dessous de laquelle la pression peut devenir négative.

Les systèmes à pression négative ne sont pas de simples curiosités de laboratoire : il en existe dans la nature, c’est par exemple le cas de la sève dans les arbres.

12. On considère un arbre de hauteur $h$. La pression de la sève au niveau des racines est la pression atmosphérique $p_0$. Quelle est la pression de la sève dans l’arbre à une altitude $z$ ? À partir de quelle altitude cette pression devient-elle négative ? Faire une application numérique en assimilant la sève à de l’eau.

Решение

Оригинал в Архива: PC_2022.pdf